Матрица Гессе

1

Матрицей Гессе H() дважды непрерывно дифференцируемой в точке функции называется матрица частных производных второго порядка, вычисленных в данной точке:

2

=где

3

— квадратичная форма

Пример 1

Для функции вычислить градиент в точках

,

,

и найти матрицу Гессе.

4

По определению градиента и матрицы Гессе имеем:

,

,

,

,

.

Заметим, что матрица Гессе квадратичной функции не зависит от .

5

Пример 2

Для функции вычислить градиент и найти матрицу Гессе в точках , .

Согласно определениям имеем:

,

,

.

6

Квадратичная форма (и соответствующая ей матрица Гессе ) называется:

1.положительно определенной > 0), если для любого ненулевого ∆ выполняется неравенство > 0;

2.отрицательно определенной ( < 0), если для любого ненулевого выполняется неравенство < 0;

3.положительно полуопределенной ( ≥ 0), если

для любого выполняется имеется отличный от нуля которого ;

неравенство и вектор , для

7

4.отрицательно полуопределенной (0), если для любого выполняется неравенство и имеется отличный от нуля вектор для которого ;

5.неопределенной, если существуют такие векторы , , что выполняются неравенства , ;

6.тождественно равной нулю (), если для любого выполняется

8

Пример 3

Классифицировать квадратичную форму и матрицу Гессе .

Выпишем квадратичную форму

Очевидно, для любого ненулевого Согласно определению, квадратичная форма (матрица Гессе) положительно определенная.

9

Пример 4

Классифицировать квадратичную форму и матрицу Гессе .

Выпишем квадратичную форму

Очевидно, для любого вектора и для и любых . Согласно определению, квадратичная форма (матрица Гессе) положительно полуопределенная.

10