Математические операции над случайными величинами
Две
случайные величины X
и Y
называются независимыми, если события
и 
независимы для всех значения 
и 
.
Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:
а закон распределения случайной величины Y имеет вид:
Произведением
случайной величины Х
на постоянную величину k
называется случайная величина Z,
которая принимает значения 
,
i = 1,..,n
с теми же вероятностями 
:
m-й
степенью случайной величины Х
называется случайная величина 
,
которая принимает значения 
с теми же вероятностями 
,
i = 1,..,n:
Суммой
случайных величин Х
и Y
называется случайная величина Z = X + Y,
принимающая все значения вида 
с вероятностями
.
Разностью
случайных величин Х
и Y
называется случайная величина Z = X – Y,
принимающая все значения вида 
с вероятностями
.
Произведением
случайных величин Х
и Y
называется случайная величина Z = X Y,
принимающая все значения вида 
с вероятностями
.
Если
Х
и Y
– независимы, то
.
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
Свойства математического ожидания:
еслиХ,Y– независимы.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонений от математического ожидания:
Дисперсия может быть рассчитана по формуле:
Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением) случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
Свойства дисперсии:
еслиХ,Y–
независимы.
Модой дискретной случайной величины называется возможное значение случайной величины, которое имеет наибольшую соответствующую вероятность.
Медианой дискретной случайной величины называется возможное значение случайной величины, слева и справа от которого в ряде распределения случайной величины одинаковое число значений случайной величины.
Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины
Функцией распределения случайной величины (интегральной) называют функцию, определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем х:
Свойства функции распределения
– монотонно не убывает: если
,
то
.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, может быть отдельных точек.
Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю:
Для непрерывной случайной величины справедливо равенство:
Плотностью вероятности (дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины называется производная ее функции распределения:
Для непрерывной случайной величины справедливо равенство:
Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле:
Свойства дифференциальной функции распределения:
Числовые характеристики непрерывных случайных величин:
Математическое ожидание:
Дисперсия:
