153544-317914

Отсчет, получаемый по счетному механизму, состоит из четырех цифр: первая берет-

ся по диску отсчетному 9, вторая и третья – по шкале счетного ролика 8, четвертая отсчиты-

вается по нониусу 10. На рисунке 2 б показан оборот, равный 2783.

а)

б)

Рисунок 2 – Полярный планиметр: а) – общий вид; б) – счетный механизм.

Начальную точку на контуре обводимой фигуры выбирают так, чтобы при установке над нею острия обводного шпиля угол между рычагами приближался к прямому: в этом случае небольшое перемещение шпиля не вызовет изменения отсчета по счетному ролику.

Значение площади Р, измеренной полярным планиметром, вычисляется по одной из формул:

– при положении полюса вне фигуры

P C (m2 m1 ) ;

(2)

– при положении полюса внутри фигуры

P C (m2 m1 q) .

(3)

В этих формулах: С – цена деления планиметра; m1 и m2 – отсчеты по счетному меха-

низму в начале и в конце обвода фигуры; q – постоянное число планиметра.

Правила работы с планиметром при обводе контура фигуры следующие: 1. План (карта) закрепляют на гладкой горизонтальной поверхности.

42

2.Устанавливают полюс планиметра вне обводимого контура, бегло обводят его и убеждаются в том, что углы между рычагами будут не менее 30 и не более 150° и обводное колесо не соскакивает с листа плана или карты.

3.Начальную точку контура для установки обводного шпиля выбирают так, чтобы в начале обвода счетное колесо вращалось медленно.

4.Ручку обводного рычага надо держать свободно, без напряжения, чтобы рычаг опирался на бумагу только своей тяжестью.

5.Обвод по контуру производят равномерно, не быстро, но и не очень медленно,

так, чтобы глаз различал надписи штрихов на вращающемся счетном колесе.

6. Если при обводе контура по ходу движения часовой стрелки второй отсчет ока-

зался меньше первого, то к нему прибавляют 10 000.

Определение цены деления планиметра

Ценой деления планиметра называется площадь, выраженная в га либо кв. км, (кв. м)

соответствующая одному делению планиметра.

Цену деления планиметра определяют, измеряя известную площадь, например, пло-

щадь квадрата координатной сетки. Тогда из формулы 2 можно записать:

С	P		.	(4)
	(m2
		m1 )

Измерение производится двумя полуприемами с двукратным обводом в полуприемах.

Полуприем составляет обвод при положении счетного механизма по одну сторону от ли-

нии: шпиль – полюс.

Устанавливают шпиль в начальной точке при положении счетного механизма справа

(слева) и делают отсчет m1 ; обводят фигуру в направлении движения часовой стрелки и в конце обвода делают отсчет m2 , производят второй обвод и получают отсчет m3 . Каждая

разность m2 m1 и m3 m2 дает площадь квадрата в делениях планиметра. Расхождение в двух определениях может быть в пределах четырех делений. При больших расхождениях обвод повторяют (продолжают) и неверный отсчет отбрасывают.

После этого счетный механизм переводят в положение слева (справа) и делают два

обвода фигуры так же, как и при предыдущем положении счетного механизма. На этом при-

ем заканчивается. По формуле (4) вычисляют цену деления планиметра, где m2 m1 – сред43

нее значение разностей отсчетов, полученных при обводе квадрата полным приемом. Цена деления планиметра вычисляется с сохранением четырех значащих цифр. Пример записей и вычислений при определении цены деления планиметра приведем в таблице 1.

Таблица 1 – Определение цены деления планиметра

Примечание: Длина обводного рычага 130,0 см Площадь квадрата Р = 100 га

	Отсчет	Разность
	m1				Среднее из	Среднее из	Цена деления
Прием		m2	– m1
	m2				разностей	полуприемов	С, га
		m3	– m2
	m3
		Счетный механизм справа
	7857	1312
	6545				1314
		1315
1	5230					1314	0,076 10
		Счетный механизм слева
	6603	1316			1315
	5287
		1314
	3973

Определение площади участка механическим способом

Площадь каждого участка измеряют двумя полуприемами. Результаты записывают в журнал по форме, приведенной в таблице 2. Значение площади вычисляют по формуле (2).

Среднюю квадратическую погрешность определения площади с помощью планимет-

ра можно определить по формуле Бесселя:

mP		[V 2	]
		i		,	(5)
		n
			1

где Vi – разности между средним значением и каждой отдельной разностью, – число обво-

дов при определении площади (число разностей).

Таблица 2 – Определение площадей контуров

		1 полуприем				2 полуприем			Среднее из	Цена	Измеренная
Участок	Отсчет	Разность		Среднее	Отсчет	Разность		Среднее	двух полу-		площадь
	m1	m2 – m1		из разно-	m1	m2 – m1		из разно-		деления,
									приемов		Р изм., га
	m2	m3 – m2		стей	m2	m3 – m2		стей		га/дел
	m3				m3
1	8797	1525			9373	1533
	0322			1524	0906			1532	1528	0,076 10	116,3
(пашня)		1524				1530
	1846				2436

44

Вычисление площади участка по координатам его вершин

Границы населенного пункта, промышленного или сельскохозяйственного предприятия,

контур территории строительства и других объектов представляет собой многоугольник (рисунок 3).

x

2 (x2,y2)

3 (x3,y3)

1 (x1,y1)

4 (x4,y4)

5 (x5,y5)

y

Рисунок 3 – Определение площади полигона по координатам его вершин

Если известны координаты его вершин (номера вершин обозначены по ходу движения часовой стрелки), то площадь замкнутого многоугольника вычисляют по формулам аналити-

ческой геометрии:

n	xi (yi 1	yi 1);	n	yi (xi 1	xi 1),
2P			2P			(6)
1			1

где i =1, 2, …, n ,

Удвоенная площадь многоугольника равна сумме произведений каждой абсциссы на разность ординат передней и задней по ходу точек, а также сумме произведений каждой ординаты на разность абсцисс задней и передней по ходу точек.

Например, для пятиугольника 1-2-3-4-5 (рисунок 3):

2P x1 (y2 y5 ) x2 (y3 y1) x3 (y4 y2 ) x4 (y5 y3 ) x5 y1 y4 ;

2P y1 (x5 x2 ) y2 (x1 x3 ) y3 (x2 x4 ) y4 (x3 x5 ) y5 x4 x1 .

Площадь вычисляют отдельно по каждой формуле с промежуточным контролем раз-

ностей ординат и абсцисс из условий

n		n
(yi 1	yi 1) 0;	(xi 1	xi 1) 0.	(7)
1		1

45

Координаты вершин многоугольника можно определить, проложив по контуру фигуры теодолитный ход, тогда площадь участка будет получена с точностью 1/500– ½ 000. Если уча-

сток огорожен, то теодолитный или полигонометрический ход прокладывают за пределами участка, а вершины многоугольника определяют полярным способом либо засечками. Наибо-

лее эффективно для определения площадей участков применение электронных тахеометров. В

случае определения координат вершин многоугольника с помощью электронной тахеометрии путем решения полярных засечек площадь участка можно вычислить по формуле:

		1		n
	P				Si Si 1 sin i	,	(8)
	2			i 1

где Si – измеренное расстояние между точками стояния и визирования, редуцированное на плоскость проекции Гаусса – Крюгера;

гi – угол при точке стояния между направлениями на точки визирования i+1 и i.

Точка стояния может располагаться как внутри участка, так и вне него.

Пример вычисления площади полигона по координатам его вершин приведен в таблице 3.

Таблица 3 – Ведомость вычисления площади полигона по координатам

Номера	Xi				(Yi 1			Yi 1)					(Yi 1 Yi 1)				Координаты, м		(Xi 1 Xi 1)	Yi (Xi 1 X i 1)
точек																	X	Y
1				-149 303											-253,83		588,20	544,30	160,53	87 374
2					-78 256										-118,28		661,62	339,90	-329,14	-111 875
3					232 849										253,83		917,34	426,02	-160,53	-68 387
4					97 243										118,28		822,14	593,73	329,14	195 420
Сумма					102 533										0,00				0,00	102 533
		1			n											2
Площадь: P						X	i	(Y		1	Y			) = 51 266 м = 5,1 га
		2
									i			i 1
					i 1
	P	1			n	Y (X					X				) = 51 266 м2 = 5,1 га
		2
						i			i 1				i 1

i 1

Лабораторная работа № 5 выполняется самостоятельно в процессе выполнения

расчетно-графической работы.

Контрольные вопросы

1.Перечислите способы вычисления площадей на планах и картах.

2.Изложите порядок определения площадей аналитическим способом.

46

3.Изложите порядок определения площадей графическим способом.

4.В каком случае применяют аналитический способ определения площадей?

5.Назовите основные части полярного планиметра.

6.Произведите отсчет по счетному механизму планиметра.

7.Что такое цена деления планиметра и как она определяется?

8.Какова точность определения площадей различными способами?

9.Что такое палетка?

10.Как проконтролировать вычисления при определении площади аналитическим способом?

ТЕМА «ЭЛЕМЕНТЫ ОБРАБОТКИ И ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6

Цель работы: закрепить знания теоретического материала, усвоить методику обра-

ботки и оценки точности результатов измерений, овладеть приемами оценки точности функ-

ций измеренных величин.

Погрешности и их виды

При измерении определяемую величину сравнивают с другой величиной, принятой за единицу измерений. Полученный результат измерения l несколько отличается от истинного значения определяемой величины Х. Разность между ними X l называют истинной погрешностью измерения.

Погрешности измерений различают по двум признакам: характеру действия и источ-

нику происхождения.

По характеру действия погрешности бывают: грубые, случайные, систематические.

По источнику происхождения различают погрешности приборов, внешние и личные.

К грубым погрешностям относятся просчеты и промахи исполнителя во время наблю-

дения или вычисления, а также неисправности прибора. Грубые погрешности должны быть полностью исключены.

Систематические погрешности происходят от известного источника, имеют опреде-

ленный знак и величину, и их можно учесть при измерениях или вычислениях. Источниками систематических погрешностей являются неисправности в применяемых инструментах, их неточная установка при измерениях, личные физиологические особенности наблюдателя, 47

влияние внешних факторов и т.д. Влияние систематических погрешностей на результат из-

мерений сводится к минимуму путем тщательной поверки измерительных инструментов,

введения поправки к результату измерения или применением соответствующей методики измерений.

Случайные погрешности имеют место при каждом измерении. Эти погрешности обу-

словлены точностью прибора, квалификацией наблюдателя, влиянием внешней среды, и

полностью исключить их из результатов измерений нельзя. Размер и характер влияния слу-

чайных погрешностей на каждый отдельный результат измерения остается неизвестным. Ве-

личину и знак случайных погрешностей установить нельзя. Закономерность таких погреш-

ностей проявляется лишь при большом числе измерений, и их изучение дает возможность получить наиболее надежный результат из совокупности измерений и оценить его точность.

Случайные погрешности характеризуются следующими свойствами:

1.При определенных условиях измерений случайные погрешности по абсолют-

ной величине не могут превышать известного предела, называемого предельной погрешно-

стью. В строительных нормах предельная погрешность называется предельным отклонени-

ем. Это свойство позволяет обнаруживать и исключать из результатов измерений грубые по-

грешности.

2.Положительные и отрицательные случайные погрешности примерно одинако-

во часто встречаются в ряду измерений, что помогает выявлению систематических погреш-

ностей.

3.Чем больше абсолютная величина погрешности, тем реже она встречается в ряду измерений.

4.Среднее арифметическое из случайных погрешностей измерений одной и той же величины, выполненных при одинаковых условиях, при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Это свойство, называемое свойством компенсации, можно ма-

	тематически	записать так: lim / n 0 ,		где – Гауссов знак суммы, т.е.
		n
	1 2	... n ; n – число измерений.
	Согласно четвертому свойству случайных погрешностей при бесконечно большом
	числе измерений арифметическая середина		l	L будет равна X – истинному значению из-
			n

меряемой величины. Поэтому при конечном числе измерений величина L будет вероятней-

шим значением определяемой величины.

Для оценки точности результатов измерений используют следующие критерии:

48

1. Средняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по формуле Гаусса

m	[Д2 ]	,	(1)
	n

где [Д2 ] Д21 Д22 .... Д2n .

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное значение измеряемой величины. Это случается редко. Из измерений можно получить результат, наиболее близкий к истинному значению – арифметическую середину. Для этого случая средняя квадратиче-

ская погрешность одного измерения подсчитывается по формуле Бесселя:

m	[ 2	]	,	(2)
	n
		1

где – отклонения отдельных значений измеренной величины от арифметической середи-

ны, называемые вероятнейшими погрешностями, причем = 0.

