3498

1.Определите структурные параметры первого уравнения, если это возможно.

2.Определите структурные параметры второго уравнения, если это возможно.

Задача 10. Имеются условные данные, представленные в таблице.

Период			Темп прироста				%
времени	заработной	цен,	дохода,		цен на	экономически	безработных,
	платы,				импорт,	активного
						населения,
						1
1	2	6	10		2		1
						2
2	3	7	12		3		2
						5
3	4	8	11		1		3
4	5	5	15		4	3	2
						3
5	6	4	14		2		3
						4
6	7	9	16		2		4
						4
7	8	10	18		3		5

Определите параметры структурной модели следующего вида:

,

,

.

4. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Краткие теоретические сведения

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (E) компонент.

Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называют аддитивной моделью временного ряда, как произведение –

мультипликативной моделью временного ряда.

Построение аддитивной и мультипликативной модели сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1.Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2.Расчет значений сезонной компоненты S.

31

3.Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (T + S) в аддитивной или (T·S) в мультипликативной модели.

4.Аналитическое выравнивание уровней (T + E) или (T·E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.

5.Расчет полученных по модели значений (T + S) или (T·S).

6.Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

n

r1

=

∑(yt − y1 )(yt −1 − y2 )

t =2

− y1 )2 ∑(yt −1 − y2 )2 ,

∑(yt

n

n

t =2

t =2

n

n

y

=

∑ yt

∑ yt −1

где

t = 2

;

y

2

=

t =2

– коэффициенты автокорреляции уровней ряда первого

1

n − 1

n − 1

порядка;

n

r2

=

∑(yt − y3 )(yt − 2 − y4 )

t =3

− y3 )2 ∑(yt − 2 − y4 )2 ,

∑(yt

n

n

t =3

t =3

n

n

∑ yt

y4

=

∑yt−2

где

y3

=

t =3

;

t=3

– коэффициенты автокорреляции уровней ряда второго

n −

2

n − 2

порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) –

коррелограммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда)

временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяют следующие функции:

- линейная yˆt = a + b t ; - гипербола yˆt = a + bt ; - экспонента yˆt = ea+ b t ;

32

- степенная yˆt = a tb ;

- парабола второго и более высоких порядков yˆt = a + b1t + b2t 2 + K+ bk t k . Параметры трендов определяются обычным методом наименьших квадратов, в

качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2,…, n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временной ряда yt .

Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для

каждого временного ряда модели, например		и , и расчет отклонений от трендов:
и	. Для дальнейшего анализа	используют не исходные данные, а

отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

вторыми разностями:
если параболический тренд – ∆	;
В случае экспоненциального	и2·степенного2·тренда метод.	последовательных

разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

·· .

Параметры и этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущий моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина – Уотсона и расчет величины:

d =	∑n (εt − εt −1 )2		,	0 ≤ d ≤ 4.
	t= 2
		n
		∑εt2

t =1

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле

	n	εt−1
	∑εt
rε =	t=2		,	− 1 ≤ rt ≤ 1.
	n
1				1
	∑εt2

t=2

33

Критерий Дарбина – Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого

порядка связаны соотношением	d = 2(1− r1ε ).
Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения
факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.
Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина
лага конечна, имеет вид	·при переменной·	характеризует· . среднее абсолютное
Коэффициент регрессии
изменение при изменении	на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный

момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора x. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

	В момент (t + 1) воздействие факторной переменной на результат составит
(	условных единиц; в момент времени (t + 2) воздействие можно
охарактеризовать суммой (		и т.д. Эти суммы называют промежуточными

мультипликаторами. Для максимального лага (t + l) воздействие фактора на результат

описывается		суммой		(			, которая		называется долгосрочным
мультипликатором.
Величины						называются относительными коэффициентами
модели с	распределенным лагом. Если все коэффициенты								имеют одинаковые знаки, то
			β	,	0,1	0 β	1 и	β
для любого j

β1.

Величина среднего лага модели множественной регрессии определяется по формуле средней арифметической взвешенной

·β

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент t.

Медианный лаг – это период, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат

β0,5,

где – медианный лаг.

34

Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

	Уравнение регрессии преобразуется· ,		к виду0,1,2,…,0			1.
	После несложных преобразований· · ·			получаем·	уравнение·		, оценки.	параметров
которого приводят к оценкам параметров исходного уравнения.
	В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений
объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению
	Уравнение регрессии имеет вид	·		·		.	,
где	·				;	·
	·	,		1,…,		1,…, .

Расчет параметров модели с распределенным лагом методом Алмон проводится по схеме:

1)устанавливается максимальная величина лага l;

2)определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3)	рассчитываются значения переменных			;
4)	определяются параметры уравнения	линейной регрессии от ;
			,…,
5)	рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой

переменной, называются моделями авторегрессии,				например:
Как в модели с распределенным·		лагом·	,	в этой.	модели	характеризует
краткосрочное изменение	под воздействием изменения				на 1 ед.	Долгосрочный

мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

· · · 1 1 .

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.

35

Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. Имеются данные об объеме экспорта РФ (млрд $, цены Фондовой общероссийской биржи ФОБ) за 6 лет

№ квартала	Экспорт, млрд $	№ квартала	Экспорт, млрд $	№ квартала	Экспорт, млрд $
1	4087	9	5741	17	5875
2	4737	10	7087	18	6140
3	5768	11	7310	19	6248
4	6005	12	8600	20	6041
5	5639	13	6975	21	4626
6	6745	14	6891	22	6501
7	6311	15	7527	23	6284
8	7107	16	7971	24	6707

Требуется:

1.Построить график временного ряда.

2.Построить аддитивную модель этого ряда.

3.Построить мультипликативную модель ряда.

4.Оценить качество модели через показатели средней абсолютной ошибки.

5.Выберете наилучшую модель.

Задача 2. Сезонные компоненты в аддитивной модели для 3-х кварталов соответственно равны: S1 = 0,7; S2 = –1,3; S3 = –1,9. Определить сезонную компоненту для 4-го квартала.

Задача 3. Сезонные компоненты в мультипликативной модели для 3-х кварталов соответственно равны: S1 = 0,79; S2 = 1,3; S3 = 1,2. Определить сезонную компоненту для 4-го квартала.

Задача 4. По данным таблицы проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной модели временного ряда.

t		–0,483ε	t		0,273ε	t		0,280ε
1	6,0		7	6,0		13	9,0
2	4,4	0,289	8	10,0	0,104	14	6,6	0,252
3	5,0	0,019	9	8,0	0,026	15	7,0	–0,218
4	9,0	–0,151	10	5,6	–0,030	16	10,8	–0,588
5	7,2	–0,029	11	6,4	–0,072
6	4,8	–0,057	12	11,0	0,358

36

Задача 5. По данным таблицы проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для мультипликативной модели временного ряда.

t		–8,17ε	t		2,99ε	t		2,21ε
1	72		7	80		13	52
2	100	–2,3	8	58	3,14	14	60	–2,27
3	90	0,98	9	62	2,08	5	50	–3,01
4	64	0,25	10	80	4,39	16	30	–6,03
5	70	–0,05	11	68	2,99
6	92	3,04	12	48	2,04

Задача 6. Проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной и мультипликативной моделей по данным задачи 1.

Задача 7. По данным за 18 месяцев построено уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия y (млн руб.) от цен на сырье x1 (тыс. руб. за 1 т) и производительности труда x2 (ед. продукции на 1 работника)

При анализе остаточных		величин были использованы значения,									приведенные в
		200		1,5·		4,0· .
таблице
	№		y			x1		x2
	1		210			800		300
	2		720			1000		500
	3		300			1500		600
			…			…		…
Требуется:	ε		10500,		ε	ε		40000.
1. По трем позициям рассчитать				, ε , ε		,ε , ε		ε	.

2.Рассчитать критерий Дарбина – Уотсона.

3.Оценить полученный результат при 5 %-м уровне значимости.

4.Указать, пригодно ли уравнение для прогноза.

37

Библиографический список

1.Эконометрика : учебник / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576 с.

2.Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика : учебник / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина. – М.: Экзамен, 2003. – 512 с.

3.Плохотников К.Э. Основы эконометрики в пакете STATISTICA : учеб. пособие.

–М.: Вузовский учебник, 2010. – 298 с.

4.Эконометрика : учебник / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Проспект, 2011. – 288 с.

5.Практикум по эконометрике : учебное пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; под ред. И.И. Елисеевой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 344 с.

38