ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)

90	Занятие 10. Абсолютно непрерывные случайные величины

а) Найти постоянную , б) функцию распределения случайной величины ,

в) вероятность {0, 5 ≤ < 0, 7}.

5. На окружность радиуса брошена точка. Найти Функцию распределения и плотность абсциссы попадания точки.

Занятие

11

Преобразования случайных

величин

11.1Основные факты и определения

Следующая теорема дает метод нахождения распределений функций от случайных величин.

Теорема 11.1. Если случайная величина имеет плотность распределения ( ), то для любого борелевского множества имеет место равенство

∫

{ : ( ) } = ( ) .

11.2Задания для аудиторной работы

1.Случайная величина принимает с равной вероятностью любое из конечного числа значений = , = 0, . Найти закон распределения случайной величины = sin .

2.Пусть ( ) функция распределения абсолютно непрерывной случайной

величины . Выразить через ( ) функции распределения случайных величин

= 4 2 − 9, = | − 3|, = −2 .

3.Определить функцию и плотность распределения величины = ln , если

— случайная величина, равномерно распределенная на интервале (0; 3).

4.Определить функцию и плотность распределения величины = | |, если

— случайная величина, равномерно распределенная на интервале (−1; 2).

5.Случайная величина имеет распределение Коши с плотностью ( ) =

1			1			2		1
	. Найти распределение случайных величин 1	=		, 2	=		, 3 =		.
( 2+1)						1+ 2		1+ 2

91

92	Занятие 11. Преобразования случайных величин

6. Пусть случайная величина имеет бета–распределение с параметрами

( 1, 2). Найти распределение случайных величин а) 1 = 1 − ; б) 2 = 1− .

11.3Задания для самостоятельной работы

1.Случайная величина равномерно распределена на интервале (0; 3). Определить функцию и плотность распределения величины = | − 0, 2|.

2.Случайная величина принимает значения = 8 , = 0, 8, с вероятностями { = } = 45+1. Найти закон распределения случайной величины

= cos 2 .

	3.Пусть случайная величина, имеющая биномиальное распределение
с	параметрами	и . Найти распределение случайной величины =
21	1 + (−1) .
	(4. Случайная)	величина имеет показательное распределение с параметром

. Найти распределение случайных величин

а) 1 = 2;

√

б) 2 = — дробная часть; в) 3 = [ ] (целая часть).

5. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Найти распределение случайных величин:

а) 1 = 2 + 1; б) 2 = − ln ; в) 2 = − ln (1 − ).

6. Построить пример такого абсолютно непрерывного распределения слу-

чайной величины с плотностью распределения ( ) и такой непрерывной функции ( ), что распределение случайной величины = ( ) не вырождено и дискретно.

Занятие

12

Числовые характеристики

АНСВ

12.1Основные факты и определения

Определение 12.1. Определение. Пусть ( , F, ) — вероятностное пространство, ( ) — абсолютно–непрерывная случайная величина на нем с плотностью распределения вероятностей ( ). Математическим ожиданием

абсолютно–непрерывной случайной величины ( ) называется

+∞	+∞
= ∫−∞	( ) = ∫−∞	( ) ,

если интеграл справа сходится абсолютно.

Если ( ) — абсолютно непрерывная случайная величина и ( ) — некоторая борелевская функция, тогда ( ) также является случайной величиной. И в этом случае математическое ожидание ( ) вычисляется по формуле

∫ +∞

( ) = ( ) ( ) .

−∞

Пример 12.1. Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [ ; ], т.е. плотность распределения равна

{

1 , [ ; ] ;

( ) = −

0, / [ ; ] .

Вычислим ее математическое ожидание и дисперсию.

+∞					2 2		+
Решение. Тогда = ∫−∞	( ) = ∫			=	2( −− )	=		.
		−					2

93

94	Занятие 12. Числовые характеристики АНСВ

Как мы видим математическое ожидание равномерной случайной величины является серединой отрезка и не зависит от его длинны.

Далее, найдем второй центральный момент

2 =	+∞ 2 ( ) =			2	=	3 − 3	=	2 + + 2	.
			∫	−		3 ( − )
	∫−∞							3

И, наконец, дисперсия равна

	= 2	−	( )2 =	2 + + 2	− (	+	)	2 =	( − )2	.
				3		2			12

Дисперсия равномерной случайной величины не зависит от расположения отрезка, а зависит лишь от его длины.

Пример 12.2. Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром . Найдем ее математическое ожидание.

Решение. В данном случае

( ) = { 0,

−

0 .

, > 0 ;

∫−∞

∫0

≤

=

( ) =

∞

− = − ∫0

+

∞

−

=

+∞

+

(

)

+

∞

+∞

− =

1

= − − 0

+ ∫0

.

12.2Задания для аудиторной работы

1.Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0, ]. Найти: а) sin , cos ;

б) sin , cos ;

в) Найти sin , cos при любом целом ≥ 1; г) асимптотику sin , cos при → ∞.

2.Случайная величина имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [ ; ], если ее плотность распределения веро-

12.3. Задания для самостоятельной работы							95
ятностей имеет вид:	{ 0−,
( ) =					−[ ; ] .
		2		−	2	| −	− 2 | , [ ; ] ;
					( )2

Найти математическое ожидание .

3. Найти математическое ожидание и дисперсию нормальной случайной величины с параметрами ( , 2).

4Случайная величина имеет нормальное распределение ( , 2) . Найдите | − | .

5. Случайная величина имеет гамма–распределение с параметрами

( , ) ( > 0, > 0), если плотность распределения вероятностей имеет вид

( ) = { 0,

0,

Γ( )

−1 − , > 0;

≤

здесь ( ) — гамма функция аргумента . Найти математическое ожидание

и дисперсию .

