- •Теоретическая механика
- •Статика
- •Методические указания и задания
- •1. Гладкая поверхность и гладкая опора
- •Решение.
- •Задачи к контрольным и расчетно-графическим работам Задача с1. Равновесие произвольной плоской системы сил
- •Задача с2. Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы
- •Задача с3. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)
- •Задача с4. Определение реакций опор твёрдого тела (пространственная система сил).
Решение.
В точке А балка АВ жестко заделана (связь – жесткая заделка). Такая связь дает множество сил, действующих на заделанный конец балки. Но согласно основной теореме статики произвольная система сил приводится к одной силе (главному вектору) А и одной паре – главному моменту МА. Главный вектор заменим его составляющими А и А, направленными произвольно по осям Ах и Ау соответственно (рис.16). С учетом этого в заделке имеем две силы реакции А и А и момент МА, направление которого указываем тоже произвольно. В точке В связью является нить, к противоположному концу которой прикреплен груз Q, вес которого задан. Поэтому реакция нити равна силе Q и направлена от точки В по нити. Неизвестными являются силы А и А и момент МА. Для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на оси координат равнялись нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно точки А тоже равнялась нулю, то есть
; (8)
;
.
Рис. 16
Из (8) следует
; ;
.
После подстановки в эти уравнения численных значений Р, Q, q, M, , , заданных в условии задачи, получим значения неизвестных:
ХА=101/2 +51/2=7,5 кН;
YА=2 4/2 – 10 /2 – 5/2 = - 8,99 кН;
МА=216/8 – 10 4/2/2 + 3 – 54/2= -27,6 кНм.
Задача С2. Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы.
Дано: Р1 = 20 Н, Р2 = 10 Н, = 450 , = 450 , а = 1 м.
Определить усилия в стержнях фермы
Рис.17
Решение.
Простая статически определимая ферма (рис.17) составлена из n узлов и s стержней, число которых связано соотношением s = 2n - 3.
Стержень 14 (СА) не принадлежит ферме, но с его помощью ферма крепится к опоре А, то есть для фермы стержень 14 является связью. В точке В ферма связана неподвижным цилиндрическим шарниром с другим телом. Поэтому, освободив ферму от связей, получим свободное твердое тело, на которое действуют активные силы ,и силы реакций связей,,, причемнаправлена вдоль стержня СА, а,- параллельны осям координат (рис.18 и 19). Определим эти неизвестные силы. Для этого, считая ферму абсолютно твердым телом, составим уравнение равновесия для системы сил, приложенных к ферме как для произвольной плоской системы сил:
1) = ХВ – RA + P2sin = 0;
2) =YB + P2cos P1 = 0; (9)
3) = RAa P2sina P13a + P2cos 2a = 0
Из третьего уравнения системы (9) найдем
RA=P2sin + P13 P22cos=10/2 +203 102/2 = 53 Н.
Из второго уравнения (9) найдем YВ
YВ=Р2сosP1=10/2 20 = 12,9 Н.
Из первого уравнения (9) найдем ХВ
ХВ = RA + P2sin= 53 + 10/2 = 46 Н.
Усилия в стержнях найдем методом вырезания узлов. Для этого каждый раз будем вырезать тот узел, к которому приложено не более двух неизвестных усилий в стержнях фермы (ферма плоская). Таким узлом является узел В (рис.18). Неизвестными являются усилия R1, R4 в первом и четвертом стержнях соответственно. Имеем плоскую систему сходящихся сил. Составим уравнения равновесия:
1) ;
2) .
Рис. 18
Решая эти уравнения относительно R1 и R4, получим:
R1 = YB = 12,9 Н;
R4 = XB = 46 Н.
Теперь вырежем узел А. К этому углу подходят три стержня – первый, второй и третий (рис. 19). Усилие в первом стержне определено из рассмотрения узла В. Таким образом, неизвестными усилиями являются усилия R2 и R3 в стержнях втором и третьем соответственно. Для определения этих неизвестных составим уравнение равновесия как для плоской системы сходящихся сил:
1) ;
2) .
Рис. 19
Откуда получим:
R3= R11/sin = 12,292/2 = 18,4 Н;
R2= RA R3 cos= 53,0718,4/2 = 40,2 Н.
Вырежем узел III (рис.20). Неизвестными являются усилия R5 и R6 в стержнях 5 и 6 соответственно. Уравнения равновесия:
1) R2+R6=0;
2) R5=0.
Откуда: R5 = 0, R6 = R2 = 40,2 Н.
Рис. 20
Вырежем узел IV. Неизвестными являются усилия R7 и R8 (рис. 21) Уравнения равновесия:
1) R4 R3cos+R7cos+R8=0;
2) R3sin+R5+R7sin=0,
oткуда
R7= R3= 18,4 Н;
R8=2R3cos+R4=36,8/2+(46) = 20,02 Н.
Рис. 21
Вырежем узел VI (рис. 22). Неизвестными являются усилия R9 и R12. Уравнения равновесия
1) R8+R12=0;
2) R9=0,
oткуда получаем:
R9=0;
R12 = R8 = 20,02 Н.
