Движение / КП 1 / Физика для 1 и 2 курса / Лаб.раб_физика / Лаб.раб_05

Мурманский филиал ПГУПС

Лабораторная работа по физике № 05

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ.

Мурманск

2009

2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ Цель работы: определить момент инерции диска, проверить теорему Штейнера.

Оборудование: 1. Установка для определения момента инерции,

2.Грузы известной массы,

3.Штангенциркуль,

4.Секундомер.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ:

Диск 1 с резьбовыми отверстиями насажен на ось и может вращаться с малым трением. На той же оси находится шкив 2 радиусом r , на который наматывается нить. К другому концу нити привязан груз 4 массой т, под действием которого система приводится во вращение. В резьбовые отверстия диска могут вворачиваться дополнительные грузы 5 цилиндрической формы (радиуса R) и массы m0 .

В установке предусмотрено автоматическое измерение времени движения груза до нижней точки и расстояния h, на которое поднимается груз по инерции после прохождения нижнего положения.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Моментом инерции точки относительно данной оси (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния до этой оси.

J = mr2

Моментом инерции системы относительно данной оси (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний от этой оси:

J= ∑mkrk2

Вслучае сплошного тела, момент инерции находят интегрированием:

J = ∫r2dm

V

Единицы измерения момента инерции в СИ – кг м2 .

3

Осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

Радиусом инерции относительно оси, называют расстояние от оси до точки, в которой нужно сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции точки относительно данной оси равнялся моменту инерции тела относительно той же оси. По определению имеем

J = mρ2

Здесь m – масса системы, ρ – радиус инерции системы.

Момент инерции относительно произвольной оси, параллельной данной находится с помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела

относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

J′ = J + ma2

(1)

Моменты инерции некоторых тел:

однородного тонкого стержня длинны l, относительно оси, проходящей через его середину, перпендикулярно к нему

J =	1			ml2	(2)
12
однородного тонкого стержня длинны l, относительно оси,
проходящей через конец стержня, перпендикулярно к нему
J =		1		ml2	(3)
3
однородного сплошного цилиндра (диска), радиусом R,
относительно оси цилиндра
J = 1 mR2					(4)
2

тонкого кольца (полого цилиндра), радиусом R, относительно оси, проходящей через центр, перпендикулярно плоскости основания

J = mR2			(5)
однородного шара, радиусом R, относительно оси, проходящей через
его центр
J =	2	mR2	(6)
5

4

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Если намотать нить на шкив, подняв на высоту h0 груз m, то он будет обладать потенциальной энергией

Π0 = mgh0

При падении груза его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения груза и энергию вращения диска, которые соответственно равны

T =	mV2	, T =	Jω2
1	2	2	2

Зная время t падения груза до нижней точки, можно определить конечную скорость движения груза и угловую скорость вращения диска

V =	2h0	,	ω =	V	=	2h0	(7)
	t			r r t

где r – радиус шкива.

При движении в подшипниках действует момент сил трения Mтр , для преодоления которого на пути h0 = φ0r совершается работа

A0 = Mтрφ0 = Mтр h0

r

где φ0 – угол поворота диска.

В соответствии с законом сохранения энергии можно записать

mgh =	mV2	+	Jω2	+ M		h	(8)
						0
	2		2
0					тр	r

Подставляя сюда (7) и выражая момент инерции, найдем

	r2t2		h			Mтр
J =		mg − 2m		0	−			(9)
	2h0		t	2
						r

Момент сил трения найдём из следующих соображений. После того, как груз опустится до нижней точки, маховик, продолжая вращение по инерции, поднимет груз на высоту h; там его потенциальная энергия равна Π = mgh .

Работа, которая будет совершена против сил трения на всем пути h0 + h , равна разности энергий Π0 в начальном положении, и Π в конечном

A = Mтрφ = Π0 − Π = mgh0 − mgh

(10)

5

Угол φ , на который повернется диск, после того как груз пройдет расстояние h0 + h , равен

φ= h0 + h r

Подставляя данное выражение в (10) найдем Mтр

	M	тр	= rmg	h0	− h	(11)
				h0	+ h

Подставляя (11) в (9) получаем расчётную формулу для момента инерции вращающегося тела:

J = mr2			ght2
				−1	(12)
			(h0 + h)
	h0

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ: Задание 1. Определение момента инерции диска

1.Снимите дополнительные грузы с диска.

2.Измерьте штангенциркулем диаметр шкива d в нескольких местах, записывая результаты в табл. 1, и определите среднее значение d.

3.Вращая диск, намотайте нить в один слой на шкив и включите электромагнит красной кнопкой, расположенной в верхней части установки. Измерьте и запишите расстояние h0 от груза до нулевой отметки шкалы.

4.Определите массу груза т, подвешенного к нити, включите секундомер.

5.В момент прохождения грузом нижнего положения секундомер выключается. Продолжая дальше наблюдение за движением груза т, заметьте высоту h, на которую поднимется груз, двигаясь по инерции. Показание секундомера t и высоту h запишите в табл. 1.

6.Повторите измерения еще четыре раза при тех же значениях m и h0 .

7.Вычислите значение момента инерции диска Jд по формуле (12) и произведите расчет погрешности по методике прямых измерений.

				Таблица 1
№ п/п	t, c	h, м	Jд , кг м2
1				r = dср /2 =	м
					кг
…				m =
5				h0 =	м
		Среднее

6

Задание 2. Проверка теоремы Штейнера

1.Определите массу m0 и радиус R дополнительных грузов. Закрепите их на одинаковом расстоянии от оси вращения на диске установки и замерьте расстояние l от оси вращения до центра грузов. Результаты этих измерений и число дополнительных грузов k занесите в табл. 2.

2.Занесите в табл. 2: радиус шкива r, массу груза т, расстояние, проходимое грузом до нулевой отметки h0 , средний момент инерции диска Jд .

3.Проведите измерения (см. пп. 2-6 задания 1) и результаты занесите в табл.2.

4.Рассчитайте момент инерции Jэксп диска с дополнительными грузами по формуле (12).

5.Рассчитайте момент инерции дополнительных грузов Jг , используя теорему Штейнера Jгр = 0,5m0R2 + m0l2 и результат занесите в табл.2.

6. Рассчитайте момент инерции системы «диск-дополнительные грузы»

Jрасч = Jд + k Jгр .

7.Сравните полученное экспериментально значение момента инерции Jэксп и расчетное значение момента инерции системы Jрасч и сделайте выводы.

					Таблица 2
№ п/п	t, c		h, м	Jэксп, кг м2	Jд =	кг м2
1					r = dср /2 =	м
						кг
2					m =
3					h0 =	м
4					m0 =	кг
5					R =	м
			Среднее		k =
	Jгр = 0,5m0R2 + m0l2				l =	м
	Jрасч		= Jд + k Jгр

7

Контрольные вопросы к лабораторной работе «ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ»

1.Что называю моментом инерции, радиусом инерции?

2.Момент инерции материальной точки, диска, шара, стержня

3.Теорема Штейнера.

4.Запишите закон сохранения энергии для системы «диск-груз».

5.Основное уравнение динамики вращательного движения.