Лабораторные работы 5 симестр / Распределительные системы / UMP_FVP_1

Принимая во внимание геометрию задачи и поляризацию волны (рассматриваем TM волну), приходим к выводу, что от системы (1.108)-(1.111) остаются только два уравнения:

E

yb

E

ya

1

2

H

H

xb

xa

i

0

; (1.135)

2

d

0

2

y

H

xb

H

xa

E yb E ya

i

0

,

(1.136)

d

2

где определяется выражением (1.76).

Тогда, подставляя приведенные решения в данную систему, получим:

	cos					eikbcos Re ikbcos Teikacos
	d																		;	(1.137)
			i						0		k		2	sin	2			ikbcos Teikacos
																	eikbcos Re
		0							2				2 0
	1							eikbcos Re ikbcos Teikacos
		d 0										eikbcos Re ikbcos Teikacos .								(1.138)
				i 0 cos
									2

Будем решать их аналитически. Полагая a 0 ,

b d

зуем (1.137) и (1.138) к виду:

cos

eikd cos

Re ikd cos T

d

i

0

k

2

sin

2

eikd cos

Re ikd cos T

2

2 0

0

,преобра-

; (1.139)

41

1

eikd cos Re ikd cos T

d 0

eikd cos Re ikd cos T .

(1.140)

i 0 cos

2

Перенесем все дробные коэффициенты в правую часть и введем

вспомогательные обозначения [26]:

A e

ikd cos

;

P

d kc2 k 2 sin 2

; Q

d k cos

. (1.141)

2k cos

2

Здесь:
k	0 0 - волновое число в свободном пространстве;
kc		0 0 - волновое число в материале пластины.

Заметим, что P и Q - действительные, а A 1 (это будет важно далее при вычислении модулей).

В обозначениях (1.141) уравнения (1.139)-(1.140)

вид:

	R			R
A			T iP A				T ;
	A				A
	R				R
A			T iQ A				T .
	A				A

Преобразуя, получаем:

R AT A2 1 iQ ; 1 iQ

R AT A2 1 iP . 1 iP

принимают

(1.142)

(1.143)

(1.144)

(1.145)

42

Складывая и вычитая эти уравнения, находим коэффициенты отражения и прохождения в виде:

	A2		1 iQ		1 iP
R							;
	2		1 iQ
					1 iP

	A		1 iQ		1 iP
T						.
	2		1 iQ
					1 iP

Выполняя действия в скобках, получаем:

R		A2i P Q
				;
		1 iP 1 iQ
T		A 1 PQ	.
	1 iP 1 iQ

(1.146)

(1.147)

(1.148)

(1.149)

Найдем модули этих выражений, учитывая, что коэффициенты

1:

P и Q , - действительные, а

A

R

P Q

;

(1.150)

1 P2

1 Q2

T

1 PQ

.

(1.151)

1 P2

1 Q2

Слой на диэлектрической подложке

Для решения задачи об отражении и прохождении для проводящего слоя на диэлектрической подложке подставляем уравнения

(1.123), (1.124) в граничные условия (1.118), (1.119). Получаем [12, 13]:

43

R	0 ( ) 0 2 ( )					,	(1.152)
		(2 )		2 ( )
T		0 2 0 2	0		,		(1.153)
			2
	0 (2 ) 0			( )

где коэффициенты , , , , , приведены в формулах (1.120)–

(1.122).

Рассмотрим частный случай, когда металлический слой нанесен

на очень тонкую диэлектрическую подложку (т.е. при h 0 ). В этом
случае	1 k 2d 2 f 2 k d ,				1 k 2d 2 f 2 k d ,				0 ,	0 ,
	1		1		1	1
2i df k1d ,		2 df k1d ,			а коэффициенты отражения и про-
хождения примут вид
		R		02				;		(1.154)
				2 0 0		2
					2 2
		T			0		.			(1.155)
				2 0 0		2

Подставив известные коэффициенты в (1.154), (1.155), а также, приняв обозначения (1.130) для точного решения, получим выражения (1.128)–(1.129). Таким образом, как и следовало, ожидать, при h 0 выражения для тонкого металлического слоя на диэлектрической подложке переходят в выражения для слоя в свободном пространстве.

