техническая электродинам КПИ (Кривець)

Тобто довжина хвилі – л має розмір, що можна порівняти з розміром приладів та елементної бази, тому такі хвилі мають квазіоптичні властивості, зберігають когерентність, властивості когерентності дуже важливі для радіолокації та радіомовлення.

На відміну від хвиль НЧ, хвилі НВЧ та вище проходять крізь наносферу без відбиття, що дає можливість організувати зв’язок з космічним простором.

Частоти НВЧ мають настільки широкий діапазон, що в ньому можна розмістити значно більшу кількість каналів зв’язку. Наприклад, при fсер =10 ГГц в смузі F = 300 MГц, що складає 1% від fсер , розміститься стільки ж каналів, скільки розміститься в усьому діапазоні

до УВЧ.

Зобразимо зміни напруги та струму в залежності від довжини хвилі на НВЧ та вище

(рис.10.2):

Рисунок 10.2 Еквівалентні схеми та часові діаграми відповідно: а, б - розімкнутого кола; в, г - замкнутого кола.

Таким чином, із зростанням частоти, вимоги та реалізація елементної бази інші, ніж в діапазонах частот, за яких довжини хвиль значно більші розмірів елементів.

Тому в діапазонаі НВЧ та вище для передачі електромагнітних хвиль застосовують хвилеводи, які характеризуються:

–жорсткою конструкцією та однорідністю вздовж всієї довжини;

–відсутністю втрат випромінювання;

–значно меншими втратами, ніж в провідниках звичайних ліній;

–високою пробивною знатністю (30 кВ/см).

161

10.2Хвилі в хвилеводах з поперечним перерізом прямокутної форми

10.2.1 Поздовжньо-магнітна хвиля – хвиля типу Н

З аналізу структури хвилі типу “Н” (вектор Е орієнтований до площини падіння перпендикулярно) випливає, що у вузлових площинах,що віддалені від провідної площини на відстань xm , граничні умови виконано, і тому в цих площинах можна розташувати ще

одну ідеальну провідну площину, паралельну першій, тобто виділити певну структуру поля між площинами. Уздовж осі x поле характеризується цілим числом m його напівхвиль (варіацій).

Розгорнемо координатну систему таким чином, щоб вісь x стала горизонтальною, вісь y – вертикальною, і в першій вузловій площині розташуємо ідеально провідну поверхню,

тобто виділимо поле з однією варіацією (рис.10.3). Перпендикулярно 1, 2 розташуємо ще дві площини 3, 4. На цих площинах виконуються граничні умови. Таким чином отримаємо напрямну систему у вигляді металевої труби з прямокутною формою поперечного перерізу, на стінках якої виконуються граничні умови. Таку систему називають прямокутним радіохвилеводом. Уздовж осі z може бути сформовано режим рухомих хвиль, тобто існуватиме режим передачі енергії. Таким чином сформовано хвилю H10 , де індекси Hmn

вказують порядок хвилі (m - кількість варіацій уздовж осі х, n - уздовж осі y).

Розмір хвилеводу уздовж осі x позначається літерою a , уздовж осі y – літерою b .

Рисунок 10.3 Поле у прямокутному хвилеводі

Якщо хвилевід в цій координатній системі повернути на 90 , то в ньому буде існувати хвиля типу H01. Якщо поверхню 2 (рис.10.3) розташувати в точках х2, х3,... то у хвилеводі

будуть існувати хвилі більш високих порядків H20 , H30 , H40 ...Hm0 .

162

На	прикладі хвиль типу	Hmn розглянемо методику зображення структури поля у
хвилеводах. Для цього слід спиратись на положення:
–	ознака хвилі типу Hmn	– Hz ≠ 0, Ez = 0 , а хвилі типу Emn – Ez ≠ 0, Hz = 0 ;

–у відповідності до значень m та n треба виявити розподіл поля уздовж поперечних координатних осей хвилевода;

–слід пам`ятати, що E H в буд-якій точці простору;

– Eτ = 0, En ≠ 0 ,		вектор E орієнтовано за нормаллю до стінки
хвилеводу;
Hτ ≠ 0, Hn = 0 ,		вектор H орієнтовано за дотичною до стінки
хвилеводу;

–вектор H має вихровий характер, тобто завжди замкнутий сам на себе;

–вектор E може бути як розімкнений (біля стінок хвилеводу), так і замкнутий.

