ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)

80	Занятие 9. Числовые характеристики ДСВ

Аналогично вычислим второй начальный момент

	∑					∑			− =
M 2 =	2		=					2
	=1					=0
	∑							−		∑
=		(			− 1)				+	−	=
	=0									=0

= ( − 1) 2 + .

Таким образом, дисперсия равна

D = M 2 − (M )2 = ( − 1) 2 + − 2 2 = − 2 = (1 − ) = .

Пример 9.2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , имеющей геометрическое распределение ( ).

Решение. Как нам известно распределение геометрической случайной величины имеет вид P { = } = , = 0, 1, . . .. Вычислим ее математическое ожидание, имеем

M =

∞

=

∞

=

∞ −1 =

( ∞

)′ =

∑

∑

∑

∑

=1

=0

=0

=0

1

′

=

(

) =

=

=

.

1

−

(1

−

)2

2

Найдем математическое ожидание квадрата

∞

	∑
M =	2	=
	=1

Пример 9.3. Вычислить математическое ожидание распределения Пуассо-

на.

Решение. Пусть P { = } = !− , = 0, 1, . . . Тогда

∞	∞	−	∞	−1		∞
M = ∑ =	∑		= − ∑			= − ∑		= − = .
		!		( − 1)!			!

=1

=0

=1

=0

9.2. Примеры решения задач

81

Пример 9.4. Боезапас орудия — 4 снаряда. Стрельба по цели ведется одиночными выстрелами до получения второго попадания (в случае трех первых промахов стрельба прекращается). Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Для случайного числа выстрелов найдите ряд распределения. Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение .

Решение.

Пример 9.5. В урне 5 белых, 3 черных и 1 красный шар. Опыт состоит в извлечении шаров из урны наудачу по одному без возвращения и прекращается, как только появляется белый шар. Пусть — случайное число черных шаров, извлеченных до прекращения опыта. Найдите ряд распределения . Вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение . Найти P { 6 M }.

Решение.

Пример 9.6. В урне 5 белых, 3 черных и 1 красный шар. Опыт состоит в извлечении шаров из урны наудачу по одному с возвращением и прекращается, как только появляется белый шар. Пусть — случайное число черных шаров, извлеченных до прекращения опыта. Найдите ряд распределения , ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Пример 9.7. Вероятность наличия нужного покупателю товара в первом магазине равна 0,9, во втором — 0,8, в третьем — 0,7, в четвертом — 0,6. Покупатель в указанной последовательности посещает эти магазины до тех пор, пока не найдет нужный ему товар. Составить закон распределения случайной величины — числа магазинов, которые придется посетить покупателю. Найти математическое ожидание и дисперсию .

Решение.

Пример 9.8. Один раз брошены три игральные кости. Случайная величина

принимает: значение 1, если на одной игральной кости выпадет шесть очков; значение 0, если шесть очков не выпало ни на одной игральной кости, но хотя бы на одной кости выпала «единица» и значение −1 во всех остальных случаях.

82	Занятие 9. Числовые характеристики ДСВ

Составить ряд распределения случайной величины . Найти математическое ожидание и дисперсию .

Решение.

Пример 9.9. Бросают два кубика. Случайная величина равна наибольшей из двух выпавших цифр. Для этой случайной величины построить ряд распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Пример 9.10. Вычислить M [(1 + ) − 1], если случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром .

Решение.

[ ]

Пример 9.11. Вычислить M 1+1 , если случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами , .

Решение.

Пример 9.12. Случайная величина может принимать только следующие значения: −2, −1, 0, 1 и 2. Найти распределение , если M = M 3 = 0, M 2 = 1

иM 4 = 2.

Решение.

9.3Задания для аудиторной работы

1.Ряд распределения случайной величины указан в таблице.

		1	2	3	4
		0,4	0,3	0,2	4

Найдите 3 и 4, если M = 2.

2. Ряд распределения случайной величины указан в таблице.

		-1	0	1	2
		0,3	2	0,3	4

9.3. Задания для аудиторной работы

83

Найдите 2 и 4, если = 0, 2.

