ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)

20Занятие 2. Применение формул комбинаторики при решении задач

5.Шесть юношей и четыре девушки необходимо разбить на две команды по пять человек так, чтобы в каждую команду входила хотя бы одна девушка. Сколько существует различных способов это сделать?

6.Сколько существует возможных результатов, которыми могут окончиться соревнования, в которых стартует 10 человек в трех видах спорта. Если каждый человек стартует в одном произвольно выбранном виде спорта? (Под результатом соревнования понимается распределение всех мест для спортсменов стартующих в каждом виде спорта.)

7.В лифт девяти этажного дома сели 10 человек. Сколькими способами они могут выйти? А так, чтобы на каждом этаже вышел хотя бы один человек?

8.Из колоды в 52 карты вытаскивают 6 карт. Сколько существует различных наборов, в которых:

а) есть хотя бы один король? б) все карты одинаковой масти?

в) 3 черных карты и 3 красных карты? г) не ни одного туза?

д) карты можно расположить подряд в порядке их наименований без учета масти? Рассмотреть четыре случая извлечения пар:

I) с учетом порядка, без возвращения; II) с учетом порядка, с возвращением; III) без учета порядка, без возвращения; IV) без учета порядка, с возвращением.

9.В урне содержатся шаров, пронумерованных числами от 1 до . Из урны последовательно извлекаются шаров один за другим. Сколькими способами это можно сделать:

а) всего; так, чтобы

б) шары извлекались в порядке возрастания своих номеров; в) были извлечены шары с номерами 1 и .

10*. Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух ближайших соседей. С целью укрытия награбленного необходимо выделить пятерых разбойников. Сколькими способами атаман может назначить этих пятерых так, чтобы между ними не было распрей?

Занятие

3

Классическое определение

3.1Основные факты и определения

Определение 3.1. Рассмотрим стохастический эксперимент, имеющий n одинаково возможных исходов. Предположим, что событию благоприятствуют ( ) из этих исходов, тогда вероятностью события назовем выражение

P( ) = ( ).

Свойства вероятности:

1.	0 ≤ P ( ) ≤ 1;
2.	P( ) = 1;
3.	Если и — несовместные события, то P ( ) = P ( ) + P ( ).

Следствие 3.1. Если событие противоположное данному: = ,

( )

то P ( ) = 1 − P .

3.2Примеры решения задач

Пример 3.1. Среди восьми билетов лотереи выигрышными являются пять. Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных билетов:

а) все выигрышные; б) ровно один выигрышный;

в) хотя бы один выигрышный.

Решение. Перенумеруем билеты. Элементарным исходом в данной задаче является тройка номеров без учета порядка. Следовательно, общее количество

21

22 Занятие 3. Классическое определение

элементарных исходов равно количеству сочетаний из восьми по три, т.е. =

	83 =	8!	= 56.
		3!·(8−3)!

а) Благоприятными исходами являются только тройки, состоящие из но-

меров выигрышных билетов, т.е. ( ) = 3						=	5!			= 10. Таким образом
			5				3!·(5−3)!
P( ) =	( )	= 10	=	5	.
		56	28
б) Один выигрышный билет можно выбрать 1								= 5 способами. Два не
						5
выигрышные 2			= 3 способами. Согласно основному принципу комбинаторики
		3

получаем ( ) = 5 · 3 = 15. Следовательно P( ) = ( ) = 1556.

в) При решении данного круга задач: «есть хотя бы один», целесообразно перейти к рассмотрению противоположного события. Так если событие =«есть

( ) =

( )

) = 1

P( ) = 1

(

)

3

= 1/56. Окончательно P(

.

хотя бы один выигрышный», то =«все проигрышные», т.е.

= 3 = 1,

−

−

1/56 = 55/56

Пример 3.2. Наудачу выбирается семизначное число. Найти вероятность того, что число

а) состоит из одинаковых цифр; б) состоит из разных цифр;

в) одинаково читается как слева направо, так и справа налево; г) состоит ровно из четырех различных цифр.

Решение. Элементарный исход эксперимента — упорядоченная семерка цифр, причем на первом месте не может стоять ноль. Следовательно, первую цифру можно выбрать девятью способами, остальные шесть — десятью способами. Таким образом, общее число элементарных исходов эксперимента равно

= 9 · 106/ а) Так как все цифры должны быть одинаковыми то таких исходов ( ) =

9 (цифр десять но число состоящее только из нулей не подходит). Вероятность данного события равна

P ( ) =	( )		=	9			= 10−6.
				9 · 10		6

б) В данном случае все числа должны быть различны, следовательно первую цифру можно выбрать девятью способами, вторую — девятью способами, третью — восемью способами, и т.д. до седьмой, которую можно выбрать четырьмя способами. Следовательно благоприятных исходов будет ровно

3.2. Примеры решения задач

23

( ) = 9 · 9 · 8 · 8 · 6 · 5 · 4 = 544320. Вычислим вероятность

P ( ) =	( )		=	544320	= 0,06048.
				6
				9 · 10

Пример 3.3. В урне лежат три белых шара и четыре черных. Из урны одновременно на удачу извлекают два шара. Найти вероятности следующих событий

а) оба шара белые; б) шары одинакового цвета;

в) шары разного цвета.

