3565 ЭИ
.pdf
некоторому действительному значению, не имеет строгого определения и используется для качественного сравнения измерительных операций. Для количественной оценки используется понятие «погрешность измерений» (чем меньше погрешность, тем выше точность). Оценка погрешности измерений – одно из важных мероприятий по обеспечению единства измерений.
Количество факторов, влияющих на точность измерения, достаточно велико, и любая классификация погрешностей измерения (рис. 8) в известной мере условна, т.к. различные погрешности в зависимости от условий измерительного процесса появляются в различных группах. Поэтому для практических целей достаточно рассмотреть случайные и систематические составляющие общей погрешности, выраженные в абсолютных и относительных единицах при прямых, косвенных, совокупных и равноточных измерениях.
Рис. 8. Классификация погрешностей измерений
11
Погрешность измерения представляет собой сумму систематической с и случай-
ной ° , составляющих (обозначения даны по ГОСТ 8 011-72): = с + ° . Систематические погрешности с по причинам возникновения подразделяются
на методические, инструментальные и субъективные.
Субъективные систематические погрешности связаны с индивидуальными осо-
бенностями оператора. Как правило, эта погрешность возникает из-за ошибок в отсчете показаний (примерно 0,1 деления шкалы) и неверных навыков оператора. К субъективной погрешности следует отнести так называемые промахи (0,50, 0,52; 0,49; 5,0; 0,48). Промахи не учитывают, а измерение выполняют заново. В основном же систематические погрешности возникают из-за методической и инструментальной составляющих.
Методические погрешности появляются вследствие несовершенства разработанного метода измерения данной величины:
а) неточности формул, выведенных с некоторыми допущениями; б) влияния измерительного прибора на объект измерения; в) явления резонанса.
Инструментальные погрешности обусловлены:
а) несовершенством средств измерений (изменение показаний при изменении напряжения питания или температуры окружающей среды);
б) неточностью градуировки; в) неправильным расположением прибора (вертикальное вместо горизонтального);
г) влиянием одного прибора на другой (например, работающий генератор на чувствительный вольтметр);
д) наличием внешнего электромагнитного поля.
Систематическая погрешность может быть постоянной либо переменной.
Постоянная систематическая погрешность встречается наиболее часто, она оста-
ется неизменной в интервале времени измерения, ее сравнительно легко обнаружить и исключить. Наиболее простой способ обнаружения и определения ее заключается в поверке данного рабочего прибора. При одновременном измерении одной и той же величины рабочим и образцовым прибором получают показания Apaб и Аобр, разность между ними является абсолютной погрешностью рабочего прибора: с =Араб – Аобр.
Для удобства записи результата измерений вводится поправка С (correction), равная абсолютной погрешности с обратным знаком: С = – с .
Результатом измерения следует считать сумму показания рабочего прибора и по-
правки: А = Араб + С.
Для уменьшения систематической погрешности в сложном приборе предусматривается возможность его калибровки с помощью внешнего или внутреннего источника калибровочного сигнала с известными параметрами.
В общем случае уменьшение постоянной систематической погрешности возможно методом замещения либо методом компенсации по знаку.
Метод замещения заключается в замене измеряемой величины Ах известной величиной Ау таким образом, чтобы состояние измерительного прибора осталось неизменным,
тогда Ах = Ау.
Метод компенсации по знаку применяется при направленном действии причины, вызывающей систематическую погрешность (например, напряженности магнитного поля).
Переменные систематические погрешности разделяются на прогрессирующие и периодические.
12
Прогрессирующие систематические погрешности возрастают или убывают в функции некоторого аргумента (влияющей величины), их вызывающего.
Периодические – изменяются в интервале времени наблюдения с определенным периодом. Для уменьшения переменных систематических погрешностей необходимо выявить закон их изменения и вычислить поправки.
Если систематические погрешности могут быть значительно уменьшены или даже исключены из результатов измерения (как это имеет место в данной задаче), то случайные погрешности, вызванные большим числом случайных причин, всегда присутствуют в результатах измерения.
Случайные погрешности проявляются при многократных и равноточных измерениях, выполненных одним и тем же средством измерения, по одной и той же методике и при неизменных внешних условиях.
