Otvety

Ответы на задания по матричной алгебре. Глава 1.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. КОМБИНАТОРИКА. БИНОМ НЬЮТОНА. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.1.		1) 12+5i; 2) a							2	b		2	;
9)	8				1	i ;	10)	14			23
13				13			29				29
1.2.		1)			5i ;		2) 1 i ;				3)
1.3.		1)		1 cos00 i sin 00										;

3) 5−12i;	4) −2+2i; 5) i;	6) 1+i; 7)
i ; 11) 0,8+0,6i; 12) 0,25−0,25i.
1 2i ; 4)	2 3i ; 5) 1	3i ; 2; 6)
2) 5 cos00 isin 00 ; 3) 2		cos1800

8−2i; 8) 23−14i;

2	2i .
isin1800 ;

4)			0		) isin( 60			0	)	; 5)	2 3 cos150	0	isin150			0	;
	2 cos( 60
6)			0			0	;	7)			0			0	) ;
	2 cos 45				isin 45					1 cos( 90 ) isin( 90
8)	1 cos180	0	isin180			0	;		9)		0		0				0
										4 cos60 isin 60 ;10) 6						cos90
11) 2 cos600				isin 600 ;					12) 2		cos( 1200 ) isin( 1200 ) ;

isin 900

;

13)		0						0	) ; 14)		1 cos90					0	isin 90		0	;
	2 cos( 45 )		isin( 45
15)	0	) isin( 90				0		)	; 16)	3	2					0			0		;
	1 cos( 90												cos 45					isin 45
17)	0	) isin( 90					0	)	; 18)	2							0	isin 60		0		;
	3 cos( 90											3 cos60
19)	2 cos( 300 ) isin( 300 ) ; 20)												cos1350 isin1350 ;
											2
21)	0	) isin( 60				0		) .
	1 cos( 60
		1		3							2			2								cos 22,50 isin 22,50 ,
1.4.	1) −1,				i ;				2)						i		;	3) 4 2
		2		2							2			2

4	2		0		0	; 4) 1,
		cos 202,5		isin 202,5
6)		2		0		0	)	,
			3 cos( 75		) isin( 75

	1		3
	2		2

23

	i ; 5)	1,	1		3	i
			2		2

cos1050 isin1050

,

;

1

2

3 2

7)

i

;

−i,

6

	3		1	i ;
	2		2
				0
	2 cos165

	8)	2
		2
		0
	isin165

,

2		i ,
2
			cos
6	2

2850

	2
	2
	isin

	2	i
	2
		0
	285

;

.

	9)	1				1			i
		3				3
			2				2

1.5.	1)i; 2) 32i; 3) 64; 4) –i; 5) 4−4i;		6) 8i; 7) 8i; 8) 236 ; 9) 1.
1.7.	i4k 1, i4k 1 i , i4k 2 1,	i4k 3	1, где k .

1.8.1) 1; 2) –i; 3) −1; 4) i.

1.9.а) симметрично относительно оси ОХ;

б) симметрично относительно начала координат;

в) на окружности радиуса nr с центром в начале координат, на лучах,

составляющих углы 2 k , k с положительным направлением оси Ох. n

115

	3				1			3							2			2
1.10. 1)			,	3						i	;	2)							i	;		3)	2,
					2			2							2		2
2 cos144	0	isin144				0	,		2 cos 216				0	isin 216			0	,			2			0
																						cos 288
		0					0	,			2			0					0			; 5)	2i	,
2 cos165			isin165									cos 285			isin 285

2 cos

isin

3

72
0
0
288
i .

isin 72	0	,

; 4) 1+i,

1.11.	1) 0, 3i ; 2) i , 1	2 ,	1	2 ;	3) ki, k R .
1.12.	точка z лежит на прямых		y x .		1.13. решений нет (т. к.

sin x		2	,	sin			2	x cos		2	x 1).
		3
КОМБИНАТОРИКА
1.14. 1) 1;					2) 120;				3) 5040;					4) 56; 5) 1/7980.
1.15.	1)		k	2	k , 2)							1			.	1.16. 7.
												2
									n n				1
1.17.	1) 28;					2) 2380;					3) 6;			4) 17;		5) 101.	1.21.	232 .