Тому в прямокутному хвилеводі хвиля типу “Е” з будь-якими нульовими індексами не може існувати.

Побудову починаємо із зображення епюр у відповідності зі значеннями m і n та з силових ліній в поперечній площині хвилеводу.

Для хвилі типу “Н” (наприклад, Н10) (рис.10.4) побудову починаємо з вектора E . Виходячи з того, що n = 0, складова Ey вздовж осі y не змінюється, але щільність ліній

складової Ey уздовж осі x змінюється, що відповідає умові m = 1. Виділяємо у хвилеводі два

допоміжних перерізи, які розташовані на відстанях від торця і один від одного на довжину рухомої напівхвилі λ / 2 . На цій відстані уздовж осі z фаза хвилі змінюється на протилежну.

Розглянемо зображення вектора H у перерізах x - y та z - y . Враховуючи, що Hτ ≠ 0 , тому складова вектора Hx "повертає" уздовж вертикальних стінок і прямує вздовж z, тобто стає складовою Hz .

Пройшовши відстань λ / 2 , у першому допоміжному перерізі фаза хвилі змінюється на протилежну.

Вектор H поширюється вздовж осі y еквідистантно, що відповідає n=0. При цьому всередині зображуються концентричні кола.

Рисунок 10.4 Структура поля для хвилі типу H01

163

Аналогічно будують структуру хвиль інших типів. Нехай,							наприклад,		потрібно
показати	структуру	хвилі H11	у хвилеводі прямокутного перерізу.				Вектор E		у даному
випадку	змінює свій напрям		радіально, бо	Eτ = 0 ,	але	En ≠ 0 ,	оскільки	вектор		H
перпендикулярний до вектораE , то і він матиме подібну структуру (рис.10.5).
		y
	n=1	b				λ
						2
			а			x
		z			m=1
			m=1
		Рисунок 10.5 Структура поля для хвилі типу Н11

10.2.2 Поздовжньо-електрична хвиля – хвиля типу E

На підставі аналізу структури поля хвилі типу “Е” , як і у випадку хвилі типу “Н”, у вузлових площинах складовіEx або в площинах пучності складові H y виконуються умови,

тотожні граничним, тому будь-яку з них можна замінити ідеально провідною поверхнею, яка паралельна площині yОz. Очевидно, що на них повинні виконуватися граничні умови.

Оскільки Hn = 0 , а Hτ ≠ 0 , то вектор H , який проходить через точку x=0, повинен, утворюючи складову Hx замикатись через складову H y , яка проходить через точку x=x1. Оскільки вектор E перпендикулярний векторуH , то за наявності складової Hx з`являється складова Ey , при чому внаслідок дотримання граничних умов m ≥1, n ≥1.

Методика побудови структури поля хвилі Emn аналогічна. Особливість у тому, що

побудову силових ліній слід починати з вектора H .

Оскільки вектор H завжди вихровий, а для хвилі типу Emn він розташований у

поперечній площині, то у базовому перерізі силові лінії вектора H матимуть вигляд замкнутої фігури (рис.10.6). При цьому граничні умови та вимоги m=1 та n=1 виконуються автоматично (самі собою).

164

Вектор E починається і закінчується на стінках хвилеводу, перпендикулярний вектору H у кожній точці і утворює поздовжню складову Ez . Складова Ez на стінках хвилеводу дорівнює нулеві, а її максимальна амплітуда – у центрі хвилеводу.

		y
n=1	b		λ
n=1			2
		а	x
	z
		m=1
Рисунок 10.6 Основні фрагменти структури поля хвиліE11

10.2.3 Структура струму в стінках і порожнині хвилеводу

Згадаємо перше рівняння Максвелла

rotH = Jпр + Jзм.

З нього випливає, що поява вихрового магнітного поля зумовлена струмами провідності і зміщення.

Густина струмів зміщення визначається швидкістю зміни напруженості електричного поля (4. 2-13а):

Jзм = ε ∂∂Et .

Звідси випливає, що лінії густини струму зміщення Jзм та вектора Е мають однакову форму, а між ними в одній і тій же точці простору та в один і той же момент часу має місце фазовий зсув на 90 (що відповідає просторовому зсуву на λ / 4 ), а у точках, що віддалені наλ / 2 у напрямку розповсюдження, вони знаходяться у фазі. Таким чином, за структурою хвиль поля у хвилеводі будуємо структуру ліній густини струмів зміщення (рис.10.7).