Случайные погрешности измерений возникают вследствие одновременного воздействия на объект измерения нескольких независимых величин, изменения которых носят флуктуационный характер.
Для оценки результатов измерений, содержащих случайные погрешности, пользуются понятиями и методами теории вероятностей и математической статистики.
Задача оценки случайных погрешностей результата измерения состоит в установлении границ изменения погрешности. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности, как и любой случайной величины, является закон распределения их вероятностей.
В большинстве физических измерений случайные погрешности подчинены нормальному закону распределения, который основан на предположении следующих закономерностей:
–погрешностимногократныхизмерениймогутприниматьнепрерывныйрядзначений;
–вероятность (частота) появления погрешностей, равных по значению, но противоположных по знаку, одинакова;
–малые по абсолютной величине погрешности более вероятны, чем большие;
–вероятность появления случайных погрешностей, превосходящих по абсолютному значению некоторое определенное число, очень мала (практически равна нулю);
–среднее арифметическое погрешностей ряда равноточных измерений при неограниченном возрастании их числа стремится к нулю.
На практике часто приходится иметь дело со статистическим материалом весьма ограниченного объема (не менее 20 значений). Этого материала явно недостаточно для того, чтобы судить о законе распределения случайной величины.
Тем не менее, во многих случаях можно принять нормальный закон распределения погрешностей, как это сделано в условии данной задачи.
Полагаем, что систематическая составляющая погрешности измерения исключена и
=° . Случайная погрешность как случайная величина полностью характеризуется плот-
ностью распределения вероятностей: f( ) = dF( )/d , где F( ) – функция распределения. Следовательно, определяется не численное значение случайной погрешности, а лишь вероятность того, что она заключена в некотором интервале или не превышает некоторого значения. Если известен закон распределений, то известны F( ) и f( ). Вероятность Р нахождения случайной погрешности в заданном интервале от 1 до 2 находится
по формуле:
Р[ 1 2 ] = ∫2 |
f ( )d . |
(1) |
1 |
|
|
13
Закономерность изменения случайной погрешности можно установить при многократных наблюдениях ее значений и статистической обработке результатов наблюдений. Эта работа выполняется при точных измерениях и заключается в проверке соответствия полученных данных предполагаемому распределению по некоторому критерию.
Флуктуации влияющих величин также являются случайными и характеризуются своими законами распределения. Однако вследствие соизмеримости их дисперсий уже при 4–5 влияющих величинах результирующий закон распределения случайной погрешности измерения удовлетворительно согласуется с нормальным.
Функция распределения по нормальному закону:
|
|
|
|
1 |
∫ехр |
− |
|
2 |
(2) |
|
F ( |
) = |
σ |
|
2 d |
||||
и плотность вероятности |
|
2π |
−∞ |
2σ |
|
|
|||
|
|
1 |
ехр− |
|
2 |
|
|
||
|
f ( |
) = |
|
|
, |
(3) |
|||
|
σ |
|
|
||||||
|
|
|
2π |
2σ |
2 |
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где σ 2 = В = ∫ |
2 f ( )d – дисперсия, характеризующая рассеивание случайной погреш- |
||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ности относительно центра распределения, а |
|
|
|
|
|
||||
σ = + D = + σ 2 |
– есть среднеквадратическое отклонение. |
|
|||||||
Плотности вероятности случайных погрешностей при нормальном законе распределения при различных σ приведены на рис. 9.
