Neopredelenny_integral_Kontr_rabota (1)

dx

1) 16 x2

2) tg3xdx

3)	1 ln x		dx
		x

xdx

4) sin2 x

5) xarctgx dx

1 x2

1)							dx
					5 x2
2)						x4
								dx
			x	5
							7
3)					arcsin x					dx
					2
							1 x

4)x ln 1 1 dx

x

5)arctg xdx

Вариант № 17

6) x1 xdx

dx

7) x2 x

5x 2

8) x2 2x 10 dx

(x2 1)dx 9) (x2 1)(x2 4)

10) dx

8 x3

Вариант № 18

6)			3 x 2							dx
					3
		4					x 2
7)						dx
		x	2	3x 10

7x 6

8) 2x2 6x 4 dx

x2

9) (x 2)2 (x 1) dx

10) x4 2x3 3x 4 dx

1 x3

11)x2 2x 2dx

12)sin2 x cos3 xdx

	13)			dx
		1		sin4 x

14) sin 3x sin 5xdx

	15)		dx
		x 3 x2 1

11)x2 4dx

12)sin3 x cos2 xdx

13)	cos xdx
	(1 cos x)	2

14) cos3x cos 2x dx

15)		dx
3 1			x3

11

dx

1) 12 x2

cos 3x

2) 73 5sin 3x dx

3) ecos x sin xdx

4) ln2 xdx

5) xtg2 xdx

dx

1) x2 2

2) e x3 x2dx

3) 1 2sin x dx cos2 x

4) arcsin x dx

1 x

5) lg x dx x3

Вариант № 19

dx

6) 1 x 3

dx

7) x2 2x 3

3x 5

8) x2 2x 2 dx

dx

9) 6x3 7x2 3x

10) xdx

1 x4

Вариант № 20

dx

6) 1 ex

dx

7) x2 7x 10

xdx

8) 2x2 x 1

9)		x 2		2		dx
		x 1				x

x4 1

10) x3 x2 x 1 dx

11) x2 xdx

12) cos2 x sin4 xdx

13) tg4 xdx

14) sin 3x cos 23x dx

15) 1 x4 dx x5

11)x2 6x 7dx

12)cos4 x sin2 xdx

13) dx

sin x cos x

14) sin 5x sin xdx

15)	3 1 x			dx
	x

12

1)x2 2 dx

x2 1

dx

2) sin2 3x

3) 41 3x dx

4) arctgx dx x2

5) ln(x2 1)dx

1) (x 1)3 dx x

2) e tgx sec2 xdx

xdx

3) 2 x4

4) (4x3 6x 7) ln xdx

5) e4x sin 5xdx

Вариант № 21

e2 x dx

6) 4ex 1

dx

7) x x2 2,5

3 4x

8) x2 5x 2 dx

(2x2 5)dx

9) x4 5x2 6

10)			dx
	(x	2	1)(x	2	x)

Вариант № 22

dx

6) 1 3x 2

7)

dx

4x

2

4x 5

8)

2x 3

dx

1 x x2

9)

x3 1

dx

x

3

x

2

10)

(2x2 3x 3)dx

(x 1)(x

2

2x 5)

11) (x2 x 1)32 dx

12) dx sin x cos x

13)ctg4 xdx

14)cos 4x cos 2x dx

15)31 x3 dx

x2

11)	dx
	(x2 2x 5)	3
		2

12) dx sin3 x

13)		dx
		4sin x
9

14)sin 5x cos xdx

15)3x(1 x2 )dx

13

1)				x		cos				x	2
		sin										dx
				2						2
2)			x 1					dx
			x2 1
						100
3)		(arctgx)							dx
		2
			1 x
4)

ln(1 x 1 x)dx

5) e2x cos 2xdx

1) 2x exdx

2) sin 2x dx cos 2x

ln5 xdx

3) x

4) x2 sin 5xdx

5) arcsin x dx

1 x

Вариант № 23

6)					1 x								dx
					1 x						1 x
7)								dx
					8 6x 9x2
8)								xdx
			4x				2	4x 5
9)								x2dx
			(x				2)			2		(x			4)			2
10)										dx
				(x 1)							2		(x	2		1)