У стінках хвилеводу існують струми провідності Jпр ,пов`язані з вектором H кількісно та якісно. На основі граничних умов Hτ = Jпр та першого рівняння Максвела, з якого

випливає, щоH Jпр , побудувавши лінії векторів H та	спроектувавши	їх на	стінки
хвилеводу, можна зобразити лінії струмів провідності.
Розглянемо розгортку хвилеводу з хвилею типуH10	(рис.10.8). На	основі	аналізу

структури густини струмів провідності можна дізнатися про структуру поля у хвилеводі.

165

Знання розподілу струмів у стінках хвилеводу необхідні для виготовлення хвилеводнощілинних антен, вимірювальних ліній та інших технічних пристроїв, для реалізації яких в стінках хвилеводу необхідно створювати випромінюючі щілини.

Рисунок 10.7 Струми зміщення у прямокутному хвилеводі з хвилею типу H10

Рисунок 10.8 Розгортка хвилеводу з хвилею типу H10 та струми провідності в ньому

166

10.2.4 Основні співвідношення для хвиль у хвилеводі

Розглянемо процес передачі енергії електромагнітного поля у хвилеводі. Нехай на ідеальну провідну поверхню падає хвиля під кутом ϕ . Напрямок поширення хвилі задається

вектором Ппад , а напрямок поширення відбитої хвилі - вектором Пвідб (рис.10.9).

Рисунок 10.9 Поширення хвилі у хвилеводі

Якщо на відстані x1 від цієї поверхні розміщена інша провідна поверхня, то і від неї

відбудеться відбиття. Отже, процес поширення хвилі у хвилеводі полягає у послідовному її відбитті від протилежних стінок.

Розглянемо основні співвідношення, які характеризують процес поширення хвиль у хвилеводах, на прикладі хвилі типу Нm0 .

При побудові хвилеводу координати вузлових площин xm фіксовані:

x	= a =		mλ			,
m			2cos		ϕ
звідки		mλ
cosϕ =				.		(10.2 −1)
			2a

З формули (10.2-1) бачимо, що, на відміну від вільного простору, кут ϕ пов`язаний з довжиною хвилі.

Для хвиль типу Нm0 критична довжина хвилі, при якій припиняється процес передачі енергії :

λкр (Hm0 )= 2ma ,

для хвиль типуН0m :

λкр (H0m )= 2nb .

У загальному випадку для хвиль типу Hmn та Emn :

	λкр =		2		.
		m 2		n 2
				+
			a	b

(10.2 − 2)

(10.2 − 2а)

(10.2 −3)

167

Із співвідношень (10.2-2) та (10.2-3) випливає, що критична довжина хвилі залежить від поперечних розмірів хвилеводу і порядку хвилі, який визначається індексами m та n.

Запишемо зв’язок хвильових чисел h та g, відповідно поздовжнього та поперечного: h = β sinϕ ,

g = β cosϕ , h2 + g2 = β .

У хвилеводі можна збуджувати хвилю з λ < λкр , при цьому реалізується умоваϕ > 0 ,

при якій забезпечується прцес передачі енергії у хвилеводі. На основі формул (10.2-2) – (10.2-3) формулу (10.2-1) представимо у вигляді:

	cosϕ =	λ	(10.2 − 4)
		λ
		'кр

Визначимо фазову та групову швидкості поширення хвилі у хвилеводі. Застосовуючи формули (9.1-6) та (10.2-4), отримаємо:

v	ф =	c				,	(10.2 −5)
		1−( λ λ			)2
				кр
v гр	= с 1 − (		λ		)2 .		(10.2 −6)
				λкр

З формул (9.1-3) та (10.2-4) визначимо довжину рухомої хвилі вздовж повздовжньої осі хвилеводу:

λр =		λ			,	(10.2 −7)
			λ	2
1		−
			λ
			кр

З формули (9.2 −12)можна визначити характеристичний опір хвилеводу для хвиль типу Нmn :

Zch (H mn ) = Zw 1- (λ / λкр )2 .