Рис. 9. Плотность вероятности случайных погрешностей при нормальном законе распределения
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение характеризуют точность измерения: чем больше D и σ, тем меньше точность. На практике преимущественно используется среднеквадратическое отклонение σ, т.к. оно выражается в тех же единицах, что и изме-
ряемая величина. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность появления случайной погрешности в пределах от – 1 до |
1 в соответст- |
||||||||
вии с формулой (1): |
|
|
2 |
|
|
− |
2 |
|
|
Р[ 1 2 |
] = |
|
∫0 |
ехр |
d . |
(4) |
|||
σ |
|
||||||||
|
|
2π |
|
2σ 2 |
|
|
|||
14
Если ввести нормированную случайную величину Z = |
/σ, правая часть неравенства |
|||||||||||
(4) преобразуется в функцию Лапласа, часто называемую интегралом вероятности: |
||||||||||||
|
|
|
Ф(Z ) = |
2 |
Z |
|
2 |
|
|
(5) |
||
|
|
|
∫ ехрt |
|
dt . |
|
|
|||||
|
|
|
|
2π 0 |
2 |
|
|
|
|
|||
Эта функция табулирована и ее значения приведены в табл. 4. |
|
Таблица 4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число |
|
|
Доверительная вероятность α |
|
|
|
||||||
измерений п |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
|
0,8 |
|
|
0,9 |
0,95 |
0,98 |
|
0,99 |
2 |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
|
3,078 |
|
|
6,314 |
12,706 |
31,821 |
|
63,657 |
3 |
0,816 |
1,061 |
1,386 |
|
1886 |
|
|
2,920 |
4,303 |
6,965 |
|
9,925 |
4 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
|
1,638 |
|
|
2,353 |
3,182 |
4,541 |
|
5,841 |
5 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
|
1,533 |
|
|
2,132 |
2,776 |
3,747 |
|
4,604 |
6 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
|
1,476 |
|
|
2,015 |
2,571 |
3,365 |
|
4,032 |
7 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
|
1,440 |
|
|
1,943 |
2,447 |
3,143 |
|
3,707 |
8 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
|
1,415 |
|
|
1,895 |
2,365 |
2,998 |
|
3,499 |
9 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
|
1,397 |
|
|
1,860 |
2,306 |
2,896 |
|
3,355 |
10 |
0,703 |
0,883 |
1,100 |
|
1,383 |
|
|
1,833 |
2,262 |
2,821 |
|
3,250 |
17 |
0,689 |
0,863 |
1,069 |
|
1,333 |
|
|
1,740 |
2,110 |
2,567 |
|
2,898 |
26 |
0,687 |
0,860 |
1,064 |
|
1,325 |
|
|
1,725 |
2,086 |
2,528 |
|
2,845 |
По результатам статистических данных могут быть вычислены числовые характеристики случайной величины. Эти характеристики подразделяются на точечные и интервальные.
Точечные оценки представляются одним числом, основными числовыми характеристиками которого являются среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение.
При ограниченном числе измерений в качестве точечной оценки истинного значения измеряемой величины А принимается среднее арифметическое результатов наблю-
−
дений А, т.е.
|
n |
|
|
|
− ∑ Аi |
|
|
||
А = |
i=1 |
, |
(6) |
|
n |
||||
|
|
|
||
где n – число наблюдений.
Рассеивание результатов наблюдений характеризует среднеквадратическое откло-
−
нение σ , несмещенная оценка которого по результатам ограниченного числа наблюдений определяется по выражению:
|
|
n |
Аi − |
− 2 |
|
|
|
− |
∑ |
А |
(7) |
||
|
σ = |
i=1 |
n − 1 |
. |
||
|
|
|
|
|
||
По выражениям (7) и (8) и заданным в табл. 2 результатам наблюдений могут быть |
||||||
определены точечные оценки |
− − |
|
|
|
|
|
А и σ . |
|
|
|
− − |
||
Чтобы иметь представление о точности и надежности полученных значений |
||||||
А и σ , |
||||||
применяют интервальные оценки, в которые с заданной, так называемой доверительной вероятностью, попадает истинное значение измеряемой величины. Обычно назначают достаточно большую доверительную вероятность, например, α = 0,95 или α = 0,99, при которой можно практически считать событие достоверным.
15
Так, интервальная оценка истинного значения измеряемой величины определяется по выражению:
− |
− |
|
|
А − ε т |
А А+ ε т |
, |
(9) |
где εт – погрешность, которая при заданной доверительной вероятности α определяется по формуле:
|
− |
|
εь = tα |
σ . |
(10) |
|
n |
|
В этой формуле tα – коэффициенты (квантили) Стьюдента, зависящие от α и числа измерений n. Значения коэффициентов Стьюдента при выполнении данной задачи могут быть определены по табл. 4.
