- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.1. Основные понятия и определения теории вероятностей
- •1.2. Функции распределения вероятностей случайной величины
- •1.3. Числовые характеристики случайных величин
- •1.5. Случайные процессы и их основные статистические характеристики
- •1.6. Корреляционные функции случайных процессов
- •1.7. Спектральные плотности случайных процессов
- •1.9. Прохождение дискретного случайного процесса через дискретное динамическое звено первого порядка
- •ЗАДАЧИ
- •2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
- •2.1. Общие понятия и определения
- •2.2. Простейшие оценки
- •2.3. Интервальные оценки. Доверительный интервал
- •2.4. Проверка статистических гипотез о параметрах распределения
- •2.5. Критерии согласия
- •2.6. Последовательный анализ
- •2.7. Особенности статистического вывода
- •2.8. Статистики и измерения стационарного случайного процесса
- •2.9. Оценка корреляционной функции
- •2.10. Оценка спектральной плотности
- •ЗАДАЧИ
- •3. МОДЕЛИ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ
- •3.1. Средства и этапы описания объектов управления
- •3.2. Характеристика моделей объектов управления
- •3.3. Динамические модели объектов управления
- •3.4. Преобразование и исследование динамических моделей
- •3.5. Статические модели
- •3.6. Графическое представление статических моделей
- •3.7. Пример описания объекта управления
- •4. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
- •4.1. Дисперсионный анализ
- •4.2. Метод регрессионного анализа
- •4.3. Рекуррентные алгоритмы идентификации линейных моделей
- •4.5. Идентификация параметров динамических моделей
- •4.6. Сглаживание временных рядов
- •ЗАДАЧИ
- •5. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
- •5.1. Общие требования к плану эксперимента
- •5.2. Полный факторный эксперимент
- •5.3. Дробный факторный эксперимент
- •5.4. Планы для квадратичных моделей
- •ЗАДАЧИ
- •СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АББРЕВИАТУР И ОБОЗНАЧЕНИЙ
xx ( ) |
Rxx ( ) |
|
K xx ( ) x |
. |
(1.68) |
||
|
K xx ( ) |
|
|
||||
|
x |
|
x |
|
|
||
Нормированная корреляционная |
функция |
удобна тем, что |
всегда |
xx ( ) . Иногда в рассмотрение вводят нормированную взаимную корреляционную функцию
|
|
|
|
||||
xu ( ) Rxu ( ) / |
Rxx ( )Ruu ( ) , |
(1.69) |
|||||
причем можно показать, что R |
xx |
( ) R |
( ) R |
( ) . |
|
||
|
uu |
|
xu |
|
|
|
1.7. Спектральные плотности случайных процессов
Другой способ анализа стационарного случайного процесса основан на предположении, что он представляет собой сумму синусоид и косинусоид различных частот.
Спектральная плотность Sxx ( ) стационарного случайного процесса X (t) определяется как преобразование Фурье корреляционной функции
K xx ( ) , т.е.
|
|
Sxx ( ) K xx ( )e j d . |
(1.70) |
Спектральная плотность или энергетический спектр случайного процесса является действительной и четной функцией частоты
Sxx ( ) Sxx ( ) . |
(1.71) |
Поэтому на графике спектральная плотность всегда симметрична относительно оси ординат.
Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:
|
|
|
|
|
|
K xx ( ) |
Sxx ( )e j d |
Sxx ( )cos d . (1.72) |
|||
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
Взаимная спектральная плотность Sxu ( j ) |
двух стационарных слу- |
чайных процессов X (t) и U (t) определяется как преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции Kxu ( ), т.е.
|
|
Sxu ( j ) K xu ( )e j d . |
(1.73) |
|
|
Взаимная спектральная плотность Sxu ( j ) является мерой статистиче- |
|
ской связи между двумя стационарными случайными процессами |
X (t) и |
35
U (t) . Если процессы X (t) и U (t) некоррелированы и имеют равные нулю средние значения, то взаимная спектральная плотность равна нулю, т.е.
Sxu ( j ) .