БИНОМ НЬЮТОНА

cos x 1

и

1.22. 1)

a	4

3	2	2
4a b 6a b

4ab3

b	4

; 2)

x	3	3x	2	y 3xy	2

y	3

;

3)1 12y 60y2 160y3 240y4 192y5 64y6 ;

4)32 80y 1 80y 2 40 y 3 10 y 4 y 5 ; 5) 117−44i; 6) −32i.

1.23. 1) 1.25. 1)

2380a			5
cos	3

	2	; 2)	24310
	3
	3cos sin			2

;3)

;2)

			8		1
	680a				2
	3cos	2

; 4)

sin

17a
sin	3

	9	11
		12	.
			;

3)

4cos	3	sin

4cos sin	3	)

; 4)

5	10cos	3	sin	2
cos

5cos sin	4

.

Глава 2. МНОГОЧЛЕНЫ

2.1. 1)

z2 1

2

;

2) z3 2

1

;

3) z4 z3

z

2

z

2

1

1

4) z 13

91z 81

; 5) z25

z20

z15 z10 z5 1;

z2 8z 6

6) z

4

iz

3

2z

2

2iz 2 7i

8 2i

.

z i

2.2.

1)

z 3

3z 13

; 2) z3

7z

7 ;

3)

z3 3z2

z

2

2

1
2		;
	z 1

6z 10 14z2 24z 11 ;

z 1 3

116

4) z	8	9z		6	31z	4	49z		2	31		1	.
											2	1
										z
2.3. 1)			z1,2		1 2i ;			2)		z1,2 2 3i ;			3)	z1,2

3 2

3i

,

z3

3

;

4)

z	2
1,2

k =2

,

z3	2 , z4,5 3;		5)		z1,2,3,4 3 i ,	z5,6 2i ,
z2	3 i .
2.5. 1)		z 2 ; 2)	z 2	;	3) нет целых корней; 4) z1,2
5)	z 2	k 3 ; 6) нет целых корней.

z7 1	; 6)	z1 1 2i ,
2 ,	z3 3 ,	z4 7 ;

2.7. 1) z1				7		; 2)	z1			1	,	z2 4 .
				3						2
2.10.	a 6			,	b 2 .
2.11.	1)	k 2 ;				2) k 3				; 3)		k 4 ;			4)		k 3 .
2.12.	1)		z		3	7z	2	17z 15					;	2)			z	6	2
		3														6
		P														P
2.14.	1)	z3	3		,	a 4			,	b 10 ;				2)		z3	3		, a
2.15.	1)	z4 3z3 2z2							2z 4 0 ;							2)	z4 z3

z	5	4z	4	4z	3	5z	2

8, b 2 .

5z2 z 6 0 .

2z

2

.

2.16.			1)	z								3i 1							3i 1			;	2)		z 1 z 2 z
							1 z					2			z				2
									2				1				7i			1			7i			3
3)											z							z						; 4)
	6 z 2 z																									z 1 z
2.17. 1)				x					3						4						4
					2	3			2x 9 x					2	3			2x 9 ;
2)	x	2	4 x				2		12x 4 x							2		12x 4 ;
3)	x 1 x 2 x									2	x 6 ; 4)							x 4					6 x 4			6 x 2

3 ;3 z 4

x 6 .

.

Глава 3.

МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

3.1. 1)		1
		2

2
14

;

			2
	2)		9
			5

3	0	6
. 3.2. 1) −1; 2) 1	0	2	;
	0	4
2

3)		8
		3

11

;

1

4)1 .2

3.3.	A B C
	m n n p p q

существует.