1.4.3. Проводимость тонких металлических пленок

Еще в 1898 г. было установлено, что проводимость металлических пленок меньше проводимости массивных металлических образцов [8]. Томсон [9] впервые предположил, что причиной этого эффекта является ограничение длины свободного пробега электронов размерами образца. Он также заметил, что изучение проводимости тонких

44

металлических пленок позволяет построить модель электропроводности, согласно которой ―ток переносится в металле корпускулами, представляющими собой маленькие отрицательно наэлектризованные частицы, которые образуют катодные лучи‖. Полученная Томсоном формула для проводимости тонкой пленки, отнесенной к объемной проводимости, имеет вид [9, 10, 50]

		1		3
/ 0			k ln 1/ k			k 1,	(1.156)
		2
				2

где – проводимость тонкой пленки, 0 – проводимость массивного металла, k – отношение толщины пленки d к длине свободного пробега электрона l0 в массивном металле. При выводе данного соотно-

шения не учитывалось влияние электронов, начинающих движение с поверхности пленки. Теория, учитывающая это влияние, применима только к очень тонким пленкам и была построена Ловеллом [50]:

/ 0

k ln 1/ k 1

k 1.

(1.157)

Обе эти формулы не учитывают статистического разброса длин свободного пробега электронов вокруг среднего значения. Надлежащий учет был последовательно проведен Фуксом [50]. Используя кинетическое уравнение Больцмана, считая поверхность Ферми сферической, длину свободного пробега изотропной, а рассеяние электронов поверхностями пленок хаотическими, в случае тонкой пленки, он получил соотношение:

/ 0

3k / 4 ln 1/ k 0,423 .

(1.158)

Изменения удельного сопротивления металла соответствуют изменениям среднего свободного пробега электронов. Поскольку любой электрон будет отражаться от поверхности (когда он ее достигает), то удельное сопротивление увеличивается по мере того, как уменьшается толщина образца. При малой толщине пленки число соударений с поверхностью начинает составлять значительную часть от общего количества соударений в объеме. Другими словами, удельное

45

сопротивление значительно увеличивается, когда один или несколько размеров образца становятся сравнимыми при определенной температуре со средней длиной свободного пробега или становятся меньше ее. Соударения электронов с поверхностью будут менять проводимость только тогда, когда они испытывают некогерентное рассеяние, т.е. когда направление, в котором движется электрон, после соударения – не зависит от его направления движения до соударения. Аналогией этого может служить сравнение зеркальных и незеркальных случаев применительно к ослаблению распространения света от источника с полированными и рассеивающими поверхностями, соответственно.

Поверхностное рассеяние электронов при комнатной температуре оказывает значительное влияние на проводимость для большей части чистых металлов, если их толщина меньше 1–30 нм, тогда как

при температурах порядка минус 2000 С влияние обнаруживается на материалах, толщина которых примерно больше на один порядок этой величины. Выражения (1.156)–(1.158) достаточно часто используются для описания зависимости проводимости от толщины металлических слоев. В явном виде или же в предельных случаях относительно очень толстой и очень тонкой пленки, соответственно:

/ 0	1 3k / 8,	k 1,	(1.159)
/ 0	(3k / 4)ln(1/ k), k 1.		(1.160)

Иногда вместо исследования проводимости переходят к рассмотрению удельного сопротивления 0 0 [3-5]. Удельное

сопротивление тонких пленок часто значительно превышает удельное сопротивление чистого массивного образца. Так авторами [4] было измерено удельное сопротивление медных и ниобийных тонких пленок в широком диапазоне толщин от 6 до 110 нм. Результаты исследования показали, что для медных пленок с толщиной d = 6 нм удельное сопротивление почти в 12 раз больше, чем у массивного образца, однако при d = 100 нм они сопоставимы ( Cu массивного образца со-

ставляет 1.72 мкОм см ). Для ниобийных тонких пленок d = 5 нм удельное сопротивление в 16 раз больше, чем у массивного образца, а

46

максимальное значение наблюдается при d = 30 нм ( Nb массивного образца составляет 15.2 мкОм см ).