В отличие от спектральной плотности Sxu ( ) взаимная спектральная плотность Sxu ( j ) является нечетной функцией и представляет собой не вещественную, а комплексную функцию
Sxu ( j ) Sux ( j ) . |
|
(1.74) |
||
|
|
|
|
|
Центрированному случайному процессу |
X (t) , имеющему центриро- |
|||
ванную корреляционную функцию |
Rxx (t) , соответствует центрированная |
|||
спектральная плотность S |
( ) , т.е. |
|
|
|
xx |
|
|
|
|
Sxx |
|
|
|
|
( ) |
Rxx ( )cos d Rxx ( )cos d . (1.75) |
|||
|
|
|
|
|
Зная центрированную спектральную плотность S |
( ) , по формуле об- |
|||
|
|
|
xx |
|
ратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей центрированную корреляционную функцию:
|
|
|
|
( )e j d |
|
|
|
|
|
|
||
Rxx ( ) |
Sxx |
Sxx |
( )cos d . |
(1.76) |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Зависимость между дисперсией |
и спектральной плотностью S ( ) |
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
xx |
|
для центрированного случайного процесса: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x Rxx ( ) |
|
|
Sxx ( )d |
|
Sxx ( )d . |
(1.77) |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина σ2x характеризует среднюю мощность случайного процесса.
Полученные статистические характеристики позволяют оценить среднее время корреляции [13]
τr |
Sxx |
(0) |
(1.78) |
|
2Rxx (0) |
||||
|
|
и среднюю полосу частот (эффективную ширину спектра) случайного сигнала
ωd |
πRxx (0) |
, |
(1.79) |
||
Sxx |
(0) |
||||
|
|
|
при этом τr ωd π / 2 const .
Спектральную плотность можно рассчитать непосредственно по реализации случайного процесса с использованием преобразования Фурье
T |
|
XT ( jω) x(t)e jωt dt , |
(1.80) |
T
36
где XT ( jω) – спектральная функция (текущий спектр) x(t) , определенная на интервале T t T .
Спектральная плотность выражается через спектральную функцию
S |
xx |
(ω) lim |
1 |
M X |
T |
( jω) |
|
2 |
. |
(1.81) |
|
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
T 2T |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Термин «спектральная плотность» заимствован из электротехники. Если x(t) есть напряжение, приложенное к сопротивлению R 1 Ом, то мгно-
венная мощность, рассеиваемая на этом сопротивлении
P(t) x2 (t) / R ,
средняя мощность за время 2T (average power) с учетом того, что R 1
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
|
|||||
|
|
Pср |
|
x2 (t)dt , |
|
|
|
||||||
|
|
2T |
|
|
|
||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||
среднеквадратическое (действующее) значение процесса (RMS) |
|||||||||||||
|
|
σ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Pср . |
|
|
|
|||||||
Если увеличить интервал 2T до бесконечных пределов, то формулу |
|||||||||||||
для средней мощности можно записать так [4] |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Pср lim |
x2 (t)dt x2 (t) Rxx (0) |
|
Sxx (ω)dω . (1.82) |
||||||||||
|
π |
||||||||||||
T 2T |
- |
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Равенство (1.82) показывает, что средняя мощность сигнала может |
|||||||||||||
быть представлена в виде бесконечной суммы слагаемых |
|
1 |
Sxx (ω)dω . Каждая |
||||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
элементарная мощность 1π Sxx (ω)dω пропорциональна значению Sxx (ω) для
данной частоты ω. Следовательно, физический смысл спектральной плотности состоит в том, что она характеризует распределение мощности процесса по частотному спектру.
Спектральная плотность производной X (t) связана с Sxx (ω) зависимо-
стью
S |
xx |
(ω) ω2 S |
xx |
(ω) . |
(1.83) |
Для дискретного случайного процесса X kT0 , полученного путем дискретизации непрерывного случайного процесса X (t) с интервалом дискретизации T0 , необходимо воспользоваться дискретным преобразованием Фурье.
Дискретное преобразование Фурье длины N
37
|
|
|
x fk T0 |
N 1 |
|
|
|
|
j2πik |
|
||||||
|
|
|
x(i)exp |
N |
, |
(1.84) |
||||||||||
|
|
|
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
и обратное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
N 1 |
|
|
|
|
j2πik |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x(i) |
|
|
x(k)exp |
|
, |
(1.85) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
NT0 k 0 |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|||
где |
f (k) |
k |
, k 0,1,...,N 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
NT0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Поскольку частота Найквиста |
|
f |
|
|
1 |
, то соответствующее значение k |
|||||||||
|
|
c |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
определяется из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
NT0 |
|
2T0 |
|
|
|
|||||
или k N / 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим некоторые свойства спектральных плотностей Sxx ( ) |
[4]. |
Спектральная плотность чистого случайного процесса, или белого шума, постоянна во всем диапазоне частот (см. рис. 1.11, б):
S( ) const .
xxx
Постоянство спектральной плотности белого шума во всем бесконечном диапазоне частот означает, что энергия белого шума распределена по всему спектру равномерно, а суммарная энергия процесса равна бесконечности. Это указывает на физическую нереализуемость случайного процесса типа белого шума. Белый шум является математической идеализацией реального процесса. В действительности частотный спектр западает на очень
высоких частотах (как показано пунктиром на рис. 1.11, б). Если, однако, эти частоты настолько велики, что при рассмотрении какого-либо конкретного устройства они не играют роли (ибо лежат вне полосы частот, пропускаемых этим устройством), то идеализация сигнала в виде белого шума упрощает рассмотрение и поэтому вполне целесообразна.
Происхождение термина «белый шум» объясняется аналогией такого процесса с белым светом, имеющим одинаковые интенсивности всех компонент, и тем, что случайные процессы типа белого шума впервые были выделены при исследовании тепловых флуктуационных шумов в радиотехнических устройствах.
Спектральная плотность постоянного сигнала x(t) A представляет
собой -функцию, расположенную в начале координат (см. рис. 1.11, а), т.е.
Sxx ( ) A ( ) .
38
Тот факт, что спектральная плотность Sxx ( ) представляет собой δ-
функцию при , означает, что вся мощность постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте, что и следовало ожидать.
Спектральная плотность периодического сигнала x(t) Asin t
представляет собой две δ-функции, расположенные симметрично относительно начала координат при и (см. рис. 1.11, г), т.е.
Sxx ( ) A .
Тот факт, что спектральная плотность Sxx ( ) представляет собой две δ- функции, расположенные при , и , означает, что вся мощность периодического сигнала сосредоточена на двух частотах: , и . Если рассмат-
ривать спектральную плотность только в области положительных частот, то получим, что вся мощность периодического сигнала будет сосредоточена на одной частоте .
Спектральная плотность временной функции, разлагаемой в ряд Фурье,
n
x(t) A Ak sin k t k имеет на основании изложенного выше вид
k
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
S |
|
( ) |
|
A ( ) |
|
Ak |
|
|
. |
xx |
|
||||||||
|
|
|
|
k |
k |
|
|||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр (рис. 1.14) с δ-функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник. На рис. 1.14 δ-функции условно изображены так, что их высоты показаны пропорциональными коэффициентам при единичной δ-
функции, т.е. величинам A и Ak / .
S xx ( )
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.14. Спектральная плотность ряда Фурье
39
Заметим, что спектральная плотность Sxx ( ) не содержит так же, как и корреляционная функция, никаких сведений о фазовых сдвигах k отдель-
ных гармонических составляющих.
Спектральная плотность случайного процесса, не содержащего периодической составляющей, представляет собой график без ярко выраженных пиков (см. рис. 1.11, в).
В этом случае спектральная плотность часто аппроксимируется сле-
дующим аналитическим выражением: |
|
|
|||
|
S |
xx |
( ) / T / T , (1.86) |
||
|
|
x |
x x |
x |
|
где |
— дисперсия случайного процесса; const |
— параметр затухания; |
|||
x |
|
|
|
|
|
Tx / — постоянный коэффициент.
Спектральной функции, определяемой по (1.86), соответствует корреляционная функция
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rxx ( ) |
|
|
|
e j d xe | | , |
||||
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
которая полностью совпадает с корреляционной функцией, определяемой по
(1.65).
Из рис. 1.11, б, в видно, что чем шире график спектральной плотности Sxx ( ) , тем «уже» график соответствующей корреляционной функции
K xx ( ) , и наоборот. Это соответствует физической сущности процесса: чем
шире график спектральной плотности, т.е. чем более высокие частоты представлены в спектральной плотности, тем выше степень изменчивости случайного процесса и тем «уже» график корреляционной функции. Другими словами, связь между видом спектральной плотности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и видом функции времени.
Спектральная плотность случайного процесса, на который наложены периодические составляющие, содержит непрерывную часть и отдельные - функции, соответствующие частотам периодических составляющих.
