Лабораторные работы 5 симестр / Распределительные системы / UMP_FVP_1

РАЗДЕЛ 2

ВОЛНОВОДЫ

51

2.1 Классификация электромагнитных волн

В волноводах электромагнитные волны классифицируются в зависимости от наличия или отсутствия в них продольных составляющих электрического либо магнитного векторов. При этом под продольным направлением подразумевается направление распространения волны.

Как правило, рассматривают три случая [29, 31]:

1.Оба вектора, электрический и магнитный, перпендикулярны оси распространения и, следовательно, не имеют продольных составляющих. Такие волны носят название поперечных электромагнитных волн или волн типа TEM. Такой волной является, например, плоская волна в неограниченном пространстве или плоская волна, распространяющаяся параллельно границе раздела и обладающая параллельной поляризацией.

2.Электрический вектор имеет отличную от нуля продольную со-

ставляющую Ez , в то время как магнитное поле волны поперечно, т.е. H z 0 . Это означает, что электрическое поле расположено как в продольном, так и в поперечном направлении, а магнитное поле – только в поперечной плоскости. Такие волны называются волнами типа E или TM-волнами. Примером волны E может служить результирующий волновой процесс, возникающий при падении на металлическую плоскость плоской волны с параллельной поляризацией.

3.Магнитный вектор имеет отличную от нуля продольную составляющую H z , а электрическое поле волны поперечно ( Ez 0 ). То есть магнитное поле расположено как в продольном, так и в поперечном направлении, а электрическое поле – только в поперечной плоскости. Такие волны называются волнами типа H или TE-волнами. Примером волны H может служить падение плос-

кой волны с перпендикулярной поляризацией на проводящую плоскость.

Приведенная классификация является неполной, так как сюда не вошли волны, которые одновременно обладают обеими продольными составляющими Ez и H z . Однако подобные волны, носящие назва-

ние смешанных волн, не могут существовать в наиболее важных для практики волноводных системах.

52

2.2Прямоугольный металлический волновод

2.2.1.Общие характеристики волноводов. Постановка задачи

Волновод представляет собой металлическую трубку прямоугольного или круглого сечения, внутри которой распространяется электромагнитная волна [29, 35, 36, 42, 47, 51, 56]. Стенки волновода являются экраном, следовательно, волновод не обладает антенным эффектом. Потери энергии меньше, чем в коаксиальных линиях, так как в волноводах отсутствует внутренний провод, и нет изоляции. Однако, распространение ЭМВ в волноводах возможно только при определенных частотах выше некоторой критической.

В данном разделе будут рассмотрены свойства полого металлического волновода прямоугольного сечения - линии передачи, находящей в настоящее время наибольшее применение на практике.

Изучаемый здесь волновод представляет трубку с прямоугольной формой поперечного сечения, изображенную на рис. 2.1. Размер сечения по широкой стенке будем обозначать через a, размер по узкой стенке - через b. Данный волновод жестко связан с декартовой системой координат х, у, z способом, обозначенным на рисунке. В дальнейшем, волновод предполагается бесконечнопротяженным по оси z, которая принимается за ось распространения электромагнитных волн.

Будем полагать также, что в области внутри волновода находится воздух или вакуум. Стенки волновода предполагаются идеально проводящими, т. е. изготовленными из материала с бесконечной удельной объемной проводимостью. Этим самым вводится предположение об отсутствии потерь в волноводе.

Рис. 2.1. Прямоугольный металлический волновод

53

2.2.2 Волны типа E в прямоугольном волноводе

Волны E-типа характеризуются тем, что в их электромагнитных полях присутствуют продольные составляющие электрического поля, в то время как магнитное поле этих волн поперечно, т.е. Ez 0 ,

H z 0 . Для нахождения Ez в каждой точке внутри волновода, вос-

пользуемся уравнением Гельмгольца [29]
2Ez k 2Ez 0 .	(2.1)
Решение этого уравнения будем искать в виде:
Ez (x, y, z) Ez (x, y) e ikz ,	(2.2)

где Ez (x, y) - вещественная функция, описывающая распределение

поля в поперечной плоскости волновода.

Решить данную краевую задачу можно методом разделения переменных (методом Фурье) [29], представив

Ez (x, y) X (x)Y ( y) ,

(2.3)

где каждая из двух функций, которая теперь зависит лишь от одной из поперечных координат, может быть представлена в виде комбинаций синусов и косинусов:

	X (x) Asin(k x x) B cos(k x x);	(2.4)
	Y ( y) C sin(k y y) D cos(k y y).

Заметим, что составляющая Ez является тангенциальной ко всем четырем стенкам волновода и, следовательно, должна обратиться на них в нуль, т.е. Ez 0 при x 0, x a, y 0, y b . Это условие обращает в нуль коэффициенты при косинусоидальных слагаемых,

54

т.е. B D 0 . Обозначив произведение двух оставшихся коэффициентов за E0 , получим

E	z	E	sin(k	x	x)sin(k	y	y)e ikz .	(2.5)
		0

Из приведенных граничных условий следует, что

sin(k xa) 0;

(2.6)

sin(k yb) 0.

Выполнение этих равенств возможно только в том случае, когда

	k x m a;	(2.7)
	k y n b,

где m, n – целые положительные числа. Таким образом, окончательно получим [29]:

m			n			ikz .
Ez E0 sin	a	x sin		b	y e		(2.8)

Числа m и n для прямоугольного волновода обычно показывают число стоячих полуволн, укладывающихся на сторонах поперечного сечения волновода a и b, расположенных вдоль координатных осей x и y, соответственно и называются индексами данного типа колебаний.

В качестве примера, рассмотрим структуру волны TM11 в пря-

моугольном волноводе (рис. 2.2).

