2.3. Изоморфизм графов.
Один и тот же граф геометрически можно изобразить различными способами. Так на рис. 2.7 приведены три изображения одного и того же графа. Такие графы называются изоморфными.
1
1 2
2
1 4 3 4
4 3
2 3
Рис.2.7 - Пример изоморфных графов
Произвольный граф G имеет как минимум один автоморфизм - тождественное преобразование VG VG, при котором e(v) = v для произвольной вершины v. Очевидно, что если - автоморфизм графа G, то й обратная подстановка -1 также является автоморфизмом. Если подстановки і обе суть автоморфизмы, те и их произведение - автоморфизм.
2.4. Отношение порядка и отношение эквивалентности на графе.
Из указанных выше свойств очевидно, что граф даёт удобное геометрическое представление отношений на множестве, поэтому теория графов и теория отношений на множестве взаимно дополняют друг друга.
Будем считать, что на графе G=(X,Г) введено отношение порядка, если для любых 2-х вершин (х и у), удовлетворяющих условию ху, путь из х в у. В этом случае говорят, что вершина х предшествует вершине у или что вершина у следует за вершиной х.
Покажем, что данное определение отражает на графе все свойства отношения порядка
Рефлексивность: Условие хх истинно означает эквивалентность вершины самой себе, т.е. условие хх. Однако при желании это условие можно рассматривать как наличие пути из х в х, т.е. как петлю в вершине х (рис. 2.8 а).
Транзитивность: Условие ху, уz хz означает, что вершины x,y,z последовательно встречаются на одном и том же пути (рис. 2.8).
Рис.2.8 - Транзитивность на графах
Антисиметричность: Покажем справедливость условия ху, ух ху. Левая часть этого выражения говорит о том, что существует путь из х в у, а так же существует путь из у в х. Но это означает, что в графе имеется контур, на котором лежат вершины х, у (рис. в).
Из правой части условия вытекает, что вершины, лежащие на одном и том же контуре, являются эквивалентными. Будем рассматривать этот вывод как определение эквивалентности на графе и покажем, что такое определение удовлетворяет всем трём условиям отношения эквивалентности. Условия рефлексивности хх и симметрии хуух являются очевидными и вытекают из данного выше определения эквивалентности. Условие транзитивности хy, yzxz также является очевидным, так как говорит о том, что если в графе имеется контур с вершинами X и Y, а также контур с вершинами у и z , то имеется и контур, на котором лежат вершины х и z (рис. в).
Таким образом, отношение порядка совместно с отношением эквивалентности определяет некоторый граф.
На графе может быть также введено отношение строгого порядка. В этом случае для любых двух вершин (X и Y), удовлетворяющих условно XY, существует путь, идущий из X в Y. Условие транзитивности XYZXZ означает, как и в предыдущем случае, что вершины X, Y и Z встречаются последовательно на одном и том же пути. Условие антирефлексивности (XX ложно) говорит об отсутствии петель на графе, а условие несимметричности (XY, уõ взаимоисключается ) говорит об контуров.
Таким образом, отношение строгого порядка определяет граф без контуров.
Сведем все данные по отношениям порядка в таблицу 2.1.
Таблица 2.1 - Определение различных видов порядка
Порядки |
Отношение | |||||
Антисимметричное |
Транзитивное |
Рефлексивное |
Антирефлексивное |
Полное |
Неполное | |
Строгий |
+ |
+ |
|
+ |
|
|
Нестрогий |
+ |
+ |
+ |
|
|
|
Полный |
+ |
+ |
|
|
+ |
|
Неполный |
+ |
+ |
|
|
|
+ |