Лабораторные работы 5 симестр / Распределительные системы / UMP_FVP_1

			1 i k
k	i				ik	2	.	(1.21)
			2	1

Подставляя (1.21) в exp( ikx i t ), видим, что электромагнитное поле по мере проникновения в глубь металла убывает по закону exp( k2 x ), т. е. поле проникает лишь в поверхностный слой металла.

Это явление называется скин–эффектом [12], причем скиновая глубина проникновения определяется как

k	1		2	.	(1.22)
	2

Для характеристики свойств металла в высокочастотном поле вводится поверхностное сопротивление Z – импеданс. Он определяется как отношение электрического поля на поверхности металла к плотности тока, проинтегрированной по толщине металла [11]:

	Z	E y 0	.	(1.23)
		J y x dx
		0
	Импеданс Z – величина комплексная			и записывается в виде

R iX , где R – активная часть, а X – реактивная часть. Величины R и X могут быть определены по изменению амплитуды и фазы волны, отраженной от металлической поверхности. Активная часть Z определяет потери энергии электромагнитной волны при отражении и может быть найдена по выделению тепла в металле при помещении его в высокочастотное поле.

Соотношение (1.23) может быть преобразовано к другому виду. Из уравнения (1.20) находим

Z R iX =	E y 0					E y 0		(1.24)
							.
	H z					H z 0
	0
	11

Из (1.19) теперь получаем

Z k .

В случае j E , подставляя (1.21) в (1.25), имеем

Z			1 i .
	i		2

Таким образом

X . 2

1.3Граница раздела сред. Граничные условия

(1.25)

(1.26)

(1.27)

Уравнения Максвелла, являющиеся дифференциальными уравнениями в частных производных, допускают множество решений. Поэтому, чтобы электромагнитное поле в каждом конкретном случае определялось однозначно, оно должно удовлетворять не только этим уравнениям, но и некоторым дополнительным условиям. К числу таких условий относятся граничные условия на гладкой поверхности раздела сред [34, 39, 43, 52]

	n (H1	H2 ) jпов;	(1.28)
	n (D1 D2 ) ;
	n (E1	E2 ) 0;	(1.29)
	n (B1 B2 ) 0,

которые получаются из уравнений Максвелла. Индексами 1 и 2 обозначены величины в средах 1 и 2; jпов и - поверхностные плотно-

12

сти тока и электрического заряда; n – орт нормали к поверхности раздела, направленный в область 1 среды.

Граничные условия (1.28) при отсутствии вблизи поверхности раздела поверхностного тока выражают классическую непрерывность тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей при переходе через границу раздела, а условия (1.29) при отсутствии вблизи поверхности раздела поверхностного заряда – непрерывность нормальных составляющих электрической и магнитной индукций. При наличии вблизи границы раздела поверхностных тока и заряда тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля и нормальная составляющая электрической индукции при переходе через границу раздела в направлении нормали терпят скачки, равные поверхностной плотности соответственно тока jпов и заряда [43].

Если в электродинамических задачах можно ограничиться определением поля только по одну сторону от поверхности раздела сред, то вместо точных граничных условий (1.28), (1.29) применяют приближенные граничные условия импедансного типа. Наиболее известным из них является граничное условие Леонтовича, дающее связь между тангенциальными составляющими напряженностей электрического и магнитного полей на поверхности раздела проводящей среды с постоянными электромагнитными параметрами и диэлектриком [34, 39, 43, 52]

E z(H n).

(1.30)

При этом орт нормали к границе раздела сред n направлен в сторону проводящей среды, характеризуемой поверхностным импедансом Z . Для однородного изотропного полупространства с электромагнитными параметрами и , нормально к поверхности раз-

дела которого с диэлектриком падает плоская однородная волна, поверхностный импеданс определяется как z i . Эта зависи-

мость применяется в качестве поверхностного импеданса при условии, что глубина проникновения однородной плоской волны в проводящую среду мала.

13

Если электромагнитная волна, движущаяся в среде 1 с параметрами 1, 1, 1, встретит на своем пути поверхность среды 2 с пара-

метрами 2 , 2 , 2 , то падающая волна ( Eпад , Hпад ) частично проникает ( Eпр , H пр ) в другую среду, а частично отражается

( Eотр , Hотр ).