Вариант № 24

6)1 ln x dx

xln x

7)								dx
						2 6x 9x2
8)							2 x							dx
			x 2x						2
											3
				3				1
9)				x						dx
			4x				3
								x
10)								x3 6							dx
							4					2
					x				6x				8

	11)		dx
		(1	x2 )	1 x2

12) sin2 x dx cos4 x

13)		dx
		9cos x
4

14)sin 32x sin 72x dx

15)x 1 1 x 13 3 dx

11) 5 4x x2 dx

12)			cos2 x				dx
			sin		3	x
13)				dx
			9	sin x

14) cos3x cos 7xdx

15)		dx
4 1			x4

14

Вариант № 25

				3 2ctgx
																				x
1)											dx	6)															11)				x		2			2x							1dx
					cos2 x																	dx
																	x 1
							dx															dx												4
2)												7)															12)			sin					x				dx
									2																2
					3 2x														4x 3 x																3
																														cos						x
3)				2ln x dx								8)					2x 1						dx				13)							dx
																2														4 cos x
							x										x x
4)	x				3		cos3xdx					9)										x2dx					14)	sin 7x cos xdx
																	x3 5x2 8x 4
																		x 1
5)	ex (2x2 x 5)dx											10)												dx			15)			3 1						4	x				dx
																		3
																	1 x																			x

Таблица основных неопределенных интегралов

1.

xndx

xn 1

C (n 1).

n 1

2.

dx

ln

x

C.

x

ax

3.

axdx

C (a

0, a 1);

exdx ex C.

ln a

4.sin xdx cos x C.

5.cos xdx sin x C.

6.

dx

tgx C.

cos

2

x

7.

dx

ctgx C.

sin

2

x

dx

x

8.

ln

tg

C.

sin x

2

15

9.		dx	ln		x					C.
					tg
	cos x
						2		4

10.

dx

1

arctg

x

C.

2

2

x

a

a

a

11.

dx

1

x a

C.

ln

a

2

2

x a

x

2a

12.

dx

arcsin

x

C,

x

a

.

a

a2 x2

dx

13. x2 a2 ln x

dx

14. x2 a2 ln x

15. shxdx chx C.

16. chxdx shx C.

17.	dx			thx C.
	ch	2
			x

x2 a2 C, xa .

x2 a2 C.

18.	dx			cthx C.
	sh	2	x

Основные свойства неопределенного интеграла

1.f (x)dx f (x).

2.f (x)dx f (x) C.

3. af (x)dx a f (x)dx, a 0.

4. ( f1(x) f2 (x))dx f1(x)dx f2 (x)dx.

16

Образец решения типового варианта контрольной работы

Задание 1. Тема: интегрирование по таблице.

			3sin x 5	x	2		1		2
Вычислить интеграл											dx .
									x2
							x			1

Решение. Используем метод непосредственного интегрирования. Применив свойства 3 и 4, имеем

2

1

2

2

dx

dx

x

x2 1

x

x2 1

I

3sin x 5

x

dx 3

sin xdx 5

dx

x dx

2

.

Далее, используя соответственно формулы 4, 1, 1, 2, 10 таблицы основных интегралов, находим:

I 3cos x 5x x3 ln x 2arctgx C. 3

Задание 2. Тема: подведение переменной под знак дифференци-

ала.

Вычислить интеграл sin3 cos xdx .

Решение. Принимая во внимание, что сosxdx d(sin x) , и применяя формулу 1 таблицы основных интегралов, получаем:

sin3 x cos xdx sin3 xd (sin x) u3du	u4			C	sin4 x	C.
	4		u sin x	4

Задание 3. Тема: подведение переменной под знак дифференци-

ала.

	Вычислить интеграл		xdx		.
			x4 2
	Решение. Учитывая, что xdx					1	d (x2 ) , и применяя формулу 14
						2

(где a2 2 ), основной таблицы интегралов, имеем:

17

xdx

1

d (x2 )

1

du

1

1

ln

u u2 2

C

ln

x2 x4 2

C.

2

2

2

2

x4 2

(x2 )2 2

u2 2

u x2

Задание 4. Тема: интегрирование по частям. Вычислить интеграл x2 cos xdx .

Решение. Используем формулу интегрирования по частям

udv uv vdu .

Полагаем u x2 , dv cos xdx . Тогда du 2xdx, v cos xdx sin x . Применяя формулу, получаем:

x2 cos xdx x2 sin x 2x sin xdx .

Кстоящему справа интегралу снова применяем формулу интегриро-

вания по частям, причем полагаем u 2x, dv sin xdx . Отсюда du 2dx, v sin xdx cos x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем окон-

чательно:

x2 cos xdx x2 sin x 2x cos x ( cos x)2dx x2 sin x 2x cos x 2sin x C .

Задание 5. Тема: интегрирование по частям.

Вычислить интеграл eax sin bxdx .

Решение. Для применения формулы интегрирования по частям

udv uv vdu

полагаем

u eax ,

dv sin bxdx .

Тогда

du aeaxdx, v

1

cosbx

и eax sin bxdx

1

eax cosbx

a

eax cosbxdx .

b

b

b

Теперь

полагаем

u eax ,

dv cosbxdx . Тогда

du aeaxdx ,

1

1

a

eax

a

v

sin bx и

eax sin bxdx

eax cos bx

sin bx

eax sin bxdx .

b

b

b

b

b

В итоге получено уравнение относительно неизвестного интеграла eax sin bxdx . Решая это уравнение, находим:

		a2			eax sin bxdx eax	a sin bx b cosbx		C1 ,
1
		b	2			b	2

18

или eax sin bxdx	eax (a sin bx b cos bx)				C.
	a	2	b	2

Задание 6. Тема: интегрирование подстановкой (заменой переменной).

Вычислить интеграл		1 x		dx .
		1 x

Решение. Сделаем замену переменной по формуле x t2 , тогда

dx 2tdt,

t

x , откуда

1 x

dx

1 t2

2tdt 2

t3 t

dt 2 (t2

t 2)dt 4

dt

1 t

t 1

1 x

1 t

1

3

1

2

1

3

1

1

2

t

t

2t

4ln(t 1) C

2

x

2

x 2x

2

4ln(

x 1) C.

3

2

t

3

2

x

Задание 7. Тема: интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

	Вычислить интеграл			dx		.
			3 2x x2
	Решение. Выделим полный квадрат в многочлене, стоящем под
	знаком корня:

3 2x x2 (x2 2x 3) (x2 2x 1) 1 3 4 (x 1)2 .

Тогда, подводя переменную x 1 под знак дифференциала и применяя формулу 12 (при a 2 ) таблицы основных интегралов, получим:

dx

d (x 1)

arcsin

x 1

C .

3 2x x2

4 (x 1)2

2

Задание 8. Тема: интегрирование выражений, содержащих

квадратный трехчлен в знаменателе.

Вычислить интеграл

3x 2

dx .

x2 x 7

Решение. Выделив в числителе производную знаменателя, поделив почленно числитель на знаменатель и затем применив для каждого из двух полученных интегралов соответственно формулы 2 и 10 таблицы основных интегралов, имеем:

19

										(2x 1)							3				3		2
			3x 2																													3		(2x 1)dx											dx
									dx								2			2								dx
	x		2										x	2	x					7												2		x		2	x 7				x		2		x	7
					x 7
																						1
		3				d (x	2	x 7)							d	x														3										2							2x 1
																						2
																															ln(x				2	x 7)									arctg							C.
		2				x2 x 7														2										2
																	1								27														3			3				3
													x
																	2								4

Задание 9. Тема: интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов.

Вычислить интеграл x2 4x 4 dx . x(x 1)2

Решение. Дробь x2 4x 4 – правильная, ее разложение в сумму x(x 1)2

простейших дробей имеет вид:

	x2 4x 4		A		B			C	.
	x(x 1)2		x		x 1			(x 1)2

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем x2 4x 4 A(x 1)2 Bx(x 1) Cx

(тождественное равенство числителей), откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , имеем

A B 1, 2A B C 4, A 4,

и далее находим

B 3, C 9.

Следовательно,

x2

4x 4

4

3

9

9

dx

dx 4ln

x

3ln

x 1

C.

x(x 1)

2

x 1

(x 1)

2

x 1

x

Задание 10. Тема: интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов.

	Вычислить интеграл				dx
			x(x2 1)2
	Решение. Дробь	1			– правильная, ее разложение в сумму
		x(x2 1)2

простейших дробей имеет вид:

20