- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Геометрия и топология
- •1. Линейные операции над векторами
- •2. Прямоугольные координаты точки и вектора. Базис
- •3. Скалярное произведение векторов
- •4.Векторное произведение векторов
- •5. Смешанное произведение векторов
- •6. Прямая на плоскости
- •7. Плоскость и прямая в пространстве
- •8. Кривые второго порядка
- •9. Полярная система координат
- •10. Поверхности
- •11. Элементы топологии
- •Список рекомендуемой литературы
Министерство образования и науки российской федерации
Брянский государственный технический университет
УТВЕРЖДАЮ
Ректор университета
____________ О.Н. Федонин
« » ____________ 2014 г.
Геометрия и топология
Задачи к практическим занятиям для студентов I курса
очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
Брянск 2014
УДК 511
Геометрия и топология [Текст]+[Электронный вариант]: задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения по направлению подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем». − Брянск: БГТУ, 2014. − 38с.
Разработали: В.М. Кобзев, ст. преп.
Н.В. Сычева, канд. пед. наук, доц.
Рекомендовано кафедрой Высшая математика БГТУ
(протокол №10 от 4.06.14)
1. Линейные операции над векторами
1.3. На трех компланарных векторах ,ипостроен параллелепипед. Указать те вектор-диагонали, которые соответственно равны,,, и.
1.4. медианы треугольника АВС. Доказать равенство =0.
1.5. медианы треугольника АВС. Выразить через =и=векторы.
Ответ: ;;=.
1.6. В параллелограмме ABCDобозначены: =,=. Выразить черезивекторы, где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма.
Ответ: ;;;.
1.7. В треугольнике АВС. Полагая, =,=, выразитьчерез векторыи.
Ответ: ;.
1.8. ABCDEF – правильный шестиугольник, причем =,=. Выразить черезивекторы
Ответ: ;.
1.9. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Доказать равенство .
1.10. В пространстве заданы треугольники АВС и A'B'C'; M и M'–точки пересечения их медиан. Выразить вектор через векторыи.
Ответ: ).
1.11. Точки Е и F – середины сторон ADи BC четырехугольника АВСD. Доказать, что . Ввести отсюда теорему о средней линии трапеции.
1.12. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно . Полагая =,=, выразить черезивекторы
Ответ: .
1.13. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА=60˚, ОВ=ВС=СА=2, М и N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и– единичные векторы направленийи
Ответ: ,, ,.
1.14. На стороне [AD] параллелограмма АВСD отложен вектор длины ||=1/5||, а на диагонали [AC] – вектор длины ||=1/6||. Доказать, что векторыколлинеарны и найти такое, что .
Ответ: =5.
1.15. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам:, ,.
Ответ: s=.
1.16. Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: , ,,.
Ответ: 3p-4q-3r-2s=0.
1.17. Даны четыре вектора . Вычислить их сумму, если известно, что, и векторы некомпланарны.
Ответ: 0.
1.18. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы ,,компланарны.
1.19. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения , при которых векторы ,, компланарны.
Ответ: 1,-2.
1.20. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения и µ, при которых векторы иколлинеарны.
Ответ: =µ=1.