5.5. Структурные средние величины

Для характеристики структуры совокупности применяют особые показатели, которые называют структурными средними. В отличии от средней арифметической, рассчитываемой на основе использования всех вариантов значений признака, структурные средние характеризуют величину признака, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся медиана и мода.

Модойназывается значение варианта, который чаще всего встречается в совокупности.

Медианойназывается варианта, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные части — со значением признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

Определим моду и медиану по несгруппированным.

Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.): 4,4; 4,3; 4,5; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6. Как видим, чаще всего встречается цена 4,3 тыс. руб. Она и будет модальной. Для определения медианы необходимо ранжирование приведенного цифрового ряда: 4,2; 4,3; 4,3; 4,3;4,4; 4,5; 4,5; 4,6; 4,6.

Центральной в этом ряду является цена4,4 тыс. руб. Следовательно, данная цена и будет медианной.

Если ранжированный ряд включает четное число вариант, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Теперь рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения). Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий (частоты)	Накопленные частоты
356	12	12
360	48	60
365	56	116
367	60	176
369	14	190
Итого	190	-

Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда – наибольшую частоту (60 предприятий) имеет цена 367 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака необходимо найти накопленные частоты. В дискретных рядах распределения медиане соответствует значение признака, для которого сумма накопленных частот впервые превышает половине объема совокупности. Для цены 365 руб. сумма накопленных частот (116предприятий) впервые превышает половине объема совокупности (95 предприятий), следовательно она и будет медианной ценой.

В интервальном вариационном ряду мода находится внутри модального интервала, который имеет наибольшую частоту и определяется по формуле:

(15)

где мода,нижняя граница модального интервала;величина модального интервала;частота модального интервала;частота интервала, предшествующего модальному;частота интервала, следующего за модальным.

В интервальном вариационном ряду медиана находится в медианном интервале, которому соответствует накопленная частота, равная половине общей суммы частот или превышающая эту сумму, и определяется по формуле:

(16)

где медиана;начальное значение интервала, содержащего медиану;величина медианного интервала;сумма частот ряда;сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;частота медианного интервала.

Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда исчисляют квартили, которые делят ряд по сумме частот на 4 равные части. Второй квантиль равен медиане, а первый и третий исчисляются аналогично расчету медианы, только для первого квантиля (Q₁) берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 суммы накопленных частот, а для третьего квантиля (Q₃) берется интервал, содержащий варианту, отсекающую 3/4 суммы накопленных частот. Формулы расчета первого и третьего квантилей будут иметь вид:

(17)

, (18)

где нижняя граница интервала, содержащего нижний квантиль;

нижняя граница интервала, содержащего верхний квантиль;

накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квантиль;

то же для верхнего квантиля;

частота интервала, содержащего нижний квантиль;

Приведем пример расчета моды, медианы и квантилей по данным табл.7.

Таблица 7 - Распределение предприятий района по сумме прибыли

Прибыль, млн. руб.	Количество предприятий, f	Накопленные частоты, S
До 50 50-100 100-150 150 – 200 200 – 250 250 - 300 Свыше 300	3 6 10 21 33 18 9	3 9 19 40 73 91 100
Итого	100	-

В нашем примере модальный и медианный интервалы совпадают.

Следовательно, в районе преобладают предприятия, получающие прибыль в размере 222 млн. руб.

Это значит, что половина всех предприятий района имеет прибыль меньше 215 млн. руб., а другая половина больше 215 млн. руб.

Расчет квантилей показывает, что 25% всех предприятий района получают прибыль до 164 млн. руб., другая четверть предприятий имеет прибыль свыше 256 млн. руб., а остальные предприятия имеют прибыль в пределах 164 - 256 млн. руб.