Тогда интервальная оценка истинного значения определяется следующим образом. При интервальной оценке среднеквадратического отклонения ищется интервал, в
который с доверительной вероятностью α попадает истинное значение σ:
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ − ε σ |
σ σ+ ε σ |
, |
|
|
|
|
(11) |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где εσ – погрешность, εσ = g· σ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь g – относительная погрешность, определяемая по табл. 5. |
|
Таблица 5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Число |
|
|
|
Относительная погрешность g |
|
|
|
||||||
измерений п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
|
0,6 |
|
0,7 |
|
0,8 |
0,9 |
1,0 |
|
5 |
0,264 |
0,501 |
0,681 |
0,791 |
0,849 |
|
0,886 |
|
0,913 |
|
0,933 |
0,948 |
0,959 |
6 |
0,286 |
0,536 |
0,717 |
0,821 |
0,874 |
|
0,908 |
|
0,932 |
|
0,950 |
0,963 |
0,972 |
7 |
0,305 |
0,567 |
0,748 |
0,845 |
0,895 |
|
0,926 |
|
0,948 |
|
0,963 |
0,974 |
0,981 |
8 |
0,323 |
0,595 |
0,784 |
0,865 |
0,911 |
|
0,940 |
|
0,960 |
|
0,972 |
0,981 |
0,987 |
9 |
0,340 |
0,620 |
0,797 |
0,882 |
0,925 |
|
0,951 |
|
0,968 |
|
0,979 |
0,986 |
0,991 |
10 |
0,358 |
0,645 |
0,810 |
0,899 |
0,939 |
|
0,962 |
|
0,976 |
|
0,986 |
0,991 |
0,995 |
Примечание. Для отсутствующих в табл. 5 значений доверительной вероятности α следует применять линейную интерполяцию.
Вопросы для самопроверки
1.Какие погрешности характеризуют измерения?
2.Какие метрологические характеристики аналогового прибора нормируются?
3.Что такое класс точности прибора?
4.Как подразделяются средства измерений по метрологическому назначению?
5.Приборы какого класса могут быть использованы в качестве образцовых?
6.Приборы какого класса точности относятся к техническим (рабочим)?
7.Что такое поверка средств измерения и кем она проводится?
8.Какие существуют виды поверок?
9.Почему возникает необходимость в периодической поверке средств измерения?
10.Каковы межповерочные сроки?
11.По какому параметру делается вывод о пригодности или непригодности проверяемого прибора к применению?
12.Как практически могут быть использованы кривые поправок к поверяемому прибору?
13.Как классифицируют составляющие погрешностей измерений?
16
14.По какому закону обычно распределяются случайные погрешности?
15.Каковы основные положения, принимаемые для нормального закона распределения случайных погрешностей?
16.Каковы аналитическое выражение и график нормального закона распределения?
17.Какие существуют оценки статистического ряда наблюдений?
18.Как определяются точечные оценки среднего значения и среднего квадратического отклонения измеряемой величины?
19.Как определяется интервальная оценка истинного значения измеряемой величины?
20.Как определяется интервальная оценка среднего квадратического отклонения измеряемой величины?
Библиографический список
1.Сергеев А.Г. Метрология, стандартизация и сертификация : учебник / А.Г. Сергеев, В.В. Терегеря. – М.: ИД Юрайт, 2011. – 820 с. – (Основы наук).
2.Лифиц И.М. Стандартизация, метрология и сертификация : учебник. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт-Издат, 2004. – 330 с.
3.Тартаковский Д.Ф. Метрология, стандартизация и технические средства измерений : учеб. для вузов / Д.Ф. Тартаковский, А.С. Ястребов. – М.: Высш. шк., 2002. – 205 с.
4.Пронкин Н.С. Основы метрологии динамических измерений : учеб. пособие для вузов. – М.: Логос, 2003. – 256 с.
17
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Образец оформления титульного листа контрольной работы
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
Кафедра «Электрический транспорт»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ:
М Е Т Р О Л О Г И Я
Вариант № 1
Выполнил:
студент з. ф.
шифр 2011-ЭЭб-6215
Петров И.И.
Проверил:
ст. преп. каф. ЭТ Старикова А.Г.
Самара
2014
18