6. Обработка ряда прямых, некоррелированных, неравноточных измерений одной величины.

Дано:

X – истинное, объективно существующее значение измеряемой величины;

x₁, x₂, …, x_n – ряд некоррелированных, неравноточных измерений;

р₁, р₂, …, р_n – веса этих измерений;

K_X = diag {σ₁², σ₂², …, σ_n²} – ковариационная матрица измерений, отражающая некоррелированность и неравноточность измерений;

Х – случайная величина (СВ), представляющая собой вероятностную модель измерительной технологии;

x_i X - i-ый результат измерений – элемент спектра СВ «Х»;

E(X) – МО вероятностной модели – Х;

E(X) = X – условие отсутствия постоянной ошибки;

- выражение i-ой дисперсии измерений через ДЕВ и вес i-ого измерения p_i.

Найти: 1)  ННЗ измеряемой величины;

2)  ОТ измерений в форме ОТ ДЕВ;

3)  ОТ ННЗ измеряемой величины.

Решение:

1. Нахождение ННЗ измеряемой величины.

В условиях отсутствия постоянной ошибки δ, т.е. когда X = E(X), ННЗ измеряемой величины будет служить МНК-оценка МО случайной величины «Х», являющаяся параметром «a», для которого строится оценивающая функция (ОФ): = = . Построим эту ОФ, применив метод наименьших квадратов (МНК). Функционал МНК в данном случае будет учитывать веса наблюдений:

= min. (S.1)

→ (S.2)

→ (S.3)

(S.4)

Итак, ННЗ измеряемой величины является среднее взвешенное (весовое) результатов прямых, некоррелированных, неравноточных наблюдений.

2. ОТ измерений.

Оценка точности измерений заключается в нахождении оценки стандарта единицы веса, каковой служит средняя квадратическая ошибка единицы веса:

=  . (S.5)

Эту формулу называют обобщенной формулой Бесселя.

3. ОТ ННЗ измеряемой величины.

Показателем точности среднего весового (ННЗ) является его средняя квадратическая ошибка, вывод выражения для которой так же опирается на формулы (R.6) и (Р.6):

. (S.6)

Из выражения (S.6), с учётом (Р.6) следует, что

. (S.7)

7. Дополнительные вопросы обработки рядов измерений одной величины.

   1. Доверительные интервалы.

Построим доверительные интервалы для реального значения измеряемой величины X, которое, по условию отсутствия постоянной ошибки (Т.8), совпадает с математическим ожиданием E(X), и для стандарта ряда измерений одной величины _X. Решим поставленную задачу на уровне значимости “”.

С вероятностью доверительный интервал для E(X) = X будет иметь вид:

P(x_H < X = E(X) < x_B) =  (S.8)

где

, (S.9)

а

. (S.10)

Здесь  значение среднего арифметического (Q.4) или среднего взвешенного (S.4); а  его СКО (Q.6) или (S.6) соответственно; t_n-1;α  квантиль распределения Стьюдента с (n-1)-ой степенями свободы на уровне значимости «».

С той же вероятностью «» доверительный интервал для стандарта измерений «_X», опираясь на его точечные оценки «m» (Q.5) или «» (S.5), можно построить следующим образом:

. (S.11)

Нижняя и верхняя границы этого асимметричного интервала определяются с использованием ^распределения:

* m (или ), (S.12)

* m (или ). (S.13)

2. Отбраковка грубого измерения по материалам ряда равноточных измерений одной величины.

Отбраковка грубого измерения выполняется исходя из следующих предположений:

1. грубое (экстремальное) измерение является элементом спектра альтернативной случайной величины X_A, имеющей другое математическое ожидание, но такое же значение стандарта _X;

2. экстремальное измерение является единственным в анализируемом ряду.

Учитывая указанные предположения, мы можем выдвинуть нулевую гипотезу о том, что экстремальный результат уклонился от среднего арифметического незначимо, т.е.

H₀ = {E(v_extr) = 0}. (S.14)

Альтернативная гипотеза

H_A = {E(v_extr) ≠ 0}, (S.15)

определяет абсолютное значение границы двухстороннего доверительного интервала, обуславливающее собой следующий тест:

, (S.16)

где

. (S.17)

Допустимое значение теста (S.16) – это квантиль распределения Стьюдента с (n-1)-ой степенями свободы на уровне значимости “”:

t_T = t_{n-1; 1-}. (S.18)

Нулевая гипотеза (S.14) отвергается, когда t_э > t_T, т.е. экстремальное значение x_extr признаётся выпадающим из наблюдаемой ГС и должно быть отбраковано.