6. Пусть — случайная величина, такая что lim

( ) = 0 и

lim (1

−

( )) = 0

→−∞

→

+

∞

. Докажите, что в этом случае справедливо равенство

−0∞ ( ) + 0+∞ (1 − ( ))

= −

Здесь∫

( )

—

∫

функция распределения .

7. Сторона квадрата, имеющая длину , измерена с погрешностью , равно-

мерно распределенной на отрезке [− , ] . Найти среднее значение и дисперсию площади квадрата, вычисленной по результатам измерения.

12.3Задания для самостоятельной работы

	1. Случайная величина имеет функцию распределения ( ) =	1	+
		2
1	( + 1). Найти ее математическое ожидание и дисперсию, если они су-

ществуют.

2.Случайная величина равномерно распределена на интервале [0; ], найти параметр , если = 4.

3.Случайная величина имеет бета–распределение с параметрами ( , ) ( , ), если плотность распределения вероятностей имеет вид

96	Занятие 12. Числовые характеристики АНСВ

( ) =	{ 0, / [0, 1] .			−	) −1 ,
		Γ( + )	−1 (1				[0, 1] ;
		Γ( )Γ( )

здесь ( ) — гамма функция. Найти математическое ожидание и диспер-

сию .

4.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность распределения вероятностей которой имеет вид ( ) = 12 −| | (распределение Лапласа).

5.Случайная величина имеет распределение Парето с параметрами

( , 0) ( > 0, 0 > 0), если плотность распределение вероятностей имеет вид:

( ) = {			(	0		+1		.
	00,					0.
					)		,	> 0;

≤

Это распределение встречается в задачах экономической статистики. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

6. Случайная величина имеет распределение Вейбула–Гнеденко с параметрами ( , ) ( > 0, > 0), если плотность распределение вероятностей имеет вид:

{
−1 − ,	> 0;
( ) =
0, ≤ 0.

Это распределение часто используется в теории надежности для описания времени безотказной работы приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

7. Внутри квадрата с вершинами в точках (0; 0), (0; 1), (1; 1), (1; 0) случайным образом выбирают точку с координатами ( , ). Найти распределение случайной величины = / и ее математическое ожидание и дисперсию.

Литература

[1]Гихман И. И. Теория вероятностей и математическая статистика \ И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. — К.: Вища шк., 1988. — 439 c.

[2]Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1989. — 448 c.

[3]Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. пособие для вузов \ А. М. Зубков, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков — М.: Наука, 1989. — 320 c. — ISBN 5–02–013949–1.

[4]Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: Наука, 1989. — 640 c.

97

Приложение

A

Таблицы нормального

распределения

В таблице A.1 приложения для > 0 приведены значения функции плотности стандартного нормального распределения.

( ) = √1 − 2/2 2

Для < 0 можно воспользоваться равенством (− ) = ( ).

В таблице A.2 приложения для > 0приведены значения функции распределения стандартного нормального распределения.

( ) = ∫ √1 − 2/2

2

−∞

Для < 0 можно воспользоваться равенством (− ) = 1 − ( ).

В обеих таблицах в первом столбце указаны целая и десятая часть аргумента, в первой строке соответствующая сотая часть.

98

Таблица A.1 – Функция ( )

		0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0		0,398942	0,398922	0,398862	0,398763	0,398623	0,398444	0,398225	0,397966	0,397668	0,397330
0,1		0,396953	0,396536	0,396080	0,395585	0,395052	0,394479	0,393868	0,393219	0,392531	0,391806
0,2		0,391043	0,390242	0,389404	0,388529	0,387617	0,386668	0,385683	0,384663	0,383606	0,382515
0,3		0,381388	0,380226	0,379031	0,377801	0,376537	0,375240	0,373911	0,372548	0,371154	0,369728
0,4		0,368270	0,366782	0,365263	0,363714	0,362135	0,360527	0,358890	0,357225	0,355533	0,353812
0,5		0,352065	0,350292	0,348493	0,346668	0,344818	0,342944	0,341046	0,339124	0,337180	0,335213
0,6		0,333225	0,331215	0,329184	0,327133	0,325062	0,322972	0,320864	0,318737	0,316593	0,314432
0,7		0,312254	0,310060	0,307851	0,305627	0,303389	0,301137	0,298872	0,296595	0,294305	0,292004
0,8		0,289692	0,287369	0,285036	0,282694	0,280344	0,277985	0,275618	0,273244	0,270864	0,268477
0,9		0,266085	0,263688	0,261286	0,258881	0,256471	0,254059	0,251644	0,249228	0,246809	0,244390
1,0		0,241971	0,239551	0,237132	0,234714	0,232297	0,229882	0,227470	0,225060	0,222653	0,220251
1,1		0,217852	0,215458	0,213069	0,210686	0,208308	0,205936	0,203571	0,201214	0,198863	0,196520
1,2		0,194186	0,191860	0,189543	0,187235	0,184937	0,182649	0,180371	0,178104	0,175847	0,173602
1,3		0,171369	0,392434	0,366415	0,368796	0,366962	0,365727	0,364379	0,363026	0,361651	0,360259
1,4		0,149727	0,147639	0,145564	0,143505	0,141460	0,139431	0,137417	0,135418	0,133435	0,131468
1,5		0,129518	0,127583	0,125665	0,123763	0,121878	0,120009	0,118157	0,116323	0,114505	0,112704
1,6		0,110921	0,109155	0,107406	0,105675	0,103961	0,102265	0,100586	0,098925	0,097282	0,095657
1,7		0,094049	0,092459	0,090887	0,089333	0,087796	0,086277	0,084776	0,083293	0,081828	0,080380

Продолжение на следующей странице

99