Отдельные пики на графике спектральной плотности указывают на то, что случайный процесс смешан со скрытыми периодическими составляющими, которые могут и не обнаруживаться при первом взгляде на отдельные записи процесса. Если, например, на случайный процесс наложен один периодический сигнал с частотой с k , то график спектральной плотности будет
иметь вид, показанный на рис. 1.15.
40
Sxx (ω)
- ωk |
0 |
ω k |
ω |
Рис. 1.15. График спектральной плотности с наложенным периодическим сигналом с частотой k
1.8. Случайные процессы в динамических системах
Рассмотрим линейную динамическую систему, имеющую передаточную функцию W ( p) и импульсную переходную функцию (весовую функ-
цию) (t) (рис. 1.16).
U(t) X(t)
|
|
|
W ( jω), (t) |
|
|
|
|
|
|
|
Kuu ( ),Suu ( ) |
|
xx |
( ), S |
xx |
( ) |
|||||
|
|
K |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Kux( ),Sux( j ) |
|
|
|
|
|
Рис. 1.16. Прохождение случайного сигнала через линейное динамическое звено
Предположим, что на вход этой системы подан стационарный случайный процесс U (t) , имеющий корреляционную функцию Kuu ( ) и спектральную плотность Suu ( ) . Если рассматриваемая линейная система устойчива и сама стационарна, то установившийся выходной сигнал X (t) также будет
стационарным случайным процессом, однако его статистические характеристики будут отличаться от статистических характеристик входного сигнала.
Допустим, что случайный процесс X (t) имеет корреляционную функцию Kxx ( ) и спектральную плотность Sxx ( ) . Установим связь между кор-
реляционными функциями и спектральными плотностями случайных процессов на входе и выходе системы. Связь между реализациями x(t) случай-
ного процесса X (t) на выходе системы и соответствующими реализациями
41
u(t) случайного процесса U (t) |
|
на входе системы на основании формулы |
||||||||||
свертки выражается через импульсную переходную функцию (t) |
следую- |
|||||||||||
щим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
u(t ) ( )d , |
|
(1.87) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где — независимая переменная интегрирования. |
|
|||||||||||
Корреляционная функция Kxx ( ) |
стационарного случайного процесса |
|||||||||||
X (t) равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) lim |
1 |
|
T |
|
)dt . |
|
||
|
K |
xx |
|
|
x(t)x(t |
(1.88) |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
T 2T T |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставляя в (1.88) значение из (1.87) и изменяя последовательность |
||||||||||||
интегрирования, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K |
xx |
( ) |
|
( )d |
( )K |
uu |
( )d , |
(1.89) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где — обозначение новой независимой переменной интегрирования.
Выражение (1.89) является основным интегральным соотношением, позволяющим по известной корреляционной функции Kuu ( ) случайного процесса на входе системы и известной импульсной переходной функции (t)
системы найти корреляционную функцию |
K xx ( ) случайного процесса на |
||||
выходе системы. |
|
|
|
|
|
Взаимная корреляционная функция равна |
|
||||
|
|
|
|
|
|
K |
ux |
( ) ( )K |
uu |
( )d . |
(1.90) |
|
|
|
|
Определим теперь связь между спектральными плотностями входного и выходного случайных процессов. В соответствии с (1.70) и (1.89) спектральная плотность случайного процесса X (t) на выходе системы
|
|
|
|
|
S ( ) |
|
W ( j ) |
|
S |
uu |
( ) , |
(1.91) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
W ( j ) |
|
|
U ( ) V ( ) |
— амплитудно-частотная |
характеристика |
||||||
|
|
||||||||||||
(функция), U ( ) ReW ( j ) |
— вещественная частотная |
характеристика, |
V ( ) ImW ( j ) — мнимая частотная характеристика.
Таким образом, спектральная плотность стационарного случайного процесса на выходе линейной системы равна спектральной плотности слу-
42
чайного процесса на входе системы, умноженной на квадрат модуля частотной передаточной (амплитудно-частотной) функции этой системы.