D .	3.4. 1) не существует;
m	q

2)

4
2

;

3)

	8
	1

;

4) не

117

								7	2						1
3.5.		1)			T						; 2)		T			2
				A				5	3				A
																3
				a			0		0	0
					0		b		0	0
4)	T											.
	A				0		0		c	0
					0		0		0	d

;

			0	0 ...
			0	0 ...
T			... ... ...
3) A
			0			...
					2
				0 ...
			1

	n
0
...
0
0

      

;

3.6.	A B B A, например,											если					A					1				2		,		B				4	1				8
																						3				4								2	2	,		A B	20
B A			7		12
			8		12		.
3.7. 1)				0	0			2)	6		1
						;						.
				0	0				1		6
														n			n			n 1												E,если					n	четное
3.8.	1)			n	2		n 1	A ;	2) A	n														;		3)			n											;
		A																	n										A
													0																			A,если					n	нечетное
		cos n						sin n										1			n												1		1	1
4) A	n									; 5)			A		n										; 6)				A	n			0		0	0		A .
		sin n						cos n										0			1
																																	0		0	0

5 11

,

3.9. 1) Вид определяется неоднозначно, например:

			4		4
2)	B C2			C1		C1 .
			5		5
		C1			C2

	1	2	1						7	4
3.10. 1)					; 2)	A	1				.
	A		1						5
		3								3
		2		2

C		C
B	2	1
		C
		1

2	3	C
		1
	C	2

  

;

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

3.12. 1) 1; 2) −2; 3) −1; 4) 0; 5) −3; 6) 13.

	3.14.	1) 40; 2) −3; 3) abc; 4) abc; 5)	14	; 6) 1; 7) −i; 8) 9i+15.
			15
	3.16.	3) Умножим элементы 1-го столбца на 10 и прибавим по 2-му столбцу.
			118

1	19	19	1	1	, исходный определитель делится на 19.
3	38		3	2
3.17. 1) 1;			2) 5; 3) 0; 4) 15; 5) −2i; 6) abcd; 7)			1	n 1	; 8)	2n!

Глава 4.

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РАНГ МАТРИЦЫ. ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.

.

ЛИНЕЙНАЯ

			1
4.2.	1)		2
			3
4.3.	1)	r 0		;

	0
1
	3
2)	r

		;	2)
	1; 3)

2 1

r

5
3
2 ;

; 3)

4)

r

1

38

27

2

; 5)

1 4129 r 2

134 24

; 6)

   

r

; 4)

2

;

	8
		5
		1
		7)

r

29 1832

117 1 ; 8) r

		.
	4

.

4.4.матрицы с нулевыми элементами.

4.5.матрицы со всеми пропорциональными строками или столбцами, а также матрицы, имеющие одну ненулевую строку или столбец.

4.6.

	d		0		...	0	...	0
		1
		0	d		...	0	...	0
				2
	... ...				... ...		...	...
		0	0		...	dk	...	0
	... ...				... ...		...	...
		0	0		...	0	...
								dn

перестановкой строк

и столбцов приведем

к следующему

виду

	d		0 ...	0 ...
		1
		0	d ...	0 ...
			2
	... ... ... ... ...
		0	0 ...		...
				dk
		... ... ... ... ...
		0	0 ...	0 ...

0...00...

.

r k

(числу ненулевых элементов),

di

0

;

i

1, k

.

4.7. 1) возможно, выполняется не всегда; 2) возможно, выполняется не всегда; 3) возможно, выполняется не всегда; 4) возможно, выполняется не всегда; 5) возможно, выполняется не всегда; 6) выполняется всегда.

4.8.		1) (1,4,-7,7);	2) (0,0,0,0).
4.9.		1) система линейно независима,		r 2 ;
2)	система линейно независима, r 2 ;
3)	система линейно независима, r 3			; 4) система линейно зависима, r 2	;
5)	система линейно зависима, r 3 ; 6) система линейно независима, r 4 .

Глава 5.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

5.1. 1) система совместна, x 1,

y 1,

z

1

;

2) система совместна,

x

1

,

y 0 ,	z 1;	3) система
совместна, x1		1,	x2 1,
, x3 1,	x4 1.

