Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте признак (прямой и обратный) возрастания функции.

2. Сформулируйте признак (прямой и обратный) убывания функции.

3. Как связаны монотонность функции и угол наклона касательной к графику этой функции?

4. Какие точки называются критическими для функции?

5. Сформулируйте правило исследования функции на монотонность.

Упражнения

Исследовать функции на монотонность:

1. 2.

1. 3. 4.

2. 5. ; 6.

6. Урок № 13

7. Тема урока: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ ПО ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.

1. Определение точек экстремума.

8. Рассмотрим график функции , изображённый на рисунке.

9. Рис.1

10. В точках функция переходит от возрастания к убыванию и в этих точках функцияпринимает наибольшие значения по сравнению с рядом лежащими точками.

11. В точках функция переходит от убывания к возрастанию и в этих точках функцияпринимает наименьшие значения по сравнению с рядом лежащими точками.

12. Вот такие точки функции и называются точками максимума и минимума.

13. Определение 1. Точка называетсяточкой максимума функции , если для всехвзятых из некоторой окрестности точки, выполняется условие

14. Определение 2. Точка называетсяточкой минимума функции , если для всехвзятых из некоторой окрестности точки, выполняется условие

15. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумом и минимумом функции.

16. Максимум и минимум функции объединяют названием экстремумы функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума (или экстремальными точками).Рис. 2

17. Надо отметить, что максимум функции не всегда является наибольшим значением во всей области определения функции, он является наибольшим лишь по сравнению со значениями функции, взятыми в некоторой окрестности этой точки.

2. Признаки существования точек экстремума.

19. В точках экстремума функция должна переходить от возрастания к убыванию или от убывания к возрастанию. А это значит, что производная при переходе через эту точку должна поменять свой знак. Это возможно только при переходе производной через ноль или через точку, в которой производная не существует.

20. Вывод: если илине существует, то функция в точкеможет иметь экстремум.

21. Это условие, являясь необходимым, не является достаточным. Например, для функции

22. точка не является точкой экстремума, хотя производнаяв этой точке

23. Почему? Потому что производная при переходе через эту точку должна поменять свой знак, а у нас функция остаётся возрастающей.

24. 

25. Рис. 3

26. Итак, получаем теорему, в которой сформулированы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума.

27. Теорема 5. Чтобы точка , была точкой экстремума функции, необходимо и достаточно, чтобы

28. а) илине существовала,

29. б) при переходе через точку производнаядолжна менять свой знак.

30. Эта теорема даёт правило нахождения точек экстремума.

3. Правило исследования функции на экстремум.

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки функции, т.е. значения аргумента , при которых производнаяилине существует.

3. Определить знак производной , в окрестности критических точек