IV. Теоретические сведения к выполнению контрольной работы

4.1 Справочный материал

4.1.1 События и вероятность

Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается выполнение определенного комплекса условий S, в которых наблюдается то или иное явление.

Событие – исход испытания. События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С, …

Достоверное событие () – обязательно должно произойти в результате испытания.

Невозможное событие () – не может произойти в результате испытания.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. В противном случае события называются совместными.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из них не является объективно более возможным.

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

Несколько событий образуют полную группу событий, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.

Два события А и , образующих полную группу называются противоположными событиями.

Элементарными исходами (случаями, шансами) называются исходы некоторого испытания, если они образуют полную группу и являются равновозможными.

Классическое определение вероятности события

Вероятность события А равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А к общему числу элементарных исходов:

.

Свойства вероятности события:

1) . 2). 3).

Практически невозможным называется такое событие, вероятность которого очень мала (близка к нулю).

Практически достоверным называется такое событие, вероятность которого достаточно большая (близка к единице).

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в n произведенных испытаниях:

,

где m – число испытаний, в которых появилось событие А.

n – число все возможных событий.

Геометрическое определение вероятности

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством:

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Вероятность попадания этой точки на фигуру g определяется равенством:

Суммой событий А и В называется такое событие С = А + В, которое означает наступление или А, или В, т.е. хотя бы одного из них.

Произведением событий А и В называется событие С = А  В, состоящее в совместном наступлении события А и события В.

Разностью событий А и В называется событие С = А – В, состоящее в наступлении события А и не наступлении события В.

Число размещений из n элементов по m равно:

Число перестановок из n элементов равно:

Число сочетаний из n элементов по m равно:

4.1.2 Основные теоремы

Теорема сложения вероятностей событий

Для несовместных событий:

Для произвольных событий:

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого:

Теорема умножения вероятностей событий

Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Формула полной вероятности

Если событие А может произойти только при появлении одного из событий (гипотез) Н₁, Н₂, …, H_n образующих полную группу, то

Формула Байеса

Если произошло событие А, которое может появиться только с одной из гипотез Н₁, Н₂, …, H_n образующих полную группу событий, то условные вероятности гипотез определяются по формуле: