- •Структура систем управления.
- •Управляемость динамических систем.
- •Наблюдаемость динамических систем. Соотношение двойственности.
- •Оценка вектора состояния линейной динамической системы. Наблюдатель Люенбергера.
- •Теорема Куна-Таккера, следствие из нее.
- •Теорема о числе переключений.
- •Условия трансверсальности.
- •Принцип максимума для задач управления стационарными системами с интегральным критерием качества.
- •Вывод условий принципа максимума для нестационарных задач управления с интегральным критерием качества.
- •Терминальные задачи управления.
-
Структура систем управления.
Задача систем управления заключается в том, чтобы обеспечить заданные параметры развития тех или иных процессов.
Современные системы управления заключают в себя следующие компоненты:
(t) (t)
Процесс (ОУ)
Измерительная система
Управляющее устройство
u(t) x(t)
yизм(t)
Внешняя СУ
Блок формирования эталонного процесса
Информационный блок
u(t) – функция управления
(t) – функция возмущения (возмущение)
x(t) – состояние процесса
yизм – функция измерения системы
(t) – функция шумов
Измерительная система – система датчиков, измеряющая параметры системы.
Управляющее устройство – система типа вход-выход, где формируются законы управления.
x*,u* - эталонный процесс (пара функций, определяющих динамику изменения состояния и управления процессом )
Для работы блока формирования эталонного процесса необходима информация о действительном протекании физического процесса, т.е. функции u(t) и yизм- для информационного блока.
– система идентификации и оценки параметров процесса.
– оценка состояния данного процесса
p – оценка параметров системы
Существует также внешняя СУ, ее назначение – формирование внешних команд.
Если система не содержит внешнего управления, она наз. Автономной или самодостаточной.
-
Управляемость динамических систем.
Управляемость динамических систем является их важнейшей характеристикой и определяет условия, при которых задача управления имеет решение, то есть существует одна или несколько функций входа, называемых управлениями, под действием которых динамическая система может перейти в любое наперед заданное состояние.
Будем говорить, что динамическая система управляема относительно начального состояния если существует управление из класса кусочно-непрерывных функций, которое переводит систему из начального состояния в за конечное время
Если динамическая система управляема относительно любого начального состояния, то данная система полностью управляема.
Математические условия управляемости линейных динамических систем с постоянными параметрами.
Предположим, что начальное состояние удовлетворяет условию: , некоторый n-мерный вектор. Задано конечное состояние и управление, под действием которого система переходит в это состояние.
Исходная система и сопряженная система , где примем .
Определим производную от скалярного произведения векторов состояния исходной и сопряженной систем.
Так как , то 1 и 3 сокращаются.
Проинтегрируем это уравнение на интервале : (1), - вектор состояния сопряженной системы. - через матрицу сопряженной системы.
и ее n-1 производная:
Данную систему можно записать в матрицу вида : (2) , G –матрица n x nm, G=[B:AB:…:An-1 B]. - вектор 1x mn. Матрицу G часто называют матрицей управляемости.
Для управляемости системы необходимо и достаточно, чтобы ранг G был равен порядку системы. rang G=n
Док-во необходимости: - управление, под действием которого система переходит из начального состояния в состояние , предположим, что rang G<n.
Согласно условию (1) явл. однозначн. функцией, отличной от 0 для , поэтому если rang G<n, матричное уравнение (2) будет иметь ненулевое решение относительно , . А если , - противоречит условию 1 для управляемости исх. системы необходимо rang G=n.
Пусть rang G=n, тогда матричное уравнение 2 будет иметь ненулевое решение, если на интервале управления , это означает (3), тогда решение , u(t) – искомое управление, которое переводит систему из состояния в . -неизвестная константа, которая определяется следующим образом: ,
Для линейной системы с одним входом матрица управляемости является квадратной матрицей размера n x n и в этом случае система будет полостью управляема, если матрица управляемости не вырождена, т.е. определитель матрицы G отличен от 0.
Свойство управляемости имеет важное значение, поскольку решение задачи синтеза оптимального управления существует только если система управляема.
Нестационарные линейные системы.
Линейная нестационарная система управляема относительно начального момента , если существует момент времени такой, что матрица является невырожденной, т.е. определитель матрицы S отличен от нуля.
, Нестационарная система полностью управляема относительно , если определитель матрицы S отличен от нуля для (справедливость этого доказывается по соотношению 3).
Поскольку ( - вектор сопряженной системы через переходную матрицу), то из условия (3) следует, что линейная нестационарная система управляема, если соотношение . Поскольку отлично от нуля, то это означает, что определитель матрицы S должен быть отличен от нуля.