4.13 Повторные испытания
Повторные испытания – это последовательное проведение n раз одного и того же опыта или одновременное проведение n одинаковых опытов.
Последовательностью независимых испытаний (схемой Бернулли) называют повторные испытания, удовлетворяющие следующим условиям:
1)
в каждом испытании может появится только
два исхода: наступит некоторое событие
А
(успех), либо наступит его дополнение
(неудача);
2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в m-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до m-го;
3)
вероятность успеха во всех испытаниях
постоянна 
(вероятность неудачи в каждом испытании
обозначают q:
.
При
рассмотрении схемы испытаний Бернулли
основной задачей является нахождение
вероятности 
– вероятность того, что в n
независимых испытаниях событие А
наступит точно m
раз (0 ≤ m ≤ n).
Формула Бернулли:
,
где
,
,
q = 1 – p
Число
наступления события А
в n
независимых испытаниях называется
наивероятнейшим, если вероятность
осуществления этого события 
,
по крайней мере, не меньше вероятности
других событий 
при любом m:
Формула Пуассона
Если
число испытаний неограниченно
увеличивается (
),
вероятность p
наступления события А
в каждом испытании неограниченно
уменьшается (
),
но так, что их произведение np
является постоянной величиной (
– const),
то:
На практике используется приближенное равенство:
,
когда
вероятность 
успеха мала, т.е. успех является редким
событием, а количество испытаний n
– велико: 
и 
.
В
тех случаях, когда число испытаний n
– велико, а
вероятность успеха p – не
близка к нулю
(
),
для вычисления 
используют теоремы Муавра-Лапласа.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Если
вероятность p
наступления события А
в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, а число независимых
испытаний достаточно велико (
,
,
),
то имеет место приближенное равенство:
– функция Гаусса (плотность стандартного
нормального распределения).
Приближенное
равенство тем точнее, чем больше n.
На практике проверяется условие: 
Свойства функции Гаусса:
1)
– функция четная: 
;
2)
при 
,
– монотонно убывает;
3)
при 
,
(на практике считают, что при 
,
).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Если
вероятность p
наступления события А
в каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, а число независимых
испытаний достаточно велико (
,
,
),
то имеет место приближенное равенство:
где
– вероятность того, что событие А в n
независимых испытаниях наступит не
менее
раз и не более
раз;
– функция Лапласа.
Приближенное
равенство тем точнее, чем больше n.
При 
оно дает удовлетворительное приближение.
Свойства функции Лапласа
1)
– нечетная функция: 
;
2)
– монотонно возрастающая функция;
3)
(на практике можно считать, что при 
,
).
4.1.4 Случайные величины и законы их распределений
Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений.
Случайная величина называется дискретной, если ее множество значений конечное, или бесконечное, но счетное.
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые значения из некоторого промежутка.
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения для дискретной случайной величины может быть задан в виде ряда распределения случайной величины – таблицы, в первой строке которой в порядке возрастания указаны возможные значения случайной величины, а во второй строке – соответствующие вероятности.
|
Х |
|
|
… |
|
|
P |
|
|
… |
|
При
этом 
– вероятность события 
.
Коротко закон распределения дискретной
случайной величины будет записывать в
виде 
.
Все
события 
образуют полную группу событий поэтому
