2. Задачи для контрольных заданий

2.1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой в 0,1м, периодом 4си начальной фазой, равной/2. Найти максимальную скорость колеблющейся точки и ее максимальное ускорение.

2.2Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4сми периодом Т=2с. Написать уравнение колебаний, если движение точки начинается из положения х₀= 2см.

2.3. Определить начальную фазу колебаний тела, если через 0.25сот начала движения смещение было равно половине амплитуды. Период колебаний 6с.

2.4. Колебания материальной точки совершаются по закону х= 0.03sin(t+0.5)м.Определить наибольшие значения скорости и ускорения. Чему равна фаза колебаний спустя 5спосле начала движения?

2.5. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки равно 0,493 м/с², период колебаний 2си смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени 0,025см.

2.6. Точка совершает гармонические колебания. Период колебания Т= 2с, амплитудаА= 5см, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 2,5см.

2.7. Через сколько времени от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т= 24с, начальная фаза равна нулю.

2.8. Груз, свободно колеблющийся на пружине, за время t= 0,01ссместился с расстояния 0,5смот положения равновесия до наибольшего, равного 1см. Каков период его колебаний?

2.9. Найти зависимость скорости гармонического колебания материальной точки от смещения.

2.10. Найти круговую частоту и амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстоянии х₁их₂от положения равновесия ее скорость равна соответственноv₁иv₂.

2.11. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

2.12. Материальная точка участвует сразу в двух колебаниях, происходящих по одной прямой и выражаемых уравнениями х₁ = sin t смих₂ = cos t см. Найти амплитудуАрезультирующего колебания, его частотуи начальную фазу. Написать уравнение движения.

2.13. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одного направления:

х₁ = А₁sint, их₂ = А₂sin(t+),

где А₁ = А₂= 1см;=c^-1,с.

Построить векторную диаграмму сложения амплитуд. Найти уравнение результирующего колебания.

2.14. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями:

х = А₁sintиy = А₂cos(t+),

где А₁ =2см,А₂ = 1см;=c^-1;= 0,5с.

Найти уравнение траектории и построить ее, показав направление движения точки.

2.15. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями:

x = 4costсмиy = 8cos(t+1)см.

Найти уравнение траектории и построить график ее движения.

2.16. В результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами получается результирующее колебание с тем же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз складываемых колебаний.

2.17. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями:

x₁ = 4sin t смиx₂ = 3sin(t + /2) см.

Написать уравнение результирующего колебания. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд.

2.18. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями:

x₁ = 0.02sin(5t + /2) м и x₂ = 0.03sin(5t + /4) м.

2.19. Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой= 5Гци с одинаковой начальной фазой =/3. Амплитуды колебаний равныА₁= 0.10ми А₂= 0.05м.

2.20. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x = cos tиy = cos t/2. Найти траекторию результирующего движения точки.

2.21. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковым периодом Т= 8си одинаковой амплитудойА= 0.02м. Разность фаз между этими колебаниями₂ - ₁ = /4. Начальная фаза одного их этих колебаний равна нулю.

2.22. Однородный стержень длиной lсовершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром стержня и осью, при котором период колебаний будет наименьшим. Чему он равен?

2.23. Однородный стержень длинной lсовершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний.

2.24. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Радиус обруча R= 0,3м. Вычислить период колебаний обруча.

2.25. Определить период малых продольных колебаний тела массой mпод действием двух пружинок, жесткости которых равныk₁ иk₂. Трением пренебречь.

2.26. Однородный диск радиусом R= 0,3мколеблется около горизонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилиндрической поверхности диска. Каков период его колебаний?

2.27. Однородный диск массой mи радиусомRподвешен на тонкой проволоке, имеющей коэффициент крученияk. Получить дифференциальное уравнение колебаний диска. Найти период колебаний.

2.28. К горизонтальной пружине прикреплено тело массой М= 10кг, лежащее на гладком столе. В это тело попадает и застревает в нем пуля массойm= 10г, летящая со скоростью 500м/с, направленной вдоль оси пружины. Тело вместе с застрявшей в нем пулей отклоняется от положения равновесия и начинает колебаться относительно него с амплитудойА= 10см. Найти период колебаний тела.

2.29. Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой А= 10см. Найти коэффициент трения между доской и брусом, если последний начинает скользить по доске, когда ее период колебаний меньшеТ= 1,0с.

2.30. Сплошной однородный цилиндр массой mсовершает малые колебания под действием двух пружин, суммарная жесткость которых равнаk. Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения.

2.31. Груз массой mосторожно прикрепляют к концу свободно висящей пружины. Когда груз освобождают, он опускается на 30см, а затем начинает колебаться. Чему равна частота колебаний?

2.32. Ареометр массой m= 0.2кгплавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодомT= 3.4с. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости, в которой плавает ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометраd = 1см.

2.33. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t₁= 5минуменьшилась в 2 раза. За какое времяt₂, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в 8 раз?

2.34. Амплитуда колебаний маятника длиной l= 1мза времяt= 10минуменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент колебаний.

2.35. Логарифмический декремент колебаний маятника равен 0,003. Определить числоNполных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

2.36. Гиря массой m= 500гподвешена к спиральной пружине жесткостьюk= 20Н/ми совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебанийОпределить числоNполных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. За какое времяtпроизойдет это уменьшение?

2.37. Математический маятник длиной в 24,7 смсовершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза, если логарифмический декремент затухания= 0,01?

2.38. Найти число Nполных колебаний системы, в течение которых энергия системы уменьшилась в два раза. Логарифмический декремент колебаний= 0,01.б

2.39. За время, в течение которого система совершает N= 100 колебаний, амплитуда уменьшается в 5 раз. Найти добротность системы.

2.40. Период Т₀собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде периодТтого же маятника стал 0,56 с. Определить резонансную частоту_резколебаний.

2.41. Пружинный маятник (жесткость kпружины равна 10Н/м, массаmгруза равна 100г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивленияr = 2^.10^-2кг/с. Определить коэффициенты затуханияи резонансную амплитудуА_рез, если амплитудное значение вынуждающей силыF₀ = 10мН.

2.42. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r= 10^-3кг/с. Считая затухание малым, определить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитудаА_рез = 0,5см, а частота собственных колебаний= 10Гц.

2.43. Определите скоростьVраспространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на расстоянии 10см, равна/3. Частота колебаний= 25Гц.

2.44. От источника колебаний распространяются волны вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний А₀ = 10см. Как велико смещение точки, удаленной от источника на 3/4длины волны, в момент, когда от начала колебаний источника прошло времяt= 0,9 периода колебаний?

2.45. Волна с периодом Т= 1,2си амплитудой А₀ = 2смраспространяется со скоростьюV= 75м/с. Чему равняется смещение(x,t)точки, находящейся на расстоянии х = 45мот источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло времяt = 4с?

2.46. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью V= 50м/с. Период колебанийТ= 0,05с, расстояние между точкамих= 500см. Найдите разность фаз  колебаний в этих точках.

2.47.Плоская бегущая волна задана уравнением   0,05 sin (1980 t – 6х), где  смещение частицы (см.), t– время (с.);x– расстояние (м.), отсчитываемое по оси, вдоль которой распространяется волна. Определите разность фаз между колеблющимися точками, находящимися на расстояниих= 35смдруг от друга.

2.48. Вдоль некоторой прямой распространяются колебания со скоростью V=48м/c, периодомТ=0,25с. Спустяt= 10спосле возникновения колебаний в исходной точке на расстояниих= 43смот нее смещение оказалось равным 3см. Определите в этот же момент времени смещение и фазу колебаний в точке, отстоящей на 45смот источника колебаний.

2.49. Наблюдатель, находящийся на расстоянии l= 800мот источника звука, слышит звук, пришедший по воздуху, наt= 1,78спозднее, чем звук, пришедший по воде. Найти скоростьV звука в воде, если температураТвоздуха равна 350К.

2.50. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, высота тона звукового сигнала меняется скачком. Определить относительное изменение частоты /если скорость поездаV= 54км/ч.

2.51. В трубке длиной l= 1,2мнаходится воздух при температуреТ= 300К. Определить минимальную частоту_minвозможных колебаний воздушного столба в двух случаях:

1) трубка открыта; 2) трубка закрыта.

2.52. На шоссе сближаются два автомобиля со скоростями 30 и 20 м/с. Первый из них подает звуковой сигнал с частотой_= 600Гц. Найти частоту звука_воспринимаемого водителем второго автомобиля в двух случаях:

1) до встречи; 2) после встречи.

Изменится ли ответ в случае подачи сигнала той же частоты вторым автомобилем?