ТВ Практические занятия (математики)(1-12)(16.11.14)

50	Занятие 6. Распределение Бернулли

мая вероятность равна

P ( ) = 2/5(10, 3) + 2/5(10, 4) + 2/5(10, 5) + 2/5(10, 6)+ + 2/5(10, 7) + 2/5(10, 8) + 2/5(10, 9) + 2/5(10, 10).

Ее проще вычислить перейдя к противоположному событию, тогда

P ( ) = 1 − 2/5(10, 0) − 2/5(10, 1) − 2/5(10, 2).

Далее, применяя формулы для биномиальных вероятностей, получим

													2								0		3			10			3		10
1/9(10, 0) = 100												(						)				(		)			= (			)			,
															5								5						5
			2								1					3						9			10		2	39			23			39
1/9(10, 1) = 101		(						)					(						)			=					· ·			=			·			,
							5										5										510						58
			2							2			3							8			9			5	22		38				22		310
1/9(10, 2) = 102	(					)					(					)						=			·		·	·			=			·
				5										5													510							5	9
И, окончательно,
P ( ) = 1 − (			3		)				10							23						9				22		10
												−								· 3				−			· 3			≈ 0,47
			5																	58							59

б) Так как ( +1) = 2/5·(10+1) = 4,4 —не целое число, то наивероятнейшее число одно, и оно равно = [ ( + 1)] = [4,4] = 4

Пример 6.3. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Решение. Искомое число выстрелов должно удовлетворять равенству

[0,8( + 1)] = 20 или 0,8( + 1) = 21. Эти соотношения можно записать в виде двойного неравенства

20 6 0,8( + 1) 6 21

6.2. Примеры решения задач

51

Решая его, получим

24 6 6 25,25

Таким образом, необходимое количество выстрелов равно 24 или 25.

Пример 6.4. В урне лежат шесть шаров: три белых, два черных и один красный. Из урны один за другим с возвращением извлекли четыре шара. Найти вероятность того, что среди них есть черный и красный шары.

Решение. Введем в рассмотрения события

—1 ={извлечен белый шар},

—2 ={извлечен черный шар},

—3 ={извлечен красный шар}.

Вероятности этих событий равны соответственно

1 = 1/2, 2 = 1/3, 3 = 1/6.

Возможно четыре варианта извлечения шаров (не считая порядка извлечения), которые удовлетворяют условию задачи

—2 черных, 2 красных;

—1 белый, 2 черных, 1 красный;

—1 белый, 1 черный, 2 красных;

—2 белых, 1 черный, 1 красный. Искомая вероятность есть сумма

1/2,1/3,1/6 (4, 0, 2, 2) + 1/2,1/3,1/6 (4, 1, 2, 1) + + 1/2,1/3,1/6 (4, 1, 1, 2) + 1/2,1/3,1/6 (4, 2, 1, 1) .

Используя формулу для полиномиальных вероятностей, получим

	4!				1				0				1				2				1				2			1
1/2,1/3,1/6 (4, 0, 2, 2) =				(			)				(				)				(				)				=				;
	0! · 2! · 2!				2								3								6							54
	4!				1					1			1					2			1					1		1
1/2,1/3,1/6 (4, 1, 2, 1) =				(				)				(				)				(				)			=			;
	1! · 2! · 1!					2								3								6						9

52			Занятие 6. Распределение Бернулли
	4!				1					1			1					1			1					2			1
1/2,1/3,1/6 (4, 1, 1, 2) =					(			)				(				)				(				)				=				;
	1! · 1! · 2!					2								3								6							18
	4!				1						2		1						1		1						1		1
1/2,1/3,1/6 (4, 2, 1, 1) =					(				)				(				)				(				)			=			.
	2! · 1! · 1!						2								3								6							6

Следовательно, искомая вероятность равна

541 + 19 + 181 + 16 = 1954.

Пример 6.5. Игрок А одновременно подбрасывает три игральные кости, а игрок Б — две кости. Эти испытания они проводят вместе и последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на одной кости. Найти вероятности событий:

а) А={впервые «6» появилось у игрока А, а не у В}; б) В={впервые «6» появилось у игрока В, а не у А}; в) С={впервые «6» появилось одновременно у А и В}.

Решение. Рассмотрим события

—={при -ом бросании у игрока А появилось хотя бы одна «6»};

—={при -ом бросании у игрока B появилось хотя бы одна «6»} Вероятности этих событий для всех = 1, 2, . . . равны

= P( ) = 1 − (5/6)3 = 91/216,

= P( ) = 1 − (5/6)2 = 11/36.

События , и можно выразить через и следующим образом

= 1 1 + 1 1 2 2 + 1 1 2 2 3 3 + . . . ;

= 1 1 + 1 1 2 2 + 1 1 2 2 3 3 + . . . ;

= 1 1 + 1 1 2 2 + 1 1 2 2 3 3 + . . . .

Сучетом того, что и независимы для любого , и кроме того слагаемые попарно несовместны, вычислим вероятность каждого из событий , и .

P ( ) =

∞

)] =

(1 − )

2275

(1

) [(1

) (1

=

;

−

∑

−

−

−

1

(1

−

) (1

−

)

4651

=0

6.3. Задания для аудиторной работы

53

∞

)] =

(1 − )

1375

P ( ) =

(1

)

[(1

) (1

=

;

−

∑

−

−

−

1

(1

−

) (1

−

)

4651

=0

∞

1375

P ( ) =

∑

− ) (1 − )]

= 1

−

(1

−

) (1

−

)

= 4651.

=0

[(1

6.3Задания для аудиторной работы

1.Для некоторого баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,7. Произведено 6 бросков. Найти вероятность того, что при этом будет ровно 2 попадания. Найти наиболее вероятное число попаданий и соответствующую вероятность.

2.При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0.1. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков:

а) не будет искажено; б) содержит ровно 3 искажения;

в) содержит не более 3-х искажений.

3.Что вероятнее выиграть у равносильного противника:

а) три партии из четырех или пять из восьми;

б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти из восьми?

4.Простейший вариант игры «серсо» состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает их до первого попадания. Найти вероятность того, что хотя бы одно кольцо окажется неиспользованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1.

5.Перед ребенком 2 тарелки, в каждой из которых находится по 10 слив. Ребенок берет сливы по одной из наугад выбранной тарелки, пока не обнаруживает, что одна тарелка пуста. Какова вероятность того, что при этом на второй тарелке осталось 3 сливы?

6.Каждый из 9 различных шаров с одинаковой вероятностью может быть помещен в один из трех первоначально пустых ящиков. Определить вероятность того, что

а) в каждый ящик попало по три шара; б) в один ящик попало 4 шара, в другой — три, а в оставшийся — два шара.

54	Занятие 6. Распределение Бернулли

7. При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с вероятностью 1, полностью ломается с вероятностью 2, получает серьезное повреждение с вероятностью 3 ( 1 + 2 + 3 = 1). Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении порогов байдарка не будет полностью сломана.

8. Допустим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна

, а вероятность поражения цели при ≥ 1 попаданиях в нее 1 − . Какова вероятность того, что цель поражена, если произведено выстрелов?

9.В схеме Бернулли — вероятность исхода 1 и = 1 − — вероятность исхода 0. Найти вероятность того, что:

а) цепочка 00 появится раньше цепочки 01; б) цепочка 00 появится раньше цепочки 10; в) цепочка 00 появится раньше цепочки 111.

В частности, вычислить эти вероятности при = 1/2.

10.Испытания в полиномиальной схеме с исходами 1, 2, 3, имеющими вероятности 1, 2, 3 соответственно, заканчиваются, когда впервые не появится исход 3. Найти вероятность того, что испытания закончится исходом 1.

11*. Каждую секунду с вероятностью независимо от других моментов времени по дороге проезжает автомобиль. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 с. Какова вероятность того, что подошедший к дороге пешеход будет ожидать возможность перехода а) 3 с; б) 4 с; в) 5 с?

