Изображение синусоидальных величин с помощью комплексных чисел

Синусоидальный ток i=I_msin(ωt+ψ_i) может быть изображен на комплексной плоскости (рис.7). Величина и направление вектора I_m определяются координатами одной точки комплексной плоскости I_m и этот вектор записывается с помощью комплексного числа:

,

- вектор вращается со скоростью ω против часовой стрелки;

- положение вектора при t=0 (начальное положение).

и можно опустить как постоянные составляющие, тогда получаем комплексное действующее число (комплекс тока) в показательной форме:

+j

I_m

Im(I_m)

+1

Ψ_i

O

Рис.7

Закон Ома в комплексной форме

Рис.8

Если на элементе электрической цепи присутствует напряжение u=U_msin(ωt+ψ_u) и ток через него i=I_msin(ωt+ψ_i), тогда

U=Ue^j

I=Ie^j

φ=ψ_u-ψ_i

Здесь

- полное комплексное сопротивление цепи переменного тока в показательной форме записи;

- модуль полного сопротивления;

φ - разность фаз между напряжением и током.

Z=z(cosφ + jsinφ) = R + jX - алгебраическая форма записи полного сопротивления.

R – вещественная часть комплексного числа, активное сопротивление;

Х – мнимая часть комплексного числа, реактивное сопротивление.

Проводимость цепи:

- полная комплексная проводимость цепи переменного тока в показательной форме записи;

- модуль полной проводимости;

Y=y[cos(-φ) + jsin(-φ)] = ycosφ - jysinφ = G + jB - алгебраическая форма записи полной проводимости.

G – вещественная часть, активная проводимость;

B – мнимая часть, реактивная проводимость.

Законы Кирхгофа для электрической цепи синусоидального тока

Для электрической цепи синусоидального тока так же справедливы законы Кирхгофа, сформулированные ранее для цепи постоянного тока. Но так как синусоидальные величины характеризуются мгновенными, амплитудными и действующими значениями, то для каждого из них существуют свои формулировки законов Кирхгофа.

Для мгновенных значений законы Кирхгофа справедливы в алгебраической форме.

Первый закон: Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю:

,

где n - число ветвей, сходящихся в узле;

Второй закон - алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжений на сопротивлениях этого контура: ,

где m - число ЭДС в контуре, а n - число ветвей или число сопротивлений в контуре.

Для амплитудных и действующих значений закон Кирхгофа справедлив только в комплексной форме.

Первый закон: Сумма комплексных токов в узле равна нулю:

Второй закон: сумма комплексных ЭДС в контуре равна сумме комплексных падений напряжений на сопротивлениях этого контура:

Электрическая цепь с активным сопротивлением

Электрический ток в металлах представляет собой направленное движение электронов. При движение электроны сталкиваются с атомами проводящего вещества и кинетическая энергия, запасенная ими при ускорении, превращается в тепловую. Проводник нагревается и тепло рассеивается в окружающую среду. Это необратимый активный процесс преобразования энергий, который количественно определяется сопротивлением R. Поэтому его называют активным сопротивлением.

В цепях постоянного тока сопротивление R называют просто сопротивлением. В цепях синусоидального тока называют активным сопротивлением.

Рис.9

В цепи переменного тока с активным сопротивлением (рис.9) действуют:

ток i=I_msin(ωt+ψ_i), напряжение на активном сопротивление u_R=Ri=RI_msin(ωt+ψ_i)=U_msin(ωt+ψ_i),

U_m=RI_m

Действующие значения тока и напряжения в комплексной форме:

U_R=U_R e^j

I=Ie^j

Полное сопротивление:

Сопротивление R – положительное вещественное число.

Ток в элементе с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением на этом элементе (рис.10). На векторной диаграмме ток и напряжение совпадают по направлению(рис.11).