Связь, между этими составляющими найдем исходя из вышеприведенных граничных условий:1

Etпад Etотр Etпр ;

(1.31)

Htпад H tотр Htпр .

Волновое сопротивление среды определяем, как отношение касательных составляющих электрического и магнитного полей (комплексные величины)

Etпад Htпад Z1 и Etпр

Htпр Z2 .

(1.32)

Тогда коэффициент отражения определяется как

(Z2 Z1) (Z2 Z1) ,

(1.33)

а коэффициент прохождения

2Z1 (Z2 Z1) .

(1.34)

Волновое сопротивление проводящих сред много меньше волнового сопротивления диэлектриков. Касательная составляющая результирующей напряженности электрического поля на поверхности проводника имеет очень малое значение. При этом, как ―близкое‖ индукционное поле, так и ―дальнее‖ поле излучения подчиняются одним

1 Естественно, при условии, что jпов , =0

14

и тем же правилам отражения, и после проникновения в металл ведут себя одинаково, т. е. имеют характер бегущей затухающей волны.

Рассмотрим падение ЭМВ на границу раздела двух сред под углом. В этом случае вектор E располагается параллельно поверхности, а вектор H раскладывается на нормальные и тангенциальные составляющие. ЭМВ будет двигаться вдоль проводящей поверхности и распространятся независимо от угла падения. В любой точке пространства и в любое время электромагнитная энергия может быть направлена по желаемому пути согласно уравнению [43]

			sr
		i t
	E Eme			,	(1.35)
	где s sx , s y , sz - характеризует направление волны, r				- радиус век-

тор, определяющий расстояние от границы раздела. Тогда граничные условия запишутся в виде

				s r								s r							s r
i		t		1					i	t			3				i	t	2
	1			1					3			3				2			2
Em e							Em e									Em e				. (1.36)
1								3								2
Граничное условие выполняется если амплитуды
				Em				Em	Em			2	,							(1.37)
							1	3
а фазы
				1			2 3 .													(1.38)
Тогда
	s1 sin 1							s2 sin 2			s3 sin 3						.			(1.39)
			1					2						3

Отсюда

15

	sin 1		1		c		c		.	(1.40)
	sin 2		2		2 f2 k2		2 f	2

Для проводящих сред, в которых необходимо знать распределение электромагнитного поля вдоль некоторого выделенного направления, уравнения Максвелла обычно преобразуют к независимым уравнениям для нормальной и тангенциальной составляющих векторов поля [43-46]. Это приводит к упрощению и сокращению вычислений благодаря замене дифференциальных уравнений относительно проекций векторов поля векторным уравнением для тангенциальной составляющей, а также использованию для решения этого уравнения методов векторного и тензорного исчисления [43-45, 48]. Раскладывая в уравнениях Максвелла относительно комплексных векторных амплитуд поля, напряженности магнитного и электрического полей, плотность стороннего тока j и оператор Гамильтона на тангенциальную и нормальную составляющие, получают следующее представление в нормально-тангенциальной форме уравнений Максвелла в изотропной среде [43, 45]:

H n( En jn );E i nHn;

H Hn (E n) j n;n

E En i (H n);n

		( Hn ) ( H );
n
	( E )			( E		)		j	jn .
n		n							n

(1.41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

(1.45)

(1.46)

Умножив уравнения (1.41), (1.42) скалярно на орт нормали n и произведя перестановку векторов E , H , n и оператора , можно получить соотношения

16

	Hn	1	(E n);
		i
			(1.47)

En 1 [ (H n) jn ],

выражающие нормальные составляющие напряженностей магнитного и электрического полей через тангенциальные составляющие напряженностей этих полей. Если выражения (1.47) подставим в уравнения (1.43), (1.44), то получим систему дифференциальных уравнений первого порядка [43-45, 48] или одно уравнение второго порядка [43] относительно тангенциальных составляющих полей. Раскладывая в этих уравнениях векторы напряженности полей, можно получить уравнения второго порядка относительно тангенциальной и нормальной составляющих полей [43, 45], а также условия изменения тока в направ-

лении нормали через слой. Отношения	H n B		и En	( E	n	) при
	n	n	n

переходе в направлении нормали через плоскость раздела разнородных сред остаются непрерывными. Их удобно охарактеризовать одним скалярным параметром, т. е. представить в виде [43, 45]

	H n	Bn	i	,
	n		z1		(1.48)
	En
		( En ) z2 .
	n

Входящие в уравнения (1.48) скалярные импедансы z1 и z2 за-

висят от электромагнитных параметров материальной среды и типа распространяющейся в ней электромагнитной волны.

