Однофазные электрические цепи переменного тока

Основные понятия и определения

Широкое применение в электрических цепях находят периодические ЭДС, напряжения и токи.

Периодические величины изменяются во времени по значению и направлению, причем эти изменения повторяются через некоторые промежутки времени Т, называемые периодом.

На практике подавляющее большинство промышленных источников переменного тока (генераторы электростанций) создают ЭДС, изменяющуюся по синусоидальному закону.

Преимущества такого закона:

а) простота получения;

б) напряжение легко трансформируется;

в) синусоидальная функция является единственной, которая в процессе интегрирования и дифференцирования не меняет своей формы и в процессе передачи и преобразования (в процессе трансформации) напряжения временная зависимость остается неизменной, т.е. синусоидальной.

Любая периодическая величина, изменяющаяся по синусоидальному закону, имеет ряд характерных параметров:

1. период - Т [c];

2) частота - f [Гц] .

Величина обратная периоду называется частотой:

.

Частота для всех электроустановок строго нормируется:

- для наземных систем - 50 (60)Гц;

- в авиации - 400Гц;

- космические летательные аппараты - 1000Гц.

Увеличение частоты позволяет уменьшить габариты электроустановок.

3) Циклическая частота - ω=2πf.

Для частоты 50Гц циклическая частота ω=2*3,14*50=314рад/с или 1/с.

4) Мгновенное значение - значение периодически изменяющейся величины в рассматриваемый момент времени.

Мгновенные значения обозначают - e, i, u.

5) Амплитудное значение

Максимальное значение или амплитуду ЭДС, напряжения и тока обозначают - E_m, U_m, I_m.

6) Действующее значение

Действующее значение ЭДС, напряжения и тока обозначают - E, U, I.

Для количественной оценки синусоидального тока, который в течение времени непрерывно, периодически изменяется, используют значение постоянного тока, эквивалентное значению переменного тока по совершаемой работе. Такое значение будет действующим для синусоидального тока.

Действующим (или эффективным)значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при протекании которого в одном и том же резисторе с сопротивлением R за время одного периода Т выделятся столько же тепла, сколько при прохождении синусоидальнего тока.

При синусоидальном токе:

i=I_msinωt

количество теплоты, выделяемое в резисторе R за время Т равно:

,

а при постоянном токе

.

Согласно определению Q_≈=Q_- , тогда

, .

Таким образом действующее значение синусоидального тока I является его среднеквадратичным значением за период Т

Действующее значение переменного тока обозначается как постоянный ток и в раз меньше чем его амплитуда.

Аналогично

.

Большинство электроизмерительных приборов работают на тепловом или электродинамическом эффекте, поэтому они всегда показывают действующее значение. Основные расчеты электроцепей синусоидального тока проводятся по действующим значениям. Для несинусоидальных величин эти соотношения будут другими.

7) Среднее значение

Среднее значение синусоидальной величины это ее среднеарифметическое значение. Однако, если определять среднее значение синусоидальной величины за период Т, то оно будет равно нулю, так как положительная и отрицательная полуволны синусоидальной кривой совпадают по форме. Поэтому среднее значение определяют за полпериода.

За среднее значение синусоидального тока принимают такое значение постоянного тока, при котором за полпериода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе:

,

,

/

Таким образом, среднее значение меньше действующего.

Изображение синусоидальных величин в прямоугольных координатах

В общем случае синусоидальные величины (рис.1), могут быть записаны:

e=E_msin(ωt+ψ_e)

u=U_msin(ωt+ψ_u),

i=I_msin(ωt+ψ_i),

где e,u,i - мгновенные значения ЭДС, напряжения и тока;

E_m,U_m,I_m - амплитуды ЭДС, напряжения и тока.

(ωt+ψ_e) - фазовый угол;

ψ_e, ψ_u, ψ_i - начальные фазы ЭДС, тока и напряжения.

На практике чаще имеют место случаи, когда электрические величины не совпадают по фазе.

Из рис. 1 видно, что напряжение опережает ток на угол ψ_u-ψ_i . Разность фазовых углов называется разностью или сдвигом фаз.

φ=ψ_u-ψ_i - разность фаз между напряжением и током.

При этом пользуются правилом: начальные фазы расположенные по левую сторону от начала координат имеют положительные значения, а по правую отрицательные.

Если угол φ >0, то ток отстает от напряжения по фазе. Если φ<0, то ток опережает напряжение по фазе.

При сложении двух синусоидальных величин (одинаковой частоты), изображенных в прямоугольных координатах, необходимо сложить ординаты для ряда значений угла ωt и по точкам построить суммарную синусоиду. Получается новая амплитуда, новый фазовый сдвиг, причем:

I_m ≠ I_m1 + I_m2;

φ_i≠ φ_i1+ φ_i2.

Такой расчет является трудоемким и имеет недостаточную точность.