Рис.11

Электрическая цепь с индуктивностью

Индуктивностью L теоретически обладают все проводники с током. Но в некоторых случаях эта индуктивность пренебрежимо мала. Значительна индуктивность у обмоток или катушек, состоящих из большого числа витков провода. Индуктивность возрастает, если созданный током магнитный поток Ф замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например по стальному сердечнику), в следствие чего магнитный поток увеличивается. Индуктивностью обмоток нельзя пренебрегать при рассмотрении физических процессов в электродвигателях, трансформаторах, дросселях. L - коэффициент пропорциональности между потокосцеплением и током, постоянная величина для каждого проводника.

Размерность индуктивности L - (Гн, генри).

Реальная катушка кроме индуктивности обладают значительным активным (омическим) сопротивлением R и емкостным сопротивлением с емкостью С. Для сечение S, длины l и материала (коэф. удельного сопротивления материала ρ) обмоточного провода:

R=ρl/S.

Впростейшем случае рассматриваютидеальную катушку с постоянной индуктивностью L= const, сопротивлением R=0, емкость витков

Пусть к цепи с индуктивностью L (рис.12) приложено синусоидальное напряжение u=U_msinωt. Под действием этого напряжения в цепи создается синусоидальный ток i. Этот ток создает магнитный поток Ф, который согласно закону электромагнитной индукции индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции: Рис.12

e_L=-dψ/dt=-WdФ/dt=-Ldi/dt,

где ψ - потокосцепление ψ=Li=WФ,

W - число витков, Ф - магнитный поток.

Знак минус согласно принципу электромагнитной индукции Ленца указывает на то, что ЭДС самоиндукции e_L всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока и тока в цепи.

Выбираем условные положительные направления тока, напряжения и ЭДС, причем условное положительное направление ЭДС в любой момент времени противоположно падению напряжения на катушке:

e_L=-u_L.

По второму закону Кирхгофа:

u=-e_L , u =u_L

или

U_msinωt=Ldi/dt

Получаем дифференциальное уравнение

Решая это уравнение получим выражение для тока в цепи:

Или i=I_msin(ωt-π/2), где I_m=U_m/ωL

Таким образом ток в цепи с индуктивностью изменяется по синусоидальному закону и отстает от напряжения на угол π/2 (рис.13).

Знаменатель ωL имеет размерность сопротивления – это индуктивное сопротивление x_L.

x_L= ωL=2πfL.

Следовательно получаем:

I_m=U_m/x_L –для амплитудного значения тока;

I=U/x_L –для действующего значения тока.

В комплексной форме:

U=Ue^j0 = U ,

I=Ie^{- jπ/2}=-jI .

Индуктивное сопротивление в комплексной форме

–положительное мнимое число.

На векторной диаграмме вектор напряжения опережает вектор тока на угол π/2 (рис.14).

Рис.14

Электрическая цепь с емкостью

Элементом электрической цепи, обладающей значительной емкостью, является конденсатор. Конструктивно конденсатор представляет собой две пластины с большой (по сравнению с зазором между пластинами) поверхностью, разделенные между собой диэлектриком. Емкость С конденсатора определяет тот электрический заряд, который накапливается на пластинах при разности потенциала между ними в 1В. Размерность емкости С – (Ф, фарад).

1мкФ=10^-6Ф (микрофарада)

1пФ=10^-12Ф (пикафарада)

1нФ=10^-9Ф (нанафарада).

Зазор в конденсаторе не является препятствием для прохождения переменного тока, так как синусоидальное напряжение периодически меняется по направлению, следовательно, так же непрерывно меняется заряд на обкладках конденсатора (конденсатор перезаряжается).

Реально емкостью обладают любые два проводника, расположенные недалеко друг от друга, но при малой поверхности (по сравнению с зазором) их емкость не велика и ею пренебрегают.

Впростейшем случае рассматриваютидеальный конденсатор с емкостью С=const, его сопротивление R=0, индуктивность L=0.

Пусть к цепи с конденсатором, емкость которого С, приложено синусоидальное напряжение u=U_msinωt. Под действием этого напряжения в цепи создается синусоидальный ток i и на каждой пластине скапливается заряд Q=Cu_c, где u_c – падение напряжения на конденсаторе.

Рис.15

Выбираем условные положительные направления тока, напряжения и ЭДС. По второму закону Кирхгофа u=u_c, тогда заряд на конденсаторе Q=Cu_c=СU_msinωt.

Ток в цепи представляет собой изменение заряда во времени:

i=dQ/dt=ωCU_mcos ωt=ωCU_msin(ωt+π/2), i=I_msin(ωt+π/2), I_m=U_m /(1/ωC).

Таким образом, ток в цепи с конденсатором так же изменяется по синусоидальному закону и опережает напряжение на угол π/2 (рис.16).

Знаменатель 1/ωC имеет размерность сопротивления – это емкостное сопротивление х_с:

.

Следовательно получаем

I_m=U_m/x_с –для амплитудного значение тока;

I=U/x_с –для действующего значения тока.

В комплексной форме:

U=Ue^j0 = U ,

I=Ie ^jπ/2=jI .

Индуктивное сопротивление в комплексной форме

–отрицательное мнимое число.

На векторной диаграмме вектор напряжения отстает от вектора тока на угол π/2 (рис.17).

Рис.17

Электрическая цепь при последовательном соединение r, L и С элементов

Рис.18

К электроцепи ( рис.18) подводится напряжение u, под действием которого по цепи течет ток i = I_msinωt.

По второму закону Кирхгофа запишется уравнение:

,

где ;.

В показательной форме ,

где иопределяются из треугольника сопротивлений (рис.19).

Рис.19

, так как ψ_i =0.

, U=zI

Мгновенное значение напряжения u=U_msin(ωt+φ).

Вывод: напряжение опережает ток на фазный угол φ.

В зависимости от соотношения сопротивлений Х_L и X_C цепь имеет характер:

а) индуктивный, если Х_L > X_C, при этом φ>0;

б) емкостный, если Х_L < X_C ,при этом φ<0

в) резонанс, если Х_L = X_C , при этом φ=0.

На рис. 20 приведены векторные диаграммы напряжений и синусоиды напряжений и токов, соответствующие трем выше изложенным режимам.

Рис.20

Резонансные явления

Под резонансом понимают явление резкого возрастания амплитуды колебания, когда частота внешнего возмущения и силы совпадает с частотой собственных колебаний системы.

Имеем цепь, которая кроме активного сопротивления содержит и реактивные составляющие. Несмотря на это цепь, имеет активный характер, то есть ток и напряжение совпадают по фазе. Тогда в этой цепи наблюдается резонанс.

Условия резонанса:

i=I_msinωt, u=U_msin(ωt+φ), I=I, U=Ue^jφ, Z=Ze^jφ=R+j(x_L-x_C)=R+jx.

При резонансе: x_L=x_C, ωL=1/ωC, x_L-x_C=0, x=0, φ=0

При резонансе полное комплексное сопротивление является вещественным числом Z=R.

Для проводимости: Y=Ye^-jφ=g-j(b_L-b_C)=g-jb, где b_L=b_C, b=0, φ=0, Y=g.

Резонанс напряжений.

Резонанс напряжений возможен в цепях с последовательно соединенными катушкой индуктивности и конденсатором.

Если x_L=x_C, то есть ω₀L=1/ω₀C, где ω₀ – резонансная частота или собственная частота цепи.

, - волновое сопротивление.

- характеризует насколько резко выражено явление резонанса в цепи.

- добротность определяет во сколько раз напряжение на каждом реактивном из реактивных элементов больше, чем подведенное к цепи напряжение.

Q – определяет качество конура.

Q=200-500 для радиотехнических контуров.

Так как сопротивление и напряжение находятся в прямо пропорциональной зависимости, то U_L=U_C, отсюда название – резонанс напряжений. Напряжение на конденсаторе и катