5.4.2. Многофакторный дисперсионный анализ.

Если предполагается, что исследуемый признак (отклик) зависит от нескольких факторов, то для изучения их влияния необходимо провести измерения при разных сочетаниях значений (уровней) этих факторов. Если при этом проводится по одному измерению (наблюдению) для каждого сочетания, то соответствующий анализ называется анализом без повторений, в противном случае – анализом с повторением.

Рассмотрим процедуру ANOVA на примере двух факторов – двухфакторном дисперсионном анализе. В общем случае результаты наблюдений можно представить в виде таблицы:

	А1	А2	…..	Аm
В1			….
В2			….
…	….	….	….	….
Вк			….

Здесь предполагается , что наблюдения проведены при уровнях фактора А иуровнях фактора В. В каждой клетке таблицы вписаны значения измеряемой величины – откликагде первый индекс указывает на уровень фактора А, второй – на уровень фактора В, а третий – на номер измерения при этом сочетании уровней факторов. При этом подпонимается число повторений измерений при этом сочетании уровней факторов. В большинстве случаев план экспериментов составляют так, чтобы кратность измерений была одинаковой, т.е. все=. Это, в частности, упрощает процедуру расчётов. Рассмотрим сначала вариант с=1 – «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений». Таблица в этом случае упрощается и принимает вид:

	А1	А2	…..	Аm
В1			….
В2			….
…	….	….	….	….
Вк			….

При этом вычисляются средние:

по строкам: ,

……по столбцам: ;

общее среднее; ;

суммы квадратов:

общую: ;

по фактору А: ;

по фактору В: ;

остаточная: .

Соответствующие дисперсии:

;

;

.

Значимость каждого из факторов определяется отношениями , и. Если при этом соответствующее отношение будет больше критического, то этот фактор может считаться значимым.

В EXCEL процедуру «Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений» можно активировать в меню «Сервис»«Анализ данных». Ниже приведён пример, иллюстрирующий формат ввода данных исследований и результаты выполнения этой процедуры.

B/A	A1	A2	A3
B1	3,83	3	2,67
B2	4,1	3,13	3,6
B3	3,63	3,6	3,2
B4	3,27	3,5	3,7

Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений
ИТОГИ	Счет	Сумма	Среднее	Дисперсия
B1	3	9,5	3,1666666	0,3572333
B2	3	10,83	3,61	0,2353
B3	3	10,43	3,4766666	0,0576333
B4	3	10,47	3,49	0,0463
A1	4	14,83	3,7075	0,1221583
A2	4	13,23	3,3075	0,0828916
A3	4	13,17	3,2925	0,2188916
Дисперсионный анализ
Источник вариации	SS	df	MS	F	P-Значение	F критическое
Строки	0,3221583	3	0,1073861	0,6784661	0,5964477	4,75706266
Столбцы	0,4432666	2	0,2216333	1,4002808	0,3169002	5,14325285
Погрешность	0,9496666	6	0,1582777
Итого	1,7150916	11

Все обозначения здесь такие же, как и в таблице результатов однофакторного дисперсионного анализа. В строке, обозначенной «Строки» приводятся результаты воздействия фактора В, «Столбцы» - фактора А. «Погрешность» - остаточные сумма квадратов и дисперсия. Как видим, в данном примере оба значенияменьше соответствующих критических значений распределения Фишера. Поэтому нулевую гипотезу об отсутствии влияния этих факторов на изучаемую величину нельзя отвергнуть.

Наличие нескольких измерений для каждого сочетания уровней факторов позволяет не только увеличить достоверность результатов, но и проанализировать эффективность совместного воздействия факторов (взаимодействие). В Excel (СервисАнализ данных) соответствующая процедура « двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями» требует одинакового числа повторений. Формат ввода данных иллюстрируется следующим примером:

	A1	A2	A3
B1	3,6	2,9	2,6
	3,8	3,1	2,5
	4,1	3	2,9
B2	4,2	3,3	3,7
	4	2,9	3,5
	4,1	3,2	3,6
B3	3,8	3,6	3,2
	3,5	3,7	3
	3,6	3,5	3,4
B4	3,4	3,4	3,6
	3,2	3,6	3,8
	3,2	3,5	3,7

Результаты обработки этой таблицы представлены ниже:

Как видно из сравнений значений F с критическими, значимыми оказываются как эффекты отдельных факторов, так и их взаимодействия.

Рассмотрим ход вычислений в этом случае. Таблица результатов измерений с mуровнями фактора А и k уровнями фактора В и с n повторениями имеет вид:

	А1	А2	…..	Аm
В1			….
В2			….
…	….	….	….	….
Вк			….

В ходе анализа вычисляются:

- среднее значение отклика для каждого сочетания уровней факторов,

- среднее значение отклика для -ого уровня фактора В,

- среднее значение отклика для -ого уровня фактора А,

- общее среднее значение отклика.

Далее вычисляются суммы квадратов:

- общую сумму квадратов, степеней свободы;

- сумму квадратов за счёт действия фактора А, ;

- сумму квадратов за счёт действия фактора В, ;

- сумму квадратов за счёт взаимодействия факторов, ;

- остаточная сумма квадратов, .

Соответствующие выборочные дисперсии:

; ;;;

Влияние факторов выясняется из сравнения дисперсионных отношений

; ;

с соответствующими критическими значениями распределения Фишера.

Пример для самостоятельного анализа:

Имеются данные по урожайности трёх сортов пшеницы (трёх уровней фактора А), с использованием двух типов удобрений (два уровня фактора В) Для каждого сочетания этих факторов было выделено по пять делянок, урожайности с которых представлены в таблице:

Урожайность пшеницы (ц/га)

Тип удобрения (фактор В)	Сорт пшеницы (фактор А)
	А1	А2	А3
В1	19,21,23,27,20	9,11,10,9,9	10,20,16,14,15
В2	12,18,14,16,15	13,14,11,12,15	9,11,14,10,13

20