- •Определители: определение, вычисление определителей 2-го и 3-го порядка. Решение слау методом Крамера.
- •Прямая на плоскости. Уравнения (вывод)
- •Плоскость. Уравнение (вывод).
- •Прямая в пространстве, уравнения (вывод).
- •Общее уравнение прямой
- •Кривые второго порядка.
- •Числовые последовательности: определение.
- •Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их виды, примеры. Свойства функции, непрерывной на отрезке.
- •Называется точкой разрыва первого рода:
- •Называется точкой разрыва второго рода:
- •Определение производной, её геометрический и физический смысл.
-
Кривые второго порядка.
Уравнение второй степени относительно двух переменных при разных значениях переменных описывает 4 вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
-
Окружность – множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки.
Уравнение окружности c центром (х0; у0) и радиусом R -
+ + ()*x + ( - )*y + ( = 0
-
Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой же плоскости (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. F1 (-c;0) F2(c;0)
F1F2 = 2C
2a > 2C
a > C
+ = 2a
– каноническое уравнение эллипса
а – большая полуось
b – меньшая полуось
Форма эллипса зависит от величины эксцентриситета.
Эксцентриситет эллипса может быть выражен через отношение большой () и малой () полуосей:
е = с/а, если а>b
e = c/b, если b>a
-
Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.
2a < 2c
a < c
+ = ± 2a
-
+ = 2a
-
+ = - 2a
Рассмотрим уравнения в отдельности.
-
+ = 2a
( = (2a +
+ +
:4
− ↑2
+
+ (
+ - 2
: =
= :
, - каноническое уравнение гиперболы с центром (о;о), действительной полуосью а и мнимой полуосью b.
y = ± – уравнение асимптот
е(эксцентриситет) гиперьболы:
е = с/а, а – действительная полуось
e = c/b, b – мнимая полуось
-
Парабола – множество точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки (называемой фокусом) и данной прямой (называемой директрисой). Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы (p>0).
MN = MF
MN =
MF =
=
=
=
– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно Ox с вершиной в точке (0;0) и директрисой x =
-
Числовые последовательности: определение.
Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число , то говорят, что задана числовая последовательность
последовательность можно рассматривать как функцию натурального аргумента.
Определение предела числовой последовательности: число a называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа ε найдётся такое натуральное число N, что при n > N выполняется неравенство |- a| < ε. = a
Теорема Вейерштрасса.
Всякая, монотонно возрастающая и ограниченная сверху числовая последовательность имеет предел.
Предел функции в бесконечности.
Число А называется пределом функции y=f(x) при x->, если для любого положительного числа ε существует такое положительное число М, что для всех |x|>M выполняется равенство
|f(x) – A| < ε
f(x)-> A при x->
Предел функции в точке.
Пусть функция y=f(x) задана в некоторой окрестности точки .
Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого ε > 0 найдётся такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию | < выполняется неравенство |.
Односторонние пределы.
Если при переменная x принимает только значения или только значение и при этом функция f(x) -> A, то говорят об односторонних пределах функции.
Операции над пределами функции.
-
Lim ( f(x)
Теорема о пределе промежуточной функции.
Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция называется бесконечно малой, если её
Функция называется бесконечно большой, если её
Раскрытие неопределённостей. Примеры.
-
– разложить на множители числитель и знаменатель дроби. В результате сократятся множители, дающие 0.
-
- и числитель, и знаменатель делим на x в наибольшей степени из присутствующих.
-
- выражение представить в виде дроби
Первый замечательный предел.
Следствия первого замечательного предела.
=1
=1
Второй замечательный предел. или в другой записи
Следствия второго замечательного предела.
-
= e
-
-
Сравнение бесконечно малых.
Если , то функция
Sin x