Векторное изображение синусоидальных величин

Рис.2

Наиболее просто складывать синусоидальные величины, представив их вращающимися векторами (рис.3).

Рис.3

В плоскости с осями ОX и ОY рассмотрим вращающийся с постоянной скоростью, равной угловой частоте ω, вектор ОА, длина которого равна амплитуде синусоидальной ЭДС, т.е. .

Мгновенное значение ЭДС описывается известным соотношением:

e=E_msin(ωt+ψ_e).

За положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки, а угол поворота отсчитывают от оси ОX. В начальном положении (при t=0) вектор ОА повернут по отношению к оси OX на угол ψ_e

Построим проекцию вектора ОА на ось OY, которые изменяются по мере поворота вектора на угол ωt по отношению к начальному положению. В начальном положении (при t=0) проекция ОА₀= E_msinψ_e=e₀, т.е. равна мгновенному значению ЭДС при t=0.

Через некоторое время (t=t₁) вектор ОА будет повернут на угол ωt₁ и составлять с осью ОX угол (ωt₁+ψ_e). Проекция его на ось OY :

ОА₁= E_msin(ωt₁+ψ_e)=e₁, т.е. равна мгновенному значению ЭДС при t=t₁.

При t=t₂ вектор ОА совпадает с осью OY и его проекция ОА₂= E_m= e₂. При дальнейшем вращении вектора АО его проекции на ось YO начнут уменьшаться, затем станут отрицательными и т.д.

Таким образом, проекции на ось OY вектора, вращающегося с постоянной скоростью ω и имеющего длину, равную амплитуде ЭДС, изменяются по синусоидальному закону, т.е. представляют собой мгновенные значения синусоидальной ЭДС. Следовательно, справедливо и обратное: если имеем синусоидальную величину. то ее можно представить вращающимся вектором.

Правила построения векторных диаграмм

1. Любую синусоидально изменяющуюся во времени величину (ЭДС, напряжение, ток) можно представить в виде вращающегося вектора, длина которого равна амплитуде, а угловая скорость угловой частоте этой синусоидальной величины.

2. Начальное положение вращающегося вектора определяется углом, равным начальной фазе синусоидальной величины и откладываем от положительного направления оси O в сторону, противоположную вращению часовой стрелки.

3. В одних и тех же осях можно представить векторы всех ЭДС, действующих в данной цепи, напряжений на всех участках данной цепи и токов во всех ее ветвях (в заданных масштабах).

4. Так как синусоидальные величины имеют одинаковую частоту, то изображающие их векторы вращаются с одинаковой скоростью. Их взаимное положение на плоскости, относительно друг друга, остается неизменным. Поэтому на практике векторы не вращают, а строят их, соблюдая углы между векторами (углы сдвига фаз).

5. Отказавшись от вращения вектора можно строить векторы не только максимальных, но и действующих значений.

6. Вектора можно складывать, по правилу параллелограмма, получив при этом суммарный вектор (рис. 4).

Рис.4

7. В связи с отсутствием необходимости вращения нас интересует только взаимное расположение векторов, один из которых можно строить по направления оси OX, остальные вектора направляются относительно этого вектора (рис.5).

Например, если к элементам электрической цепи подается переменное напряжение u=U_msin(ωt+ψ_u), то возникнет переменный ток i=I_msin(ωt-ψ_i). В этом случае ток отстает от напряжения по фазе на угол φ=ψ_u-ψ_i. Начальные фазы ψ_u и ψ_i на векторной диаграмме не изображают, так как взаимное положение векторов определяется полностью разностью фаз - φ. Принимаем начальную фазу тока равную нолю (ψ_i=0), тогда начальная фаза напряжения ψ_u равна сдвигу фаз - φ.

Рис.5

Графический метод расчета является грубым неточным. На практике переходят к точным математическим методам расчета на основе теории комплексных чисел.

Понятия о комплексных числах

Комплексная плоскость - прямоугольная системе координат, на которой по одной оси откладываются вещественные числа +1, на другой (перпедикулярной) - мнимые числа +j.

Здесь j= - мнимая единица.

Действия с мнимой единицей:

1) j²=-1; 2)

Любую точку на комплексной плоскости можно охарактеризовать комплексным числом. Известно, что комплексное число С имеет вещественную Re и мнимую Im составляющие.

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

С=а+jв,

где а= Аcosα – реальная часть комплексного числа,

в= Аsinα – мнимая часть, γ=arctg - фаза,

с= - модуль комплексного числа.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

С=с(cosγ+jsinγ).

Показательная форма записи комплексного числа:

, где - оператор поворота (поворотный множитель).

cosγ + jsinγ = - формула Эйлера.

Частные случаи:

Для γ= π/2 ;

γ= -π/2 ;

γ= π .

Тригонометрическая форма записи служит для перехода из алгебраической формы в показательную и наоборот.