Точность арифметической середины будет выше точности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность определяется по формуле:

M	m		,	(3)
		n

где m – средняя квадратическая погрешность одного измерения, вычисляемая по формулам

(1) или (2).

Часто в практике для контроля и повышения точности определяемую величину изме-

ряют дважды (например, длину линии – в прямом и обратном направлении). Из двух значе-

ний за окончательное принимают среднее из них. В этом случае средняя квадратическая по-

грешность одного измерения

m		[d			2 ]
						,			(4)
			2n
а среднего результата из двух измерений
1				[d 2 ]
M							,		(5)
2					n

где d – разность двукратно измеренных величин; n – число разностей (двойных измерений).

2. Предельная погрешность пред определяется для теоретических расчетов допусков

по формуле:

пред 3 m.	(6)
49

На практике, учитывая ограниченное число измерений и для повышения требований точности измерений, принимают

пред 2 m.

(7)

3. Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности к значению самой измеренной величины. Относительную погрешность выражают в виде простой дроби,

числитель которой – единица, а знаменатель – число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями.

Пример 1. Средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной d= 110 м

равна md = 2 см. Определить относительную погрешность и предельную абсолютную и отно-

сительную погрешности.

Относительная погрешность равна	md			2		1	.
			11000
	d				5500

Предельная абсолютная погрешность: пред 3 m ; пред 3 2 6 cм.

	пред	6			1
Предельная относительная погрешность:						.

d 11000 1800

Оценка точности результатов равноточных измерений

Точность результатов многократных равноточных измерений одной и той же величи-

ны оцениваются в такой последовательности.

1. Находят вероятнейшее значение измеренной величины по формуле арифметиче-

ской середины х l .

	n
2.	Вычисляют отклонения i li x каждого значения измеренной величины
l1 ,l2 ,...,ln от значения арифметической середины. Контроль вычислений: = 0.
3.	По формуле Бесселя (2) вычисляют среднюю квадратическую погрешность от-
дельного измерения.
4.	По формуле (3) вычисляют среднюю квадратическую погрешность арифметиче-
ской середины.
5.	Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю
квадратическую погрешность каждого измерения и арифметической середины.
6.	При необходимости подсчитывают предельную погрешность одного измерения,

которая может служить допустимым значением погрешности аналогичных измерений.

50

Пример 2. При контроле точности изготовления стеновой панели ее длина измере-

на шесть раз. Требуется определить вероятнейшее значение длины и оценить точность вы-

полненных измерений. Результаты измерений и вычислений записывают по форме, приве-

денной в таблице 1.

Таблица 1 – Результаты измерений и вычислений

	Номер	l, мм	δ, мм	2 , мм2			Вычисления
	измерения
	1	3206	0	0	ml												2,6 мм
	2	3210	+4	16							34 /(6 1)
	3	3205	-1	1
						M 2,6 /
													6 1,1 мм
	4	3203	-3	9
						ml			1						M			1
	5	3208	+2	4								;
	6	3204	-2	4		l			1200						l			2900
	Сумма	19236	0	34		пред			7,8 мм
	Среднее	3206	–	–

Погрешности функций измеренных величин

В практике геодезических работ часто возникает необходимость найти среднюю квадратическую погрешность функции, если известны средние квадратические погрешности ее аргументов и наоборот.

Если известна функция общего вида F f (x, y, z,...u) , где x, y, z,...,u – независимые аргументы, полученные из наблюдений или проектного расчета со средними квадратически-

ми погрешностями mx , my , mz ,...,mu , соответственно, и функция имеет конечные частные производные f / x, f / y,..... f / u , то средняя квадратическая погрешность функции не-

зависимых аргументов равна корню квадратному из суммы квадратов произведений част-

ных производных функций по каждому из аргументов на средние квадратические погреш-

ности соответствующих аргументов, т.е.

F

2

F

2

m

m2

m2

F

x

y

y

x

Если функция имеет вид

	F 2		2			F 2		2
			mz	...				mu .	(8)
	z					u

n
y x1 x2 ... xn xi ,	(9)

i 1

то

51