1.2. Операции с множествами

Равенство множеств. Множества А и В равны тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А является элементом множества В, и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А, т. е.

А  В и В  А

Объединение множеств. Объединением или суммой двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из данных множеств.

Выполняются законы:

S 1)Ассоциативный.

(АВ)С=А(ВС)=АВС.

А В 2) Коммутативный.

АВ=ВА; АА=А;

А=А;

АS=S; АВ=А если В  А.

Пересечение множеств. Пересечением или произведением двух множеств называется множество, состоящие, из всех тех элементов, которые принадлежат обеим множествам.

S Справедлив коммутативный и

ассоциативный закон в частности:

А А(ВС)=(АВ)(АС).

В

Два множества А и В являются взаимоисключающими, или несовместимыми, если АВ=.

Дополнение множеств. Дополнение множества А называется множество, в котором содержатся все элементы пространства S^’, кроме принадлежащих множеству А. Оно обозначается через А.

Справедливыми будут следующие

выражения

=

А А =S; S=; (A)=A; AA=S;

AA=;

AB при ВА;

A=B если А=В.

Кроме того, справедливы законы де Моргана:

(АВ)=А В; (АВ)=А В.

Разность множеств. Разность А-В множеств А и В есть множество, состоящие из элементов множества А, не принадлежащих множеству В.

A - B=A \ B=A B=A - (AB).

A S (читаем “A без B”)

А-В

В

В-А

Из последней диаграммы выведены следующие соотношения:

А -  = А, А - S = , S - A =A.

Выражения, где присутствует разность, необходимо записывать со скобками.

Описанные выше операции со множествами проиллюстрируем примером. Предположим, что элементами пространства S – натуральные числа от 1 до 6. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} и определим следующие подмножества:

А={2, 4, 6}; B={1, 2, 3, 4}; C={1, 3, 5}.

Учитывая приведенные соотношения можно записать:

(АВ)={1, 2, 3, 4, 6}, (BC)={1, 2, 3, 4, 5}

(ABC)={1, 2, 3, 4, 5, 6}=S=AC,

AB={2, 4}, BC={1, 3}, AC=,

ABC=,A={1, 3, 5}=C, B={5, 6},

C={2, 4, 6}=A, A-B={6}, B-A={1, 3},

A-C={2, 4, 6}=A, C-A={1, 2, 5}=C,

B-C={2, 4}, C-B={5}.