5.2.3. Сравнение средних парных выборок.

В практике статистических исследований парные выборки возникают при изучении эффективности влияния некоторых воздействий наn объектов. Результат этого воздействия на i-ый объект можно представить в виде разностей . Если их распределение можно аппроксимировать нормальным с генеральным средним, то статистика

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Поэтому гипотезуна уровне значимостипринимаем , еслипри двухсторонней альтернативной гипотезе. Если гипотезуотвергаем, то для генерального среднего разности соответствующий доверительный интервал имеет вид:

5.2.4. Сравнение долей (параметра биноминального распределения)

Если доли некоторого признака в двух выборках объёма равныи, то для проверки гипотезыпри достаточно большихможно воспользоваться статистикой

,

где . Если,, или, то нулевая гипотезаотклоняется в пользу альтернатив:,, илисоответственно.

Если сравниваются выборок объёмакаждая, то для проверки гипотезыприменяется критерий «хи-квадрат», для которого вычисляется статистика

,

где. При справедливости нулевой гипотезы величинаимеет хи-квадрат распределение сстепенями свободы. Поэтому гипотеза о равенстве долей во всех совокупностях отвергается если окажется, что, Критическое значениенаходится либо из таблиц квантилей этого распределения, либо вEXCEL с помощью функции ХИ2ОБР в меню «Статистические»/

5.3. Проверка однородности выборок.

Выборки называются однородными, если они сделаны или из одной и той же генеральной совокупности, или из разных, но с одним и тем же законом распределения. Предположим сначала, что имеется две выборки и. Разобъём множество значений нанепересекающихся интервалов, и подсчитаем, сколько вариантисодержится в каждом из них. Пусть в-ом интервале оказалосьвариантивариант. Желательно, чтобы в каждом из интервалов находилось не менее пяти вариант. При необходимости соседние интервалы, в которых оказывается мало вариант, следует объединить. Очевидно, что. Обозначим - общее число вариант в -ом интервале, а- общее число вариант в двух выборках. Тогда отношениеможно принять в качестве оценки вероятности попадания варианты в-ый интервал. Статистика

имеет распределение, близкое к распределению хи-квадрат с степенью свободы. Поэтому гипотезу однородности следует отвергнуть на уровне значимости, если эта статистика превышает значение.

В Excel проверку однородности можно проводить также, как и проверку адекватности, функцией ХИ2ТЕСТ. Проведём такую проверку на следующем примере. Студенты, чьи результаты были представлены в п.3.2 , были из 2 разных подгрупп и занимались в разное время. Для анализа однородности их результатов применим функцию ЧАСТОТА сначала к первым 11 строкам (подгруппа 1), а затем к оставшимся 14 (подгруппа 2). Просуммировав полученные данные по строкам ( =СУММ H3:I3 c последующим протаскиванием формулы по столбцу J ) и столбцам (), получаем таблицу:

	G	H	I	J
1		Подгруппа 1	Подгруппа 2	Сумма
2	интервал
3	303	2	2	4
4	306	5	7	12
5	309	10	13	23
6	312	14	17	31
7	315	9	11	20
8	318	4	4	8
9	321	0	2	2
10	Сумма	44	56	100

Затем формируем таблицу выборок, ожидаемых в предположении их однородности. Для этого в ячейку H14 вводим формулу =I4*44/100 c последующим протаскиванием формулы по столбцу H, а в ячейку I14 - формулу =I4*56/100 с протаскиванием по столбцу I.

	G	H		I
12		Подгруппа 1		Подгруппа 2
13	интервал
14	303	1,76		2,24
15	306	5,28		6,72
16	309	10,12		12,88
17	312	13,64		17,36
18	315		8,8	11,2
19	318		3,52	4,48
20	321		0,88	1,12
21	Сумма		44	56

Затем открываем диалоговое окно функции ХИ2ТЕСТ и в окошко «Фактический интервал» вводим координаты исходного массива (H3:I9), а в окошко «Ожидаемый массив» - координаты вычисленного (H14:I20). В результате появляется число 0,93707, которое показывает вероятность того, что в -распределении с 6 степенями свободы значениебольше вычисленного . Поскольку эта вероятность оказалась меньше, чем 0,95, то мы принимаем гипотезу об однородности и считаем, что различия в результатах студентов из двух подгрупп действительно случайны.

Эта процедура обобщается на произвольное число выборок иинтервалов. Обозначим число вариант-ой выборки, попавших в-ый интервал. Очевидно, что-объёму-ой выборки, а-общее число вариант в-ом интервале.- общему числу вариант. Если гипотезасправедлива, и все варианты относятся к одному распределению, то, как и выше отношениеможно считать приближённо равным вероятности попадания варианты в-ый интервал, и статистика

распределена по закону хи-квадрат с степенями свободы. Гипотезуследует отвергнуть на уровне значимости, если эта статистика превышает значение.

Если есть подозрение, что какая-то из выборок не подчиняется общему закону распределения, то для неё можно вычислить индивидуальный критерий

При условии следует признать, что эти подозрения обоснованы и искать причины такого отклонения.