- •Определители: определение, вычисление определителей 2-го и 3-го порядка. Решение слау методом Крамера.
- •Прямая на плоскости. Уравнения (вывод)
- •Плоскость. Уравнение (вывод).
- •Прямая в пространстве, уравнения (вывод).
- •Общее уравнение прямой
- •Кривые второго порядка.
- •Числовые последовательности: определение.
- •Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их виды, примеры. Свойства функции, непрерывной на отрезке.
- •Называется точкой разрыва первого рода:
- •Называется точкой разрыва второго рода:
- •Определение производной, её геометрический и физический смысл.
-
Прямая на плоскости. Уравнения (вывод)
На плоскости любая прямая определяется уравнением первой степени относительно переменных xи y, и обратно, каждое линейное уравнение вида Ax+By+C = 0 выражает прямую линию.
Рассмотрим задачу:
Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку (;), принадлежащей прямой L
А) перпендикулярно n (A;B)
Б) параллельно a (m,n)
Решение:
А) На искомой прямой L выберем произвольную текущую точку М(х,у). Рассмотрим вектор М.
М (х-; у-).
Так как М перпендикулярно n ==> М*n = 0
(х-)*А + (у-)*В = 0
Ах - А + Ву - В = 0
Ах+ Ву + ( - А- В) = 0, где - А- В = С
Ах+ Ву +С = 0 – общее уравнение прямой
(А;В) – координаты вектора, ортогонального прямой.
Б) На искомой прямой L выберем произвольную текущую точку М(х,у). Рассмотрим вектор М.
М (х-; у-).
Так как вектор М II вектору а, то
= – каноническое уравнение прямой, где (координаты точки, лежащей на прямой.
(m;n) – координаты направляющего вектора прямой.
n(
nx - n – my - m = 0
nx – my + (m - n) = 0
Где n = А, -m = В, (m - n) = С
Ах+ Ву +С = 0 – общее уравнение прямой
Рассмотрим каноническое уравнение прямой:
= = t
= t = t
=tm x = +tm
=tn y=+tn
x = +tm y=+tn - параметрические уравнения прямой, где t – любое рациональное число.
Рассмотрим общее уравнение прямой:
Ах+ Ву +С = 0
Ах+ Ву = -С (: -С)
x + y = 1
+ = 1, где a = , b =
+ = 1 – уравнение прямой в отрезках, отсекаемых на Ох и Оу.
Рассмотрим общее уравнение прямой:
Ах+ Ву +С = 0
Ву = -Ах – С (:В)
У = х -
у= kx + b – уравнение прямой с k, равный tg ἀ, где ἀ - угол между прямой и положительным направлением Ох; b – отрезок, отсекаемый на Оу
-
Плоскость. Уравнение (вывод).
Всякая плоскость определяется уравнением первой степени с тремя неизвестными x, y, z и обратно: всякое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 определяет плоскость.
Рассмотрим плоскость.
Точка М1 (x1; y1; z1) лежит на плоскости. Вектор N (А;В;С) перпендикулярен плоскости.
-
Обозначим на плоскости любую точку М (x;y;z)
-
Обозначим вектор ММ1. Так как вектор ММ1 перпендикулярен вектору N, то ММ1*N = 0.
MM1 (x-x1; y-y1; z-z1)
(x-x1)*A + (y-y1)*B + (z-z1)*C = 0
Ax – Ax1 + By – By1 + Cz – Cz1 = 0
Ax + By + Cz + (-Ax1 – By1 – Cz1) = 0 (-Ax1 – By1 – Cz1) = D
Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости
(А; В; С) – координаты нормального вектора плоскости (нормали)
Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.
-
Прямая в пространстве, уравнения (вывод).
-
Общее уравнение прямой
Вектор S (направляющий вектор прямой) = N1 x N2 , где N1 (A1; B1; C1), N2 (A2; B2; C2) (оба вектора перпендикулярны своим плоскостям)
-
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (х1, y1, z1) в заданном направлении вектор а = {l, m, n}.
Возьмем точку М (х, у, z), которая принадлежит прямой. Вектор параллелен вектору а, тогда по условию параллельности векторов их координаты пропорциональны.
- каноническое уравнение прямой в пространстве.
(l;m;n) – координаты направляющего вектора прямой
(x1; y1; z1) – координаты точки, через которую проходит прямая
-
Рассмотрим каноническое уравнение прямой
= t
t ; x = x1 + lt
; y = y1 + mt <<<=====параметрическое уравнение прямой в пространстве
= t; z = z1 + nt
(l;m;n) – координаты направляющего вектора прямой
(x1; y1; z1) – координаты точки, через которую проходит прямая