Рис. 22
Вырежем узел V (рис.23). Неизвестными являются усилия R10 и R11. Уравнения равновесия
1) R6 R7cos+R11+R10cos+P2sin=0;
2) R7sin R9 R10sin+P2cos=0,
откуда
R10= P2 R7= 28,4 Н;
R11=R6+R7cos R10cos P2sin = 40 Н.
Рис. 23
Усилия в стержне 13 определим, вырезав узел VII (рис.24). Уравнения равновесия
1) R12 R10cos = 0;
2) R13 + R10sin - Р1 = 0.
Из второго уравнения получим усилие в стержне 13:
R13= R10sin + Р1 =28,4/2 + 20 = 0,08 Н.
Рис.24
Из первого уравнения получим тождество, как то и должно быть, то есть
20,02 - 28,4/2=0.
Это свидетельствует о правильности решения.
Указание: при вырезании узлов усилия в стержнях рекомендуется направлять от узла.
Задача С3. Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел).
Дано: Р = 100 Н, Q = 30 Н, q = 5 Н/м, M = 10 Нм, = 900 , = 600 , = 300.
Определить реакции опор А и В и в шарнире С.
Рис. 25
Решение.
Система состоит из двух балок АС и ВС, соединенных друг с другом внутренней связью (неподвижным цилиндрическим шарниром) в точке С. Один конец балки АС в точке А закреплен с помощью жесткой заделки, а балка ВС в точке В опирается на каток. Поэтому после освобождения системы двух тел в точках А и В от связей получим свободное твердое тело, изображенное на рис. 26, а разделив его в точке С, получим свободное твердое тело, изображенное на рис.27.
Рис.26 Рис.27
Неизвестными являются силы ХА, YА, RВ, ХС, YС и момент МА. Всего 6 неизвестных. Следовательно, нужно составить 3 уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, изображенной на рис.26 и 3 уравнения для системы рис.27. Получим систему шести алгебраических уравнений относительно шести неизвестных:
1) =ХА+Qsin Psin=0;
2) =YA Qcos q3 Pcos +RB=0;
3) =Qsin2 MAq31,5 + Psin2
Рcos(3+2ctg)+M+RB(3+4ctg)=0;
4) =XA+Qsin+XC=0;
5) =YAQsin+YC=0;
6) = XA4+Qsin2MA=0.
Из первого уравнения получим ХА:
ХА= Рsin + Qsin = 100/2 + 301/2 = -71,6 Н.
Из четвертого уравнения получим ХС:
ХС=ХА Qsin= 71,6 301/2= 86,6 Н.
Из шестого уравнения получим МА:
МА= ХА4+2Qsin = 71,64 +2301/2= 316,4 Нм.
Из третьего уравнения найдем RВ:
RB=1/(3+4ctg)[2Qsin+MA+4,5q2Psin+Pcos(3+2ctg)M]== 74 Н.
Из второго уравнения найдем YА:
YA=Qcos+q3+PcosRB= 16,9 Н.
Из пятого уравнения найдем YС:
YС=Qcos YA = 8,9 Н.
Проверка:
= ХA4 MA+Qsin23q1,5Psin2 -Pcos(3+2/3)+M+RB(3+4/3) =
= 403+403 = 0.
Задача С 4. Определение реакций опор твердого тела
Дано: Q = 50 Н, F = 20 Н, = 600, = 450, R = 0,5м, r = 0,2 м.
Определить силу Р и реакции подшипников А и В.
Рис. 28
Решение.
Подшипники представляют связь, которая называется неподвижный цилиндрический шарнир с осью, совпадающей с координатной осью Ау. Трение не учитывается. Поэтому силы реакции этих связей представим в виде составляющих, параллельных осям Ах и Аz в точках А и В – это силы ,,,(рис.28). Следовательно, всего неизвестных пять: Р, ХА, ZA, XB, ZB. Учитывая, что все силы расположены в плоскостях перпендикулярных оси Ау, получим пять уравнений равновесия сил и моментов:
1)= ХА+Рсos+XBFcosQcos=0;
2)=ZAPsin+ZB+Fsin+Qsin=0;
3)=Psin2+ZB3+Fsin5+Qsin5=0;
4)=Pcosr +FR QR=0;
5)=Pcos2XB3+Fcos5+Qcos5=0.
Анализируя эти уравнения, видим, что одну неизвестную содержит только четвертое уравнение. Поэтому последовательность решения следующая. Из четвертого уравнения находим Р:
P=(1/(rcos))(QR - FR)=(12/(0,21))(50-20)1/2= 150 Н.
Из пятого уравнения найдем ХВ:
ХВ=(1/3)(2Pcos+5Fcos+5Qcos)=0,33(21500,5+520/2 +5500,5)=15 Н.
Из первого уравнения найдем ХА:
XA= Pcos XB+Fcos+Qcos= 1500,5 15 +20/2 + 500,5= 51 Н.
Из третьего уравнения найдем ZB:
ZB=(1/3)(2Psin5Fsin5Qsin)=(1/3)(2150/2520/2550/2) ==8,9 Н.
Из второго уравнения найдем ZA:
ZA=PsinZBFsinQsin=150/2 +8,920/2 50/2 = 81,4Н.
Проверка:
= 1500,50,2+200,5500,5 = 0.