(10.2 −8)

З формули (9.2 −23) можна визначити характеристичний опір хвилеводу для хвиль типу Emn :

	Zch (H mn ) = Zw 1- (λ / λкр )2 .					(10.2 −9)
Закон зміни електричних та магнітних складових поля хвилі типу						Hm0 на основі
формул (9.2 −16), (9.2 −18) та (10.2 − 2)-			(10.2 − 4):
E	y рез	= -2E	sin mπ x sin(ωt-β	р	z) ,	(10.2 −10)
		m	a

168

	Hx рез			= 2Hxm sin			mπ		x sin(ωt-βp z) ,		(10.2 −11)
								a
	Hz рез			= -2Hzm cos				mπ		x cos(ωt-βp z) ,	(10.2 −12)
								a
де	βp = 2π / λp ,
	H	xm	= H		m	1-(λ / λ )2				,
							кр

Hzm = Hm (λ / λкр ) .

Аналогічним чином можна отримати складові поля для хвиль типу H0n , а складові хвиль вищих порядків можуть бути визначені на основі аналізу рівнянь Максвелла.

10.2.5 Середня потужність, що передається по хвилеводу

Розглянемо середню потужність, що передається по хвилеводу. Встановимо залежність середньої потужності хвилі Pсер , що передається вздовж стінки хвилеводу через поперечний

переріз з розмірами а та b. Запишемо загальну формулу середньої потужності:

1 а b

Pcер = 2 ∫∫0 0 ПmdS ,

тут dS = kdxdy .

У загальному випадку амплітудне значення вектора Умова-Пойтінга:

Пm = Em × Hm = i (Eym Hzm − Ezm H ym ) + j(Ezm Hxm − Exm Hzm ) + k (Exm H ym − Eym Hxm )

(10.2 −13)

(10.2 −14)

Спочатку розглянемо хвилю типу Hm0 , а потім отримані результати узагальнимо для хвиль інших типів. Врахуємо, що у структурі хвиль типу Hm0 присутні складові, що представлені співвідношеннями (10.2-10)–(10.2-12), тому використовуючи правило векторного перемноження ортів i , j, k , зведемо співвідношення (10.2-14) до вигляду:

	П = −kEym Hxm ,						(10.2 −15)
	де				mπ
	Emy	= −2Em sin				x ,	(10.2 −16)
					a
	Hmx		= −	Eym		.	(10.2 −17)
				Zch (Hm0 )

Підставляючи (10.2-16) та (10.2-17) у (10.2-15), а потім у (10.2-13), після інтегрування отримаємо для хвилі типу H10 :

	P	= E2	ab		λ	2	(10.2 −18)
				1−		.
					λ
	сер	m 4Z
			W		кр

169

Для хвилі типуH11 вищезгадана формула матиме вигляд:

Pcеp

=

E2

2

1-(λ / λкр )

2

.

m

(10.2-18а)

8Zw

ab 1+ (b / a)

Для хвилі типу E11 :

E2

λкр

2

Pcеp =

m

ab

(λкр / λ)

-1.

(10.2-18б)

8Zw

λ

З формул (10.2-18)–(10.2-18б) випливає, що при інших рівних умовах середня потужність хвилі, що передається по хвилеводу, тим більша, чим більше значення λкр .

Для більшості хвилеводів а>b. Найбільш критичною довжиною хвилі λкр = 2a характеризується хвиля типу H10 . Отже, використовуючи цю хвилю, можна передати максимальну потужність.

10.2.6 Хвиля основного типу. Хвилі вищих порядків

Отже, від порядку хвилі залежить значення критичної довжини хвилі λкр . Враховуючи умову а>b, за формулою (10.2 −3) побудуємо шкалу розподілу λкр (рис10.10).

	H20	H10		область
	H01			відсікання
E21	E11
	H11
H21
	2b	a	2a	лкр

Рисунок 10.10 Шкала розподілу λкр хвиль різних типів

Для збудження хвилі заданого типу довжина хвилі джерела повинна бути менше λкр .

Хвилі з найбільшим λкр у своєму класі називають хвилями нижчих порядків.
Серед хвиль типуHmn хвилею нижчого порядку є H10 , а серед хвиль типу Emn -	E11 .
Хвилі Hmn та Emn з однаковими значеннями λкр називаються виродженими.
Хвиля, яка серед усіх типів хвиль характеризується найбільшим значенням	λкр ,

називається хвилею основного типу. При збудженні у хвилеводі хвилі заданого типу робоча довжина хвилі джерела повинна вибиратися з співвідношення:

λкр ближ. < λ < λкр збудж.

Так, при збудженні хвилі типу Н10 робоча довжина хвилі згідно з умовою λ(H 20 ) < λ < λ(H10 ) вибирається за критерієм а< λ <2а.

170