Линии магнитного поля имеют форму замкнутых витков, расположенных в поперечной плоскости; напряженность электрического поля максимальна в середине каждой стороны поперечного сечения и равна нулю по концам этих сторон. Ток на стенках волновода имеет только продольную составляющую и максимален в середине стенок волновода. Токи проводимости замыкаются через токи смещения.

55

Внутри линий магнитного поля проходят продольные токи смещения.

Обобщая свойства волн типа E (ТМ), можно заключить, что

[31]:
1) магнитное поле полностью находится в поперечной	плоско-
сти, а электрическое — имеет продольную и поперечную	составля-
ющие;

2)ток в волноводе имеет только продольную составляющую, что согласуется с поперечным расположением магнитного поля;

3)поперечная составляющая электрического поля изменяется во времени и в пространстве в соответствии с напряжением на стенках волновода;

4)поперечная составляющая электрического поля совпадает по фазе во времени и в пространстве с магнитным полем, если вдоль оси волновод работает в режиме бегущих волн.

Рис. 2.2 Волна TM11 в прямоугольном волноводе

Можно заметить, что в волнах ТЕ и ТМ поперечные составляющие электрического и магнитного полей совпадают по фазе, как в бегущей волне ТЕМ. Это позволяет сказать, что энергия, переносимая в волноводе, в случае волн ТЕ определяется полной напряженностью электрического поля и поперечной составляющей магнитного поля, а при волнах ТМ — полной напряженностью магнитного поля и поперечной составляющей электрического поля, т. е. составляющими полей в поперечной плоскости.

56

2.2.3 Волны типа H в прямоугольном волноводе

Волны типа H характеризуются тем, что здесь магнитное поле имеет продольную составляющую H z , в то время, как электрическое

поле поперечно, т.е. Ez 0 .

По аналогии с п. 2.2.2, составляющая H z должна удовлетворять уравнению Гельмгольца, решение которого будем искать в виде

H z (x, y, z) H z (x, y) e ikz .

(2.9)

Для решения данной задачи уравнение Гельмгольца должно быть дополнено граничными условиями, которые обеспечивают обращение в нуль тангенциальных составляющих электрического поля

на стенках	металлического волновода: Ex 0				при y 0, y b и
E y 0 при	x 0, x a . Переписав эти условия через искомую функ-
цию H z , получим
	H z	0	при	y 0, y b ,
	y
	H z	0	при	x 0, x a .	(2.10)
	x

Используя методику, описанную в п. 2.2.2 и принимая во внимание, что граничные условия (2.10) могут быть удовлетворены, когда A C 0 , обозначив произведение BD как H 0 , будем иметь [29]

H z H0 cos(kx x) cos(k y y)e ikz ,

(2.11)

где k x и k y определяются формулами (2.7).

Рассмотрим волну H10 в прямоугольном волноводе более по-

дробно как из-за большей наглядности, так и из-за широкого практического использования этого типа колебаний [29].

57

Рис 2.3. Картина электромагнитного поля волны типа H10

Обращаясь к рис. 2.3, заметим, что поскольку силовые линии электрического вектора здесь параллельны поперечной координате у, во внутреннем пространстве волновода можно установить две идеально проводящие перегородки, отстоящие друг от друга на расстояние b. В силу перпендикулярности векторов поля Е к этим перегородкам граничные условия на последних будут выполняться автоматически. Таким образом, можно рассматр и- вать лишь поля, существующие в замкнутой области с прямоугольной формой сечения. Структура поля волны типа H10 в

прямоугольном волноводе представлена па рис. 2.4.

Рис 2.4. Структура электромагнитного поля волны типа H10

58

Отметим, что данная картина поля останется справедливой при любом расстоянии b между перегородками или, согласно принятой здесь терминологии, при любом размере узкой стенки волновода.

2.2.4 Длина волны и критическая длина волны в волноводе

Основываясь на приведенном здесь анализе волн типа E и H, найдем связь между продольным волновым числом, двумя геометрическими параметрами волновода — размерами сечения а и b и длиной волны возбуждающего генератора 0 .

На основании материала, приведенного в п. 2.2.2, имеем [29,

31]

2 k 2 kкр2 , (2.12)

где постоянная распространения в свободном пространстве k и продольное волновое число связаны с длиной волны генератора 0 и длиной волны в волноводе в :

	2	;	k	2	.	(2.13)
	в			0
В свою очередь, поперечное				волновое число		kкр , опреде-

ляемое формулой (2.12) зависит лишь от геометрических размеров сечения и от индексов выбранного типа волны и совершенно не зависит от частоты.

Формула (2.12) позволяет вскрыть важнейшую особенность работы любого волновода рассматриваемого типа. При k kкр продоль-

ное волновое число является вещественным, а это, как уже известно, означает распространение данного колебания в виде бегущих волн. Если длина волны генератора увеличена настолько, что k kкр , то

вместо бегущей волны в волноводе существуют распространяющиеся

59

колебания, амплитуда которых экспоненциально уменьшается по координате z. Об этом свидетельствует мнимый характер продольного волнового числа .

В том случае, когда k kкр , 0 и, как следствие, в .

Принято говорить, что в данных условиях рассматриваемый тип колебаний находится в критическом режиме. Значение длины волны генератора, соответствующее случаю k kкр называется критической

длиной волны для данного типа колебаний в исследуемом волноводе и обозначается кр .

Из приведенных рассуждений следует, что

kкр

2

,

(2.14)

кр

откуда [16, 29, 31, 36, 42, 47, 51, 56]

кр

2

.

(2.15)

m a 2 m b 2

Согласно последнему выражению для волны, например,

TE01

кр

2

2b ,

0 a 2 1 b 2

а для волны TE02

кр

2

b .

0 a 2 2 b 2

60