- •Алгебра и теория чисел
- •Предисловие
- •Тема 1. Матрицы. Простейшие способы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Метод Гаусса (простейшая версия)
- •2. Правило Крамера
- •3. Метод применения обратной матрицы
- •Тема 2. Линейное пространство. Базисы. Координаты
- •Тема 3. Линейный оператор. Матрица в данном базисе. Собственные векторы и собственные значения
- •Тема 4. Функционалы
- •1. Линейные функционалы
- •Билинейные функционалы
- •3. Квадратичные функционалы
- •Тема 5. Методы отражения и вращения решения слау
- •1. Метод отражения.
- •2. Метод вращения
- •Тема 6. Метод гаусса (полная версия)
- •Контрольная работа
- •Пример варианта контрольной работы
- •Расчетно-графическая работа
- •Вопросы к зачету
УТВЕРЖДАЮ
Ректор университета
__________ А.В. Лагерев
«___»____________2010г.
Алгебра и теория чисел
Методические указания
к выполнению самостоятельной работы
для студентов I курса очной формы обучения
специальности № 510503 «Математическое
обеспечение и администрирование
информационных систем»
(I семестр)
Брянск 2010
УДК 511
Математика: Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов I курса очной формы обучения специальности № 510503 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» (I семестр). – Брянск: БГТУ, 2010. - с.
Разработал: В.Х. Салихов, д.ф.-м.н., проф.
Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» БГТУ (протокол № 1 от 31 августа 2010г.)
Предисловие
Данные методические указания предназначены для студентов, изучающих курс алгебры и теории чисел, и содержат теоретические сведения, а также практические задания для подготовки к контрольной работе, 30 вариантов расчетно-графической работы и необходимые материалы для подготовки к зачету. В этом пособии рассмотрены 6 тем, изучаемых в первом семестре.
Тема 1. Матрицы. Простейшие способы решения систем линейных алгебраических уравнений
Определение 1. Прямоугольной матрицей называется прямоугольная таблица чисел
Если m=n, то А – квадратная матрица.
Важными примерами матриц являются::
-
Ступенчатая матрица - , где а110, а220,…, аmm0, nm.
-
Диагональная матрица - .
-
Единичная матрица - .
Важнейшей операцией над матрицами является умножение
С=АВ=,
где А – матрица размера mn, В – матрица размера np, C – матрица размера mр, здесь и везде далее =(аi1, аi2,…, аin); , для всех i=1,…,m, j=1,…,p.
Легко привести примеры, когда АВВА. В то же время А(ВС)=(АВ)С, т.е. умножение матриц обладает свойством ассоциативности.
Важную роль играют следующие преобразования матриц:
G 1) перестановка строк (столбцов),
G 2) умножение строки на число ( =( аi1,…, аin)),
G 3) +, ij.
Для квадратной матрицы А рассмотрим |A| = detA – число, называемое детерминантом (определителем). Его удобно ввести рекуррентным способом, т.е. предположим, что мы умеем вычислять |A| для квадратной матрицы размера n-1.
Пусть А – квадратная матрица размера n,
ij=(-1)i+j|Aij|, (1)
где Aij – матрица, полученная из А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца. Число ij называют алгебраическим дополнением элемента аij. Следующая формула позволяет вычислить |A|:
|A|=а1111+ а1212+…+ а1n1n. (2)
В частности, при n=1 для А=(а) |A|=а; при n=2
;
при n=3 по формуле(2)
=а1(b2c3-b3c2)-а2(b1c3-b3c1)+ а3(b1c2-b2c1).
Подробным образом можно вычислять определители матриц произвольного размера.
Среди многочисленных свойств определителей отметим, что |A| можно вычислить аналогично (2), используя любую строку (столбец) матрицы А; при применении G 1) определитель меняет знак; после применения G 2) определитель умножается на число , а преобразование G 3) не изменяет значение определителя.
Одной из важнейших задач алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
(3)
Обозначим
- столбец неизвестных,
- столбец свободных членов,
- матрица системы.
Используя правило умножения матриц, СЛАУ (3) можно записать в матричном виде
АХ=В. (4)
Исследование систем (3) в общем виде проведем позже (см. тему 6). А пока ограничимся простейшим случаем, когда m=n, |A|0. В этом случае система (3) имеет единственное решение. Рассмотрим три метода решения СЛАУ.