Взаимная спектральная плотность |
|
Sux ( j ) W ( j ) Suu ( ) . |
(1.92) |
При прохождении через линейную динамическую систему меняются не только характеристики случайного процесса, но и их функции распределения. Причем установить закон распределения вероятностей выходного сигнала при известных статистических характеристиках входного возможно только для двух случаев:
1) входной нормально распределенный процесс U (t) после линейного
преобразования обеспечивает нормальное распределение выходного процесса X (t) ;
2) входной гармонический сигнал U (t) U |
m |
sin( t ) со случайной |
|
|
фазой обеспечивает гармонический выходной сигнал с измененной амплитудой
|
X |
m |
|
W ( j ) |
U |
m |
, |
(1.93) |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
— частота входного гармонического случайного сигнала; W ( j ) — |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексный коэффициент усиления системы; U m , |
X m — амплитуды вход- |
ного и выходного сигналов.
При прохождении случайных сигналов через нелинейные безинерционные звенья происходит их искажение, изменение закона и параметров распределения. Аналитическое вычисление функции плотности и параметров распределения возможно для относительно простых нелинейных характеристик. В остальных случаях используют статистическое моделирование на ЭВМ.
Пример 1.5. На вход инерционного звена с передаточной функцией
W ( p) |
K |
, |
|
||
T p |
||
|
|
|
подан белый шум с корреляционной функцией |
|
Ruu ( ) u ( ) ,
спектральной плотностью Suu ( ) u .
Найти характеристики выходного сигнала, взаимные корреляционные функции и спектральную плотность.
Весовая функция апериодического звена 1-го порядка равна
43
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
K |
e T1 |
, |
t 0 |
|
|
|||||
(t) |
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
t 0. |
|
0, |
|
|
|
Подставим исходные данные в выражение (1.89) и получим [13]
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
K ( ) |
|
e |
|
|
|
d |
K |
e |
|
|
( )d |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
xx |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
u |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
||||||
|
|
|
u |
e |
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
, |
, при 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
K |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
u |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
T |
|
|
||||
|
|
|
T |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
d , при
d , при
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
, |
при |
|
|
|
T |
|
|
||||||||||
|
|
|
u |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
, |
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимная корреляционная функция согласно (1.90) равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
K |
|
|
|
K |
|
|
|||
|
T |
|||||||||
|
T |
|||||||||
|
|
|
||||||||
K ( ) |
u |
e |
|
( )d |
u |
e |
|
. |
||
|
|
|||||||||
ux |
T |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для оценки спектральной плотности найдем частотную передаточную функцию
W ( j ) W ( p) |p j |
K |
. |
|
|
|||
j T |
|||
|
|
Умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число j T , получим
44
|
|
|
|
|
W ( j ) |
|
|
K |
|
|
|
j |
|
|
K T |
|
|
U ( ) jV ( ) . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
T |
|
T |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Здесь U ( ) ReW ( j ) |
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
— вещественная частотная характе- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ристика, V ( ) ImW ( j ) |
|
K T |
|
|
|
— мнимая частотная характеристика. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики равны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
W ( ) |
|
W ( j ) |
|
|
U ( ) V |
( ) |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) arctg |
V ( ) |
arctg T . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Спектральная плотность выходного случайного процесса согласно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1.91) равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ω) |
|
|
K 2σ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S XX |
|
|
|
|
u |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ω2T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимная спектральная плотность согласно (1.92) равна |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sux ( j ) |
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Мощность выходного сигнала равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K 2σ2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ2 |
x2 |
(t) K |
|
|
|
(0) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XX |
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Конечное значение корреляционной функции равно |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx x(t) |
2 K XX ( ) 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Результаты расчета в системе Mathcad представлены на рис. 1.17. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Весовая функция (τ) совпадает с взаимнокорреляционной функцией |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
K |
|
(τ) / σ2 |
, а K |
|
(0) σ2 |
K 2σu2 |
4.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ux |
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
u |
|
x |
2T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
|
u 2 |
|
|
T1 4 |
|
|
|
K 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K2 |
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|||||||||||||||||||
|
K ( ) |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ( ) |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
e |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
xx |
2 |
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
|
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Kxx( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kux( ) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Sxx( ) |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
K u |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
xx |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sux( ) |
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 T1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 j T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
Kxx(0) |
0.393 |
|
r d 1.571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sxx(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Sxx( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S ( |
)20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ux |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
W( ) |
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) atan ( T1) |
|
As 1 |
|
где s частота среза |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ( |
T1)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
Sxx(0) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.17. Результаты расчета примера2 1K.5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
46