3.Случайная величина имеет распределение, определяемое формулами P { = } = , = 1, 2, . . ., , > 0. При каких значениях случайная величина имеет а) конечное математическое ожидание; б) конечную дисперсию?

4.Распределение дискретной случайной величины определено формула-

ми,

а) P { = }

=

12

, = 1, 2, . . .

( +1)( +2)( +3)

( +1) −1

б) P { = }

=

, = 1, 2, . . .

( +2)

в)

P

{

=

}

=

1

−

−

− ( − )

,

> 0

,

= 0,

.

Найти

математическое ожидание и

дисперсию

, если они существуют.

(

)

5.Брошены две симметричные игральные кости. Найти математическое ожидание суммы выпавших очков. Найти математическое ожидание, если известно, что выпали разные грани.

6.человек сдают анализ крови. Исследование может быть организовано двумя способами.

I) Кровь каждого человека исследуется отдельно. Требуется провести анализов.

II) Кровь человек смешивается и анализируется полученная смесь. Если результат отрицателен, то достаточно одного анализа для этих человек. Если результат положителен, то кровь каждого исследуется отдельно, и всего необходимо провести + 1 анализ.

Считая, что вероятность положительного результата для каждого донора равна , найдите

а) вероятность положительного результата в группе из человек; б) математическое ожидание числа анализов при втором способе исследо-

вания; в) оптимальное число для = 0,05.

7.В одной из вершин тетраэдра сидит паук. Муха ползает по ребрам тетраэдра из одной вершины в другую, выбирая каждый раз ребро наудачу. Считая, что ребро преодолевается за единицу времени, найдите среднее время жизни мухи и ее дисперсию.

8.Пусть – неотрицательная целочисленная величина с конечным матема-

84	Занятие 9.	Числовые характеристики ДСВ
	∞
	∑	P { ≥ }.
тическим ожиданием. Докажите, что M =
	=1

9.4Задания для самостоятельной работы

1.Вычислите M (2 + 5 ), если M = 2, M = 3.

2.Распределение дискретной случайной величины определено формула-

ми, P { = } = 1/6, = −3; −2; −1; 0; 1; 2. Найти математические ожидания случайных величин , 1 = sin ( ), 2 = | | + 1, 3 = 3.

3. Ряд распределения случайной величины указан в таблице.

		-2	-1	0	2
		0,4	2	3	0,3

Найдите 2 и 3, если M = −0,3.

4. Ряд распределения случайной величины указан в таблице.

				2	4	3	4
				0,6	0,1	0,2	4
Найдите 3, 4	и 4, если M = 3,6, M 2 = 17,6

5. Распределение дискретной случайной величины определено формула-

ми, а) P { = } =	4		, = 2, 3, . . . б) P { = } =	−	, = 0, 1, 2, . . .
	( −1) ( +1)			(1+ − ) +1

Найти математическое ожидание и дисперсию , если они существуют.

6.При бросании трех игральных костей игрок выигрывает 2000, если на всех трех костя выпадет по 6 очков; 150, если на двух костях выпадет по 6 очков; 40, если только на одной кости выпадет 6 очков.

Математическое ожидание выигрыша в справедливой игре равно нулю. Какова должна быть ставка за участие в этой игре, чтобы она являлась справедливой.

7.Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 1, а для второго — 2. Пусть — общее число попаданий в мишень. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины .

9.4. Задания для самостоятельной работы

85

[ ]

8*. Найти M 2+1 , если случайная величина имеет а) распределение Пуассона c параметром : ( );

б) биномиальное распределение распределение с параметрами и :

( , ); в) геометрическое распределение с параметром : ( ).

Занятие

10

Абсолютно непрерывные

случайные величины

10.1Основные факты и определения

Определение 10.1. Cлучайная величина имеет плотность распределения, если существует интегрируемая борелевская функция ( ) такая, что для всех выполнено равенство

∫

( ) = ( ) .

−∞

Функция ( ) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины , а сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.

Иногда функцию распределения называют интегральной функцией распределения, а плотность — дифференциальной функцией распределения.

Свойства плотности распределения:

1)( ) ≥ 0 (неотрицательность );

∫ +∞

2)−∞ ( ) = 1 (нормированность).

Следующая теорема дает метод нахождения распределений функций от случайных величин.

Некоторые непрерывные распределения:

1. Равномерным распределением на интервале ( , ) (обозначают ( , )) называют распределение с плотностью

{

1, [ ; ];

( ) = −

0, / [ ; ].

86

10.1. Основные факты и определения

87

2. Нормальным распределением ( ; 2)c параметрами и 2называют распределение с плотностью

	√	1		−	( − )2
( ) =					2 2	.

2

3. Логнормальным распределением c параметрами и 2называют распределение с плотностью

1−(ln − )2

( ) = √ 2 2 .

2

4.Случайная величина имеет экспоненциальное (показательное) распределение с параметром , > 0, если ее плотность распределения имеет

вид

( ) =	{ 0, −	,	00;.
			>
			≤

5. Распределение с плотностью

( ) = 21 _| − | , > 0

называется распределением Лапласа.

6. Распределение с плотностью

( ) = {	−1 −			0,	0;
	0,	Γ( )	,
				>

≤

здесь ( ) — гамма–функция, называется гамма–распределением ( , ) с

параметрами > 0 и > 0.

7. Распределение с плотностью

( ) = {	1	1		2−1
		−	(1− )			, 0 < < 1;
	0,	B( 1, 2)			/ (0; 1) ,

здесь B ( 1, 2) — бета–функция, называется бета–распределением B ( , ) с параметрами 1 > 0 и 2 > 0.

88	Занятие 10. Абсолютно непрерывные случайные величины

8.Распределение с плотностью

1

( ) = ( − )2 + 2 , > 0

называется распределением Коши.

10.2Задания для аудиторной работы

1. Абсолютно непрерывная случайная величина имеет функцию распре-

деления

( ) =

≤ −

1;

,

<

0,

−1

≤ 1;

1 +

2 arccos

1,

> 1.

Найти

а) константы 1

и 2;

√

б) плотность распределения ; в)

.

−

21

≤ <

3

2

2. Абсолютно непрерывная случайная{

величина }имеет функцию распре-

деления

( ) = 2

,

<

0,

≤

1;

1

≤ 2;

1

+

2

1,

> 2.

Найти

а) константы 1

и 1;

б) плотность распределения ;

в) {−2 ≤ < 1, 5}.

3. Плотность распределения случайной величины определена соотноше-

нием:

{

(1 − |1 − |) , [0; 2] ;

( ) =

0, / [0; 2] .

а) Найти постоянную ,

10.3. Задания для самостоятельной работы

89

б) функцию распределения случайной величины , в) вероятность {1, 5 ≤ < 2}.

4. Точка ( , ) наудачу выбирается в треугольнике с вершинами в точках

(0, 0), (2, 1) и (2, 0). Найти функцию распределения и плотность случайной величины а) , б) .

5.Равнобедренный треугольник на плоскости образован единичным вектором в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайном направлении. Найти функцию распределения длины третьей стороны.

6.Задача о встрече. Света и Вася договорились встретиться между 11 и 12 часами. Пусть — время, которое придется ждать одному из них до момента встречи, считать, что моменты прихода каждого из них независимы и случайны. Найти функцию распределения и плотность распределения вероятностей .

10.3Задания для самостоятельной работы

1. Выразить через функцию распределения:

а) { ≤ }; б) { 1 ≤ ≤ 2}; в) { 1 ≤ < 2}; г) { 1 < < 2};

){ = }.

2.Даны функции

( ) =

1

+ 1

( ) =

2

,≤ −

<

а)

2

; б)

0,

1;

≤ 1;

− 1 −1

0, 0;

1, > 1,

в)

) =

{

≤

(

,

> 0.

1+

Какие из них являются функциями распределения?

3.Случайная величина имеет функцию распределения

( ) = 1 + 2

Найти а) константы 1 и 2; б) плотность распределения ; в)

{

1

√

.

<

3

4. Задана плотность распределения случайной величины

√3

≤

}

(

) = {

2, [0; 1] ,

0, / [0; 1] .