1.5 Методические указания к практическим и семинарским занятиям

1.5.1. Электромагнитные волны в средах

Диэлектрическая проницаемость среды

' i 0 .

Тангенс угла диэлектрических потерь

tg '' .

'

Фазовая скорость волны в среде

ф								c			.
									1
						1 tg 2
				2
Импеданс среды
Z							.
			i

47

Основные материальные параметры различных сред

	Относительная	Проводимость
Среда	диэлектрическая	Ом 1 м 1
	проницаемость
Пресная вода	80	10 3
Морская вода	80	5
Сухая почва	4	10 3
Влажная почва	10	10 2

Задачи

1.Относительная диэлектрическая проницаемость вещества

равна 40, а проводимость - 2 10 3 Ом 1м 1 . Чему равна диэлектри-

ческая проницаемость среды, если длина распространяющейся волны составляет 10 м?

2.В каких случаях проводящими свойствами среды можно

пренебречь (токами проводимости по сравнению с токами смещения)? Чему равна диэлектрическая проницаемость вещества при ?

3.Чему равен тангенс угла потерь морской воды для

1000 м ?

4.Определить фазовую скорость волны частотой в среде

с, , если tg 1 .

5.Определить фазовую скорость волны через , , если

tg 1 .

6.Чему равна разность фаз между E и H плоской волны в среде с tg 3 ?

7.Амплитуда электрического поля плоской монохроматиче-

ской волны в среде с относительными величинами 20 , 5 и

0	равна		2 мВ/м . Найти амплитуду магнитного поля и фазовую
скорость распространяющейся волны.
8.		Чему приближенно равен импеданс среды, у которой
2 ,	0		и 10 для 10 см ?
			48

9. Насколько затухает электромагнитная волна (в дБ.) с10 м при проникновении в воду пресного водоема на глубину

50см?

10.Определить затухание радиоволны 1000 м при про-

никновении в сухую почву на глубину 5 м.

11.Определить затухание радиоволны 3 см в морской во-

де при проникновении на глубину 1 м.

12. Во сколько раз скорость света превышает фазовую скорость электромагнитной волны 1000 м , распространяющейся во

влажной почве?

13.Чему равна длина электромагнитной волны в морской воде, если длина волны в воздухе составляет 10 м?

14.Рассчитать напряженность магнитного поля плоской волны с 1 см в морской воде на глубине 1 м, если напряженность

электрического поля на поверхности составляет 5 мкВ/м .

15.Показать, что независимо от угла падения, электромагнитная волна, проникающая в глубь металла, распространяется в нем перпендикулярно поверхности (радиочастотный диапазон).

16.Пусть плоская волна распространяется в проводящем полупространстве. Показать, что в радиочастотном диапазоне можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости.

Принять частоту электромагнитного излучения 1010 Гц , проводи-

мость металла 107 См м 1 .

17. Определить импеданс слоя металла конечной толщиной d при падении на него электромагнитной волны.

49

1.5.2. Электромагнитные волны в тонких слоях и многослойных структурах

1. Для нормального падения электромагнитной волны на тонкий слой найти функцию f = f kd , связывающую усредненные компоненты электромагнитного поля с полями на границах слоя. Здесь k - волновое число, характеризующее тонкий слой, d - толщина слоя.

2. Пусть плоская электромагнитная волна нормально падает на тонкий слой. Используя граничные условия импедансного типа, найти коэффициент отражения R и прохождения T как функцию толщины слоя d . Для характеристики проводящего слоя использовать материальные параметры: проводимость и магнитную проницаемость , а для слоя диэлектрика – диэлектрическую проницаемость

и магнитную проницаемость . В обоих случаях считать, что

kd 1 .

3. Пусть плоская электромагнитная волна нормально падает на двухслойную структуру металл-диэлектрик (металл толщиной d нанесен на диэлектрическую подложку толщиной h ). Показать, что при h 0 коэффициент отражения R для двухслойной структуры переходит в коэффициент отражения для тонкого слоя в свободном пространстве.

50