12*. Студент направляется на лекцию по теории вероятностей, делая очередной шаг в направлении аудитории с вероятностью , и с вероятностью 1 −

шагает в прямо противоположном направлении. Какова вероятность, что он будет присутствовать на лекции, если до аудитории остается: а) один шаг, б) n шагов?

6.4Задания для самостоятельной работы

1.Игральный кубик подбрасывают 5 раз. Какая вероятность того, что число очков, кратное 3 появится

а) 2 раза; б) не менее 2 раз.

6.4. Задания для самостоятельной работы

55

2.Вероятность попасть в цель 0,35. Делается 10 выстрелов. Найти самое вероятное количество попаданий и вероятность этого количества попаданий.

3.Прибор имеет шесть узлов, вероятность каждого из которых выйти из строя при повышении напряжения в цепи равна 0.3. При выходе из строя трех или менее узлов прибор из строя не выходит. При сгорании четырех узлов вероятность выхода прибора из строя равна 0.3, при сгорании пяти узлов — 0.7, при сгорании шести узлов — 1. Определить вероятность выхода прибора из строя при повышении напряжения.

4.Считая, что рождение мальчика и девочки равновозможны, определить, а)какую часть семей с 6 детьми складывают семьи из 3 мальчиков и 3 де-

вочек, б) имеется 10 семей, в каждой из которых 6 детей. Какая вероятность того,

что в 4 из этих семей будет 3 мальчика и 3 девочки?

в) Сколько семей с 6 детьми надо посетить, чтобы с вероятностью не меньшей 0,8 насчитать именно 2 семьи (не больше и не меньше), в которых есть 3 мальчика и 3 девочки?

г) Сколько семей с 6 детьми надо посетить, чтобы с вероятностью не меньшей 0,8 насчитать хотя бы 2 семьи, в которых есть 3 мальчика и 3 девочки?

5*. Определить вероятность повторного голосования при выборе человек, если голосуют человек; вероятность быть вычеркнутым для каждого из кандидатов одинакова и равна , а для выбора кандидата необходимо получить большинство голосов. Повторное голосование производится в том случае, если будет равное число голосов у –го и ( + 1)–го кандидатов (по числу полученных голосов).

6*. Бросают две монеты. Определить вероятность того, что равное количество решек будет при –ом испытании, но не раньше.

7*. Независимые испытания проводятся до тех пор, пока не будет серии из

появлений события . Определить вероятность того, что для этого придется провести испытаний, если вероятность появления события в каждом испытании равна .

8*. Два человека независимо друг от друга подбрасывают монету по раз каждый. Доказать, что вероятность того, что они наберут одинаковое число гербов, совпадает с вероятностью того, что у них в сумме будет гербов.

Занятие		7

Предельные теоремы для

биномиального

распределения

7.1Основные факты и определения

Теорема 7.1 (Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа). Обозна-

чим

=

,

=

,

,

=

−

→ ∞ при

→ ∞ и

√ . Тогда если

| , | < , где — произвольная постоянная, то

→∞ √

,

) = 1,

lim

( , ) (

где ( ) = √12 − 22 .

Теорема 7.2 (Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа). Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, тогда при −∞ ≤ < ≤ +∞

справедливо

lim P		<	−			<	=	1		− 22	,
→∞	{		√				}	√2		∫

— число успехов в испытаниях Бернулли.

Теорема 7.3 (Теорема Пуассона). Пусть ( ) → 0 при → ∞, причем так, что ( ) → , где > 0. Тогда для любого = 0, 1, . . .

( , ) −−−→ − .

→∞ !

56

7.2. Примеры решения задач

57

7.2Примеры решения задач

Погрешность приближенного равенства ( , ) ≈ √1 ( , ) мала при больших . Данная аппроксимация наиболее хороша при = = 12.

Практически можно считать, что данная замена дает хорошее приближение если > 9.

Пример 7.1. Из 1000 электроламп в среднем 3 оказываются бракованными. Найти вероятность того, что из 100000 наудачу выбранных ламп, неисправными окажутся ровно 350.

Решение. Так как = 100000, = 0,003, = 0,997, то

= 100000 · 0,003 · 0,997 = 299,1 > 9,

следовательно, при решении задачи разумно воспользоваться локальной предельной теоремой Муавра–Лапласа.

−

350 − 300

=

299,1

17,29;

=

2,89.

√

√

≈

√

17,29

≈

Таким образом,

0,003 (100000; 350) ≈

1

(2,89) ≈

0,00613

≈ 0,000354.

17, 29

17,29

Функция

( ) = √1 − 22

2

табулирована. Ее таблица приведена в приложении A. Кроме того, ее значения можно вычислить используя Excel, а именно встроенную статистическую функцию НОРМ.СТ.РАСП : ( ) =НОРМ.СТ.РАСП( ; 0). Можно воспользоваться и OpenOffice Calc. В этой программе для этого предназначена функция

NORMDIST: ( ) =NORMDIST( ; 0; 1; 0).

Точные подсчеты без использования предельной теоремы дают нам

0,003 (100000; 350) = 0, 000405.

58

Занятие 7. Предельные теоремы для биномиального распределения

Обычно приближенную формулу

P <

−

<

1

− 22 = ( )

( )

{

√

} ≈ √2

∫

−

используют, как и в предыдущем случае, если > 9.

Стоит заметить, что функция

( ) = √2 ∫−∞ − 2

1

2

не выражается в элементарных. Но ее значения табулированы для ≥ 0. Таблица ее значений приведена в приложении B. Если < 0, то ( ) вычисляется по формуле

( ) = 1 − (− ) .

Значения функции ( ) можно вычислить также используя встроенную функцию Excel НОРМ.СТ.РАСП : ( ) =НОРМ.СТ.РАСП( ; 1), или функцию NORMDIST из OpenOffice Calc: ( ) =NORMDIST( ; 0; 1; 1)

Часто также используют таблицы для функции Лапласа

( ) = √2 ∫0					.
				− 2
1				2

Функции ( ) и ( ) для > 0 связаны соотношением

( ) = 12 + ( ) .

Нетрудно заметить, что функция ( ) четная, т.е. ( ) = (− ).

Пример 7.2. Известно, что вероятность рождения мальчика равна приблизительно 0,515. Какова вероятность того, что среди 10000 новорожденных число мальчиков будет не больше, чем число девочек?

Решение. Пусть — число мальчиков среди 10000 новорожденных. Надо вычислить вероятность

{

≤

−

}

{

≤

}

{ √ ≤

√ }

P

10000

=

5000 = P

−

5000 −

.

7.2. Примеры решения задач

59

В данном случае

5000

5150

= √10000 · 0,515 · 0,485 ≈ 49,98;

√

−

≈ −3,0012.

49,98

Применяя интегральную предельную теорему, имеем

{

√ ≤ −

} ≈

−

−

P

−

3, 0012

(

3, 0012) = 1

(3, 0012) ,

здесь

2 .

( ) = √2 ∫−∞ −

1

2

С помощью таблиц функции ( ) находим (3, 0012) = 0, 998655. Таким образом, искомая вероятность приблизительно равна 0,001345.

Пример 7.3. Обозначим, через 0 ≤ ≤ 1 вероятность того, что относительная частота в серии из испытаний Бернулли отклонится от вероятности успеха не более чем на > 0.

Решение. В этом случае имеем

P	{		−	≤ }	= ,

Здесь означает количество успехов в серии из испытаний Бернулли. Тогда если настолько велико, что применима интегральная предельная теорема Муавра–Лапласа, можно записать приближенное равенство

=

− ≤

= P { √−

≤ √ } =

{

}

= P

−

{− √ ≤

√

≤

√ }

≈

(

√ ) −

(−

√ )

= ( √

)

−

(1 −

( √

) )

= 2 ( √

)

− 1.

Используя последнее приближенное равенство можно решить следующие

задачи:

–непосредственно, зная длину серии , вероятность успеха и уровень

> 0, можно найти вероятность ;