Производные по нормали от нормальных составляющих напряженностей магнитного и электрического полей связаны с тангенциальными составляющими напряженностей этих полей соотношениями

17

	Hn	,
	H
	n	(1.49)
	En E .
	n
	Сравнивая (1.48) с (1.49) и, подставив величины Bn и En ,

определяемые зависимостями (1.47), получим определение скалярных параметров z1 и z2 [43, 45]

Hnn

Enn

	Bn		i H			i	,
		(E n)				z1
	( En )		E		z2 .
			(H n)

(1.50)

(1.51)

Используя эти соотношения и систему дифференциальных уравнений относительно тангенциальных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей [45], получаем полную систему импедансных граничных условий

H	(E n)					1			z1 H ,
n						i
E	i (H n)						1			1	E ,
n										z2
H n		i	B	n	,
n		z1

En z2 En .n

(1.52)

(1.53)

(1.54)

(1.55)

В большинстве случаев, когда не удается найти точные решения, используют усредненные граничные условия при строгой постановке задачи. Впервые этот метод был применен Конторовичем и Черепановым для исследования электромагнитных волн в волноводе с анизотропным заполнением [40]. Метод основан на интегральной

18

форме уравнений Максвелла [34, 39]. Для описания тонких плоских слоев этот метод позволяет найти точное решение, а для слоев сложных сред метод является приближенным. На основе этого подхода было получено большое число точных и приближенных граничных условий, которые были использованы при решении различных задач электродинамики. Сюда можно отнести нахождение точного решения для преобразованных по Фурье касательных к поверхности составляющих электромагнитного поля [6, 41], вывод приближенных граничных условий для полубесконечного пространства [59], а также для тонких слоев различных материалов, таких как анизотропные [41], биизотропные [57], бианизотропные, ферритовые и киральные слои [58, 59]. В последнее время метод усреднения в строгой постановке успешно использовался и для исследования многослойных диэлектрических структур на металлической поверхности [7, 59].

1.4Электромагнитные волны в тонких слоях

В настоящее время в научных целях широко используются материалы с управляемым коэффициентом отражения. Большой интерес из них представляют собой тонкие (по сравнению с длинами волн внутри исследуемых образцов) высокопроводящие структуры [1-5, 12, 13, 17-28, 30, 32, 38, 50, 52, 53, 55, 60]. Наиболее последовательный прямой метод расчета состоит в независимом решении волновых уравнений в каждой среде по отдельности с последующим сшиванием полученных решений на границах раздела сред [26, 27]. Однако ввиду крайней громоздкости подобных вычислений (особенно для многослойных структур) были разработаны и более простые методы. Анализ отражения электромагнитных волн, необходимый при выборе или создании поверхности, может проводиться, например, на основе нахождения импеданса, отражающего электромагнитные свойства среды [11, 43], а также другими классическими методами [33, 38, 45].

К значительно более простым вычислениям по сравнению с классическими методами ведет метод усреднения, впервые примененный для расчета волновода с ферритовым заполнением [40], где зависимость поля волны от координаты нормальной слою предполагается линейной. В дальнейшем этот метод получил широкое развитие для различных слоев [6, 26, 27, 59], а в обзоре [59] был дан подробный

19

анализ применимости метода усреднения к различным ситуациям и сравнение его с точным решением.

В данной главе, используя метод усреднения, получены граничные условия для тонкого металлического слоя в свободном пространстве и лежащего на диэлектрической подложке, а также описано поведение коэффициента отражения на основе полученных граничных условий в зависимости от толщины слоя, угла падения волны, частоты электромагнитного излучения, толщины диэлектрической подложки

[1, 2, 12, 13, 20-27].

1.4.1. Граничные условия

Метод усреднения. Обобщенные импедансные граничные условия для тонкого проводящего слоя

Рассмотрим плоский проводящий изотропный слой, толщиной d, характеризующийся материальными параметрами магнитной проницаемостью и удельной проводимостью (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Структура поля вблизи металлического слоя, толщиной d.

Уравнения Максвелла в этом случае имеют вид:

E i H;

(1.56)

H E.

20