Решение. Общее число элементарных исходов данного эксперимента равна

= 2 =	7!	= 21.
	5!2!
7
а)Число		благоприятствующих	событию					={оба шара белые} равно
( ) = 32 = 3. Следовательно
		P ( ) =	( )		=	3	=	1	.
						21		7

б) Пусть событие =шары одинакового цвета. Если шары одинакового цвета, то они или оба белые или оба черные. Обозначив = Тогда ( ) =32 + 42 = 3 + 6 = 9. Таким образом,

P ( ) = ( ) = 9 = 3.21 7

в) Найдем число элементарных исходов случайного события ={шары разного цвета}: ( ) = 3 · 4 = 12. Используя классическое определение веро-

ятности, получим

P ( ) = ( ) = 12 = 4.21 7

Пример 3.4. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо друг от друга перенумеровать их в порядке, отражающих их успехи в соревновании, по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. Какова вероятность того, что победитель будет определен?

Решение. Каждый из судей может расставить претендентов 10! способами, таким образом общее число элементарных исходов эксперимента равно

24	Занятие 3. Классическое определение

= (10!). Пусть ={победитель будет определен}. Из них благоприятствует событию , те из них у которых на первых местах стоят хотя бы две одинаковые гимнастки. Следовательно событию противоположному = благоприятствуют, те элементарные исходы в которых на первых местах стоят все разные гимнастки ( ) = 10 · 9 · 8 · (9!)3. Таким образом,

8

(9!)3

P ( )

=

(

)

=

10 · 9

· ·

= 0,72.

10!

Окончательно получим P ( ) = 1 − P

(

)

= 1 − 0,72 = 0,28.

Пример 3.5. В урне лежат 10 жетонов с числами 1,2,3, . . . , 10. Из нее, не выбирая, один за другим вынимают 3 жетона. Какая вероятность того, что числа на извлеченных жетонах

а) расположены подряд; б) идут в порядке возрастания, не обязательно подряд?

Решение. Исходами данного эксперимента будут упорядоченные тройки различных чисел от 1 до 10. Следовательно = 310 = 720

a) исходы, которые благоприятствуют событию есть тройки чисел

{1, 2, 3} ; {2, 3, 4} ; . . . ; {8, 9, 10} как угодно упорядоченные, т.е. ( ) = 8 · 3! =

48. Следовательно

P ( ) = ( ) = 48 = 1 .720 15

б) исходы благоприятствующие событию — это упорядоченные по возрастанию тройки чисел. Чтобы подсчитать их количество необходимо вычислить количество сочетаний из 10 по 3 (каждое сочетание потом можно одним способом упорядочить). Тогда ( ) = 103 = 120. Согласно формуле классической

вероятности, имеем

P ( ) = ( ) = 120 = 1.720 6

3.3 Задания для аудиторной работы

1.Брошено 4 игральных кости. Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны. Найти вероятность событий:

а) не выпало ни одной «6»;

3.3. Задания для аудиторной работы

25

б) выпало ровно три «6»; в) выпала хотя бы одна «6»; г) выпало хотя бы две «6».

2.В ящике находятся 10 деталей, среди которых 4 бракованных. Наудачу извлекается 5 деталей. Какова вероятность того, что среди них

а) ровно одна бракованная; б) ровно две бракованные; в) все стандартные; г) хотя бы одна бракованная.

3.В кондитерской продается 6 видов пирожных. Барышня покупает 5 пирожных. Найти вероятность того, что

а) все пирожные будут одинаковые; б) все пирожные будут различные;

в) пирожные будут ровно четырех наименований.

4.Восемь человек садятся на восьми местную скамейку. Какова вероятность того, что два определенных человека окажутся рядом?

5.На зачете предлагается вопросов. Студент знает только вопросов. Преподаватель предлагает студенту вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет, если для этого необходимо ответить не менее чем на

( < ) вопросов?

6.Из карточек разрезной азбуки составлено слово «МАТЕМАТИКА». Эти карточки тщательно перемешали, после чего разложили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «МАТЕМАТИКА».

7.В урне находятся 8 шаров пронумерованные от 1 до 8. Из урны один за другим извлекаются 4 шара. Найти вероятность того, что

а) номера шаров следуют в порядке возрастания, не обязательно подряд; б) номера шаров расположены подряд; в) извлечены шары с четными номерами.

8.Некоторый код состоит из шести цифр. Какова вероятность того, что он содержит

а) все разные цифры; б) все одинаковые цифры;

в) ровно одну пару одинаковых цифр;

26	Занятие 3. Классическое определение

г) ровно две различные пары одинаковых цифр; д) три различные пары одинаковых цифр; е) две различные тройки одинаковых цифр.