несовместна;

x3 1,

x4 1

4)система несовместна;

;6) система совместна, x1

5) система

2

,

x2 0

119

5.2. 1) общее решение:

X

	13	C,	2	C,C
	7		7

 

,

C R

;

частное решение:

X (C

7)

(13,2,7)

; ФСР:

E1(C

1)

	13	,
	7

2 7

,1

,

X

CE1

;

2) общее решение:

частное решение:

X

X		1	C
		2	1
(C 0,C
1			2



7C ,3C		,
2	2
1) (4,0,

C ,C
1 2
3,1)	;

;

	E1 4, 3,0,1 , E2		1			, X C1E1	C2E2
ФСР:			2	,0,1,0				;

3) общее решение:		X C2		C1,C1,C2 ;
частное решение:		X (C1 2,C2			3) (1,2,3) ;
ФСР:	n r 3 1 2 ,		E	1,1,0 ; E 1,0,1			, X C E
			1		2		1	1
4) общее решение:		X C1		C2 C3 ,C1,C2 ,C3		;
частное решение:		X (C1 1,C2			2,C3 3) (2,1, 2,3);
ФСР:	n r 3		,	E1	1,1,0,0 ;	E2	1,0,1,0
X C1E1 C2 E2 C3E3			;
5) общее решение:		X C1,C2 ,C3 ,C4 ;

C E
2	2

,

;

E
	1,0,0,1
3

частное решение: X (C1 1,C2		2,C3 3,C4 4) (1,2,3,4) ;
ФСР: n r 4 , E1 1,0,0,0	;		E2 0,1,0,0 , E3 0,0,1,0 ;	E4 0,0,0,1 ;
X C1E1 C2 E2 C3E3 C4 E4	;

;

6) общее решение:

X

		C ,C	,	3	C
		1 2		5	1

7	C ,0
5	2

;

частное решение:

X (C 5,C
1	2

5)

(5,5,10,0)

;

ФСР:	n r 3 1 2 , E									1,0,		3	,0	; E	0,1,	7	,0	,	X C E				C E .
									1		5			2		5					1	1	2	2
																							X 1, C,C ;
5.3. 1) система совместная, неопределенная. Общее решение:
2)	система								совместная,					неопределенная.						Общее				решение:
	9		1		1		6
X				C,					C,C .
	5		5		5		5
5.4. 1) определена,									a 3;		2)		несовместна, a 3						,	b	1	3	;

3)	не определена a 3	, b	1		3	.
5.5. 1) определена, при		a 2		или a 1, a 0			; 2) несовместна, при
3)	не определена, при a 1, a 0.

Глава 6.

120

a

2

;

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ.

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

6.1. 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) нет; 6) нет; 7) нет; 8) да; 9) да; 10) нет; 11) нет; 12) да; 13) нет; 14) нет; 15) нет; 16) нет; 17) нет; 18) нет; 19) нет; 20) нет.

6.2. 1) 1		2 : X1 C, C ,		2 5:	X2	0,C ,		C 0 ;
2)	1 2 :		X1 C, 5C ,	2 3:	X2	C,0 ,	C 0 ;
3)	1,2 2	:	X1,2 C1,C2 C1,0 0,C2			2	2	0 ;
						, C1 C2

4)	1,2 1:		X1,2 C1,C2 C1,0
5)	1 1:	X1 C,C,C , 2 2 : X2
6)	1 1:		X1 C,C,2C , 2 2 :

0,C		, C2
	2	1
C,0,C			,
X	2	C,0,

C2
2
3
C	,

0 ;

3:

3

X	3

3:

C,C

X3

,0 ;

C,2C,2C

C 0

;

7)1 3:

8)1,2 3:

X	2,3	C
		1

10) 1 1:

X1	3C,0,C ,		C 0 , 2,3			комплексные;
X1 0,C, C		;	3	6 :	X3	1,5C;2C;C C 0
	1 2 :				X1 C,2C,4C ,
C2	,C1,C2 C2	,0,C2				2	2	0 ;
				C1, C1,0 , C1			C2
X1 C,C,C ,			2 3:		X2 C,C, C ,			3 5	:

;

C 0		;			C,C,C ,							C,C, C ,
11)	3:		X	1			2	5	:	X	2			3	7	:
		1

X X

3

3





	2,3
C,C,
C,C,

3:CC

C 0 ; 12) 1

C 0 .

1

:

X	1

C, C,C

,

	2

3

:

X	2

C,C,C

,

	3

5

:

X	3	C,C, C

6.3.

	a			a		...		a							a			a		...		a
	11				12				1n						22				23				2 n
A E			0	a		...		a			a					0	a		...			a
				22					2n								33						3n
		...		...		...		...			11				...			...		...		...
			0		0	...	a									0			0	...	a	nn
							nn
(a	)(a		) ... (a			) 0,				a			,	2	a	,...,	n	a		,
11	22				nn						1	11			22				nn
собственные значения равны диагональным элементам.
6.5.
	a11				0	...			0						a22				0	...			0
A E			0	a22		...			0		a11					0	a33 ...						0	...
		...		...		...		...							...			...		...		...
			0		0	...	ann									0			0	...	ann
по аналогии с 6.3. 1					a11, 2		a22 ,..., n ann.
										121

Глава 7.

БАЗИС. МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА. ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.

7.1. 1) ненулевой вектор, лежащий на прямой; 2) любые два неколлинеарных вектора на плоскости;

3)	две матрицы, например			E					1		и		E			0		;
				1					0				2			1
4)	три многочлена, например 1,								x	,	x	2	.
7.2. 1) базис состоит из a1 , a2					, a3 ;							2) базис состоит из
7.3. 1)		x 1	3;1 3;1 3 ;		2)			x 0; 5;4 .
7.4. 1)		f t	5;2; 1;1 ;	2)		f	t 4;2; 1;1 ;												3) f t

a	, a	2	, a	4
1
5;2;

.

1;

5

.

7.5.1)

X

			c
			1

4	c
3	2

	1	c ;2c			1	c
	3	3	1		3	2

2	c	;c ;c		;c
3	3	1	2	3

 

,

базис, например,

E 2; 1;1;0;0 , E					1	;	4	;0;1;0		, E			2	;	1	;0;0;1		.
1	2				3		3			3			3		3

			27
	7.6. 1)	P		9
				4
	7.7. 1)	x 1;3;1 ;
	7.8. 1)	c 2;2;1;0

12	41					2	0	1	1
						3	1 2
20	9		;	2)	P				1 .
						1	2	2	1
71
	8
							1
	x 0;3;7 .					1		1	1
2)
, d	5;2;6;1 ; 2)				c 1; 2;1;0 , d 17					6; 2 3;

256;1

.

7.9. 1) один из векторов e3		2	;	2	;	1		;
		3		3		3

	e3			1		1	;	1		1		e4			1		1		1	;	1
2)				2	;	2		2	;		,				2	;	2	;	2		.
										2											2

7.10. 1) b 1;2;2; 1 ,		b 2;3; 3;2	,	b 2; 1; 1;
1		2		3
2) b1 1;1; 1; 2 ,		b2 2;5;1;3 .
Глава 8.
МАТРИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
cos	sin
8.1. A		.
sin	cos

2

;

122

8.2.1)

8.3.1)

		0
		0
	D	0
		0
		0

			1
	P		0
	1
			0

1 0 0 0 0

0 0 0

	0
	1
	0
	0
	0
	0
	0
	0

0 0 1 0 0

; 2)

	0
	0
	0
	1
	0
	P
	12

; 2)

			1
			0
			0

D

0 1 0

	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0
	0

1 0 0 0 0

; 3)

0 2 0 0 0

P2

0 0 3 0 0

  

0 0 0 4 0

0 0 0

		.
	0
	1
	0

	0
	0
	0

;

				1	0	0						0	0	0
4)	13							;	5) 23
				0	0	0						0	1	0	.
P									P
				0	0	1						0	0	1
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
8.5.	1) 28x/ 2 2x/ 2								, положительно определенная; 2)
					1		2
3)			/ 2		/ 2	,			положительно						определенная;
		9x1			x2

знакопеременная;

10x	/ 2
1

4)

, знакопеременная;

/ 2	/ 2	/	2	,
x1	2x2	5x3

5)

/ 2

/ 2

/ 2

, знакопеременная;

6)

/ 2

/ 2

/ 2

, знакопеременная;

7x1

7x2

2x3

3x1

2x2

x3

7)

/ 2

/ 2

/ 2

, положительно

определенная;

8)

/ 2

/ 2

/ 2

3x1

6x2

9x3

x1

4x2

2x3

знакопеременная.

Глава 9.

ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА. ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ. ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА.

9.1. 1)	A 3	,	xA C 0;1 , C 0	;	2)	A 4	,	xA C 2;1 , C 0	;

3) A 6

9.2. 1)

,

A

		3		, C 0
xA C		2	;2;1
10 ;	2) A 11; 3)

;

	A

	4)	A 2	,	xA C 1;1;1 ,
6;	4)	A 0,7 .

C

0

.

ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ.

9.3. 1) да; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да.

9.4.	1)
9.5.	1)



1	9	;
0,83

;

2)

2)

1 7

1.

.

9.6. X

Глава

100

150120

10.

	30				5	25
. 9.7.			. 9.8.		4	7
	Y 150			B			10	.
	170				0	7

123

ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. ВЕКТОРЫ.

10.1. 1) cos						12	, cos					3	, cos						16		,		a	0				12			;		3		;		16			;
						25						5								25								25					5				25
2)	cos	3		,	cos				4		, cos			12		, a		0					3	;			4		;			12				;
		13							13					13								13					13					13
3)	cos		1		,	cos		2		,	cos			2	,	a							1	;	2	;			2
																	0														.
			3					3						3									3		3				3
10.2. 1) да; 2) нет. 10.3.										M 3;3;3				. 10.5.						a b					22				. 10.6.							a b 20 .
10.7. 1) векторы коллинеарны. Вектор b																									длиннее								a				в	3		раза. Векторы
противоположно направлены;

2) векторы коллинеарны. Вектор сонаправлены.

10.9. c 3;15;12 . 10.10.

AM 3;4;

b3 ,

длиннее

BN 0;

a5;3

в 3

, CP

раза. Векторы

3;1;0 .

10.12.

a 1,5;

0,5;0,5

,

	2	;	1	;	1
	3		3		3

 

,

c

	2;3;1

,

d

2;

3;1

.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

10.13. 1) –3; 2) 4; 3) 7; 4) 19; 5) −49; 6) −95.

10.14.Геометрический смысл: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

10.15.Векторы a и c коллинеарны.

10.16. 1) −1,5;

	10.18.	a b .
	10. 21.		3	.
			4

x 2; 3;0 .

2) −1,5.					10.17.		3	,	3 .
						5			5
10.20. 1) 5; 2) 21;				3) 33;		4) 13;		5) 13; 6) 58; 7) −13.
		1		1					x 1,5;1,5;1,5 .
10.22.	x 1;		;		.	10.23.
		2		2

10.24.

10.25. прb x 3 .

Глава 11.

ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

11.1. 16. 11.2. 12

13

. 11.3. 1) 24; 2) 36. 11.4. 1) 3; 2) 75; 3) 192.

11.5. Векторы a и

11.8. 1) 5;1;7 ; 2)

bдолжны быть коллинеарны.

5; 1; 7 ; 3) 10;2;14 ; 4)

20;4;28

.

1.9. 1) 0; 2) 12;8;12 ; 3) 6;4;6 . 11.10. 14. 11.11. 25. 11.12. x 6; 24;8 . 11.13. x 7;5;1 . 11.14. 91.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

124