Neopredelenny_integral_Kontr_rabota (1)

1		A		Bx C		Dx E	.
x(x2 1)2				x2 1
		x				(x2 1)2

Имеем:

1 A(x2 1)2 Bx2 (x2 1) Cx(x2 1) Dx2 Ex .

Полагая x 0, находим		A 1. Приравнивая коэффициенты при одина-
ковых	степенях	х,	получаем	0 A B,	0 C ,

0 2A B D,			0 C E, т.е. B 1,
Следовательно,
	dx				1			x			x
x(x2 1)2								x2 1			(x2 1)2
					x

C 0,		D 1,					E 0.
dx ln		x			1	ln(x2	1)	1	C.
				2				2(x2 1)

Задание 11. Тема: интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок.

Вычислить интеграл

dx

.

(x2 4x 7)3

Решение. Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене,

имеем:

dx

du

, где u x 2 .

(x2 4x 7)3

(u2 3)3

3dt

Производя теперь подстановку u

du

,

u2 3

3tgt,

3 sect,

cos2 t

получаем:

dx

3dt

1

cos tdt

1

sin t C

1

u

(x2 4x 7)3

cos2 t

33 sec3 t

3

3

3

u2 3

1

x 2

C.

3

x2 4x 7

Задание 12. Тема: интегрирование тригонометрических функ-

ций.

Вычислить интеграл sin2 x cos4 xdx .

Решение.

Применяя

формулы

понижения

степени

cos2 x

1 cos 2x

,

sin2 x

1 cos 2x

,

cos x sin x

sin 2x

, имеем:

2

2

2

21

sin2 x cos4 xdx (sin x cos x)2

1 cos 2x

dx

1

sin2 2xdx

1

sin2 2x cos 2xdx

2

8

8

1

1 cos 4x

dx

1

sin2 2xd (sin 2x)

x

sin 4x

sin3 2x

C.

8

2

16

16

64

48

Задание 13. Тема: интегрирование тригонометрических функ-

ций.

Вычислить интеграл

dx

.

4cos x 3sin x

5

Решение. Применим универсальную тригонометрическую под-

становку.

Полагаем tg

x

t , тогда cos x

1 t2

,

sin x

2t

,

dx

2dt

и

1 t2

1 t2

2

1 t2

dx

2

dt

2

dt

2

t

2

6t 9

4cos x 3sin x 5

1 t

2t

2 )

4

3

5

(1 t

1 t2

1 t2

2	dt			2			C		2			C.
	(t 3)	2		t	3				x
								tg			3
									2

Задание 14. Тема: интегрирование произведений синусов и косинусов различных аргументов.

Вычислить интеграл сos9x cos5xdx .

Решение. Для вычисления интеграла подобного типа используется одна из формул

cos cos 12 (cos( ) cos( )) , sin sin 12 (cos( ) cos( )) ,

sin cos 12 (sin( ) sin( )) .

Имеем:

cos9x cos5xdx 12 (cos 4x cos14x)dx 18 sin 4x 281 sin14x C.

22

Задание 15. Тема: интегрирование дифференциальных биномов.

Вычислить интеграл				x3		dx .
			1 x2
Решение.	Интеграл			от		дифференциального	бинома
xm (a bxn ) p dx ,	если m, n,		p – рациональные числа, приводится к

интегралу от рациональной функции и, следовательно, выражается через элементарные функции в следующих трех случаях:

1)

p есть целое число (подстановка x tk , где k – наименьшее

общее кратное знаменателей дробей m и n );

2)

m 1

есть целое число (подстановка a bxn

ts , где s

– зна-

n

менатель дроби p );

3)

m 1

p есть целое число (подстановка a bxn xnts , где s –

n

знаменатель дроби p ).

Запишем данный дифференциальный бином в стандартном ви-

де:

x3

1

x3 (1 x2 )

2 .

1 x2

Здесь m 3,

n 2,

p

1

,

m 1

2 – целое число.

2

n

Делаем замену 1 x2

t2 , тогда

tdt

x

1 t2 ,

dx

и

1 t2

32 tdt

x3

dx

(1 t2 )

(1

1

1 x2

t2 )dt t

t3 C

( x2

2) C.

3

3

1 x2

t 1 t2

23

Библиографический список

1.Шипачев, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

2.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис Пресс, 2006. – 608 с.

3.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. В 2 т. Т.2. – 12-е изд. – М.: Наука,

2008. – 575 с.

4. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей	математики /
В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 2007. –	656 с.

5.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. В 2 т. Т.1. – М.: Высшая школа, 2003. – 304 с.

6.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике : учебное пособие / А.Д. Мышкис. – СПб.: Лань, 2007. – 688 с.

24

25

Учебное издание

Составитель

Волошина Марина Сергеевна Журавлева Марина Ивановна Сарычев Константин Юрьевич

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Задания для проведения контрольной работы

Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом

Подписано в печать 24.04.2014г.

Формат бумаги 60 84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл.-печ. 1,45 л. Уч.-изд. 1,62 л. Тираж 50 экз. Заказ

Сибирский государственный индустриальный университет 654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42

Издательский центр СибГИУ

26