9.Собираясь в путешествие на воздушном шаре, Пончик положил в каждый из 20 карманов своего костюма по одному прянику. Через каждые 10 минут полета у Пончика возникает желание подкрепиться, и он начинает в случайном порядке просматривать свои карманы до тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти вероятность того, что:

а) поиск –го пряника начинается с пустого кармана; б) первые пряников Пончик найдет с первой попытки.

10.Найти вероятность того, что случайно взятое число из множества

{1, 2, . . . , } делится на фиксированное натуральное число . Найти lim .

→∞

11. Из множества {1, 2, . . . , } случайно выбирается число . Найти вероятность того, что при делении на целое число ≥ 1 дает остаток . Найти

вероятность lim .

→∞

12. Из множества {1, 2, . . . , } случайно выбирается число . Найти

lim , где — вероятность того, что 2 − 1 делится на 10.

→∞

13*. В кассу стоит очередь из человек, среди них человек в кармане имеют банкноту в 5 гривен, а − — по одной банкноте номиналом в десть гривен. Билет стоит пять гривен. Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придется ждать сдачу, если изначально в кассе не было денег?

3.4Задания для самостоятельной работы

1.Поезд состоит из 5 вагонов. Каждый из 3 пассажиров выбирает себе вагон наугад, не важно в какой вагон войдет конкретный человек, важно сколько человек в вагоне («люди не различимы»). Найти вероятность того, что:

а) в определенных 3 вагонах окажется по одному пассажиру; б) в каких то 3 вагонах окажется ровно по одному пассажиру; в) в данном вагоне окажется ровно 2 пассажира;

2.Кубик подбрасывают 2 раза. Какова вероятность того, что сума очков выпавших на верхней грани не меньше 8?

3.4. Задания для самостоятельной работы

27

3.На первом этаже двенадцати этажного дома в лифт входит 6 пассажиров. Вычислите вероятность того, что:

а) все пассажиры выйдут на разных этажах; б) все пассажиры выйдут на одном этаже;

в) на определенном этаже не выйдет ни один человек.

4.Какова вероятность того, что при извлечении пяти карт из колоды в 52 карты:

а) все карты окажутся бубновой масти; б) все карты окажутся одной масти;

в) две карты будут красной масти, а 3 — черной; г) среди них будет хотя бы один туз; д) среди них будет ровно один король;

е) есть хотя бы три карты одинаковой масти?

5.За круглый стол случайным образом рассаживаются 5 мужчин и 5 женщин. Какова вероятность того, что ни какие два человека одного пола не сидят рядом.

6.В группе 5 юношей и 10 барышень. Какова вероятность, что при случайном разделении на 5 групп по три студента, в каждой группе будет юноша.

7*. Из чисел {1, 2, . . . , } случайно выбирается число . Найти вероятность

того, что:

а) число не делится ни на 1, ни на 2, где 1 и 2— фиксированные натуральные взаимно простые числа;

б) число не делится ни на какое из чисел 1, 2, . . . , , где числа —

натуральные и попарно взаимно простые.

Найти lim в случаях а) и б).

→∞

8*. В зале кинотеатра в первых двух рядах, каждый из которых состоит из

кресел, сидит человек. Найти вероятность следующих событий: а) в первом ряду никакие два человека не сидят рядом; б) во втором ряду каждый человек имеет ровно одного соседа;

в) в первом ряду из любых двух кресел, расположенных симметрично середины ряда, хотя бы одно свободно.

9*. В кассу стоит очередь из человек, среди них человек в кармане имеют банкноту в 5 гривен, а − — по одной банкноте номиналом в десять гривен.

28	Занятие 3. Классическое определение

Билет стоит пять гривен. Какова вероятность того, что ни одному из покупателей не придется ждать сдачу, если изначально в кассе было ( < − )

банкнот стоимостью в пять гривен?

Занятие		4

Геометрические вероятности

4.1Основные факты и определения

Рассмотрим эксперимент, пространство элементарных исходов которого представляет собой область в n-мерном евклидовом пространстве (пример такого эксперимента: точку бросают наугад в область ). Предположим, что область имеет меру Лебега ( ) (в случае = 1 — длина, = 2 — площадь,

= 3 — объем). Рассмотрим –алгебру F всех подмножеств из , имеющих меру Лебега. Если все точки «одинаково возможны», т.е. попадание точки в подмножество не зависит от его расположения и формы, а зависит только от его меры Лебега, то положим для каждого F:

P ( ) = ( )( )

Тогда ( , F, P) есть вероятностная модель рассматриваемого эксперимента. В этом случае говорят, что имеют дело с геометрическими вероятностями.

4.2Примеры решения задач

Пример 4.1. На отрезок длины 2 бросают две точки. Найти вероятность того, что длина средней части больше правой.

Решение. Обозначим точку которая расположена левее , а правее — . Тогда пространство элементарных исходов данного эксперимента задается соотношением

= {( , ) : 0 6 6 2; 6 6 2}

Пусть = , а =

29