Лекция-2

21

Если в распределении преобладают значения близкие к среднему арифметическому, то формируется островершинное распределение,

характеризуемое положительным эксцессом (Ex > 0), плосковершинное распределение имеет отрицательный эксцесс (-3<Ex<0). «Средневершинное»

(нормальное) распределения имеет нулевой эксцесс (Ex=0). Если у распределения две вершины (бимодальное распределение), то его эксцесс стремится к отрицательной величине (рис.7.6).

		As > 0 As = 0 As < 0		Ex = 0	Ex > 0 Ex < 0
	f		f

0 X 0 X

Рис.1.3. Графики распределения частот с разными значениями асимметрии (As) и эксцесса (Ex)

Вариация (V) – коэффициент вариации, определяющий степень изменчивости признака (переменной), представляющий собой процентное отношение среднего квадратического отклонения данного ряда (σx) к среднему арифметическому ( X x ):

V = x ·100%.

X x

Пример. В исследовании с помощью двух тестов получены распределения оценок x1 и x2. Для первого распределения x1 12,0 , σ1 = 2,55; для второго: x2 10,0 ,

σ2 = 1,8.

Тогда V1 =	x	·100% =		2,55	21,25% ,	V2 =	x	·100% =		1,8	100 18,0% .
			12,0						10,0
	X x						X x

Следовательно, оценки по первому тесту более изменчивы, чем по второму.

22

4.3. Нормальное распределение

Нормальное распределение - распределение, имеющее вид колоколообразной формы, значения его моды, медианы и среднего арифметического равны (рис. 1.4.).

Форма и положение графика нормального распределения определяется только двумя параметрами: средней X и стандартным отклонением σ (сигма).

Формула нормального распределения:

1

f (xi )

e

( xi x)2

2 2 ,

2

где f(xi) – высота кривой над каждым заданным значением xi, x

- среднее

арифметическое xi, σ – среднеквадратическое отклонение от x .

Для такого распределения в пределах значений xi в диапазонах ( x

± σ) лежит

около 68%, в пределах ( x ± 2σ) - 95%, ( x

± 3σ) – 99,7% площади под кривой

нормального распределения. Данное свойство способствует определению, что частоты случаев, укладывающихся в интервалы, ограниченные значениями от ( x

±σ), ( x ±2σ), ( x ±3σ), составляют 68,26%; 95,44%; 99,72% соответственно.

		Рис. 1.4. График нормального распределения при определенных	средней
	X	и стандартного отклонения σ (сигма)

23

Данное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине, часто.

«Нормальным» такое распределение было названо потому, что оно наиболее часто встречалось в естественно-научных исследованиях и казалось «нормой» распределения случайных величин.

При стандартизации тестовых оценок используют нормальное распределение со следующими характеристиками: x 0 ; σ = 1. Площадь под такой нормальной кривой равна единице.

Ординаты нормальной кривой при x 0 ; σ = 1 определяются по формуле

1

( x )2

f (xi )

i

e

2

2

.

В практических расчетах

производится нормирование эмпирического ряда,

т.е. отнесение отклонений xi от средней

X

к величине σx. Затем по табл.А7

«Параметры

нормального

распределения»

определяются ординаты нормальной

кривой f(z)

для каждого

z

xi

x

. Данный расчет применяется при определении

x

критерия согласия χ2- Пирсона (читается «хи-квадрат»).

В соответствии со складывающейся в профессиональной психодиагностической практике системе оценок широкое распространение получила 10-балльная шкала стенов, основанная на законе нормального распределения (табл. 1.12). Гистограмма и сглаженный график распределения частот для табл.1.12 приведен на рис.1.3.

Таблица 1.12

Распределение показателей выборки (частот), распределенных по

нормальному закону, для 10-балльной шкалы

Критерии			Стены (10-балльная шкала)
	1	2	3	4	5	6	7	8		9	10
Распределение частот в процентах	2	5	9	15	19	19	15	9		5	2
Распределение частот в процентах	2	7	16	31	50	69	84	93		98	100
с нарастающим итогом

24

Из рис.1.3 следует, что распределение частот в процентах симметрично

относительно оценки 5,5	балла.
Принято считать,	что в пределах	X	± 2σ располагаются значения,

относящиеся к статистической норме, то есть те значения, которые включены в так

называемый 95%-ный доверительный интервал (			X		- среднее	арифметическое
значение). Знание	X	и σ можно использовать для			выведения	статистической

нормы. Обязательные для этой процедуры условия: соответствие распределения нормальному закону и n ≥ 30.

Количество частот (переменных)

стены

Рис.1.3. Гистограмма и сглаженный график распределения частот для табл.1.12. (выведено компьютерной программой Psychometric Expert)

Пример. Необходимо определить границы нормы для выборки студентов при использовании нового теста. По окончании обработки результатов получаем: п = 90,

X = 32, σ = 4,8. Границы статистической нормы для теста лежат в диапазоне X ±,2σ

то есть 32 ±9,6. Следовательно, верхняя граница нормы = 41,6 (выбираем 42),

нижняя = 22,4 (выбираем 22).

При обработке экспериментальных данных всегда целесообразно проводить оценку характера распределения. Эта оценка важна, потому что в зависимости от

25

характера распределения решается вопрос о возможности применения того или иного статистического метода.

Считается, что распределение отличается от нормального, если эмпирический результат абсолютной величины показателей асимметрии и эксцесса превышает их критические значения или равен им (Акр и Eкр), если показатели асимметрии и эксцесса меньше своих критических значений, то распределение совпадает с нормальным.

Применяемые параметрические критерии можно использовать только в том случае, если исследуемые данные подчиняются закону нормального распределения. В связи с этим часто возникает вопрос у психолога: как проверить характер распределения данных? Для этого необходимо определить асимметрию и эксцесс и сравнить их со своими критическими значениями.

Пример. Следует подтвердить или опровергнуть факт нормальности распределения показателей испытуемых, полученных по субтесту Р. Амтхауэра «Арифметические способности». Методика расчета приведена в табл. 1.13.

Таблица 1.13

Вычисление асимметрии и эксцесса распределения

№	xi	xi -	X		(xi -	X	)2	(xi -	X	)3	(xi -	X	)4
1	14	1			1			1			1
2	9	-1			1			-1			1
3	9	-2			4			-8			16
4	9	-2			4			-8			16
5	5	-6			36			-216			1296
6	10	-1			1			-1			1
7	8	-3			9			-27			81
8	13	2			4			8			16
9	13	2			4			8			16
10	14	3			9			27			81
11	7	-4			16			-64			256
12	7	-4			16			-64			256
13	10	-1			1			-1			1
14	10	-1			1			-1			1
15	14	3			9			27			81

26

															Продолжение табл. 1.13
№		xi	xi -			(xi -			)2		(xi -		)3			(xi -		)4
				X				X				X					X
16		10	-1			1					-1				1
17		9	-2			4					-8				16
18		9	-2			4					-8				16
19		10	-1			1					-1				1
20		13	2			4					-8				16
21		14	3			9					27				81
22		10	-1			1					-1				1
23		10	-1			1					-1				1
24		13	2			4					8				16
25		13	2			4					8				16
26		13	2			4					8				16
27		10	-1			1					-1				1
28		15	4			16					64				256
29		16	5			25					125				625
30		14	3			9					27				81
∑		330				204					-66				3264
	Гистограмма распределения частот испытуемых, построенная по данным табл.
1.13, приведена на рис.1.4.
	Для вычисления по формулам коэффициентов:
					Акр = 3* 6 / n ,						Eкр = 6 * 6 / n

и сравнения их с показателями асимметрии и эксцесса следует вычислить показатели X (среднее арифметическое), σ (стандартное отклонение), А (показатель асимметрии распределения), Е (показатель эксцесса распределения).

В рассматриваемой задаче (табл.7.15):

xi

(xi

)2

330

X

204

2,65.

X =

11 ;

σ =

n

30

n 1

29

A=

(x

)3

66

E=

(x

)4

X

X

3264

i

=

= - 0,12;

i

3

3

-0,8;

n * 3

30 * (2,65)3

n * 4

30 * (2,65)4

Акр = 3*

6 / n = 3* 6 / 30

= 1,34;

Eкр = 6 *

6 / n = 6*

6 / 30 = 2,68.

27

Принцип принятия-отвержения гипотезы о нормальности распределения

определяется следующими системами сравнения:

- если

A < Aкр

E < Eкр распределение совпадает с нормальным

- если

A ≥ Aкр

E ≥ Eкр распределение отличается от нормального

В рассматриваемой задаче

				Aкр		0,12				< 1,34	распределение совпадает с нормальным,
	A	<
											т.к. выполняется система неравенств
	E		<	Eкр		0,8		< 2,66

После решения задачи можно выделить, что «достоверных различий между эмпирическим и нормальным распределением не обнаружено».

Рис.1.4. Гистограмма распределения частот испытуемых, построенная по данным табл. 1.13. компьютерной программой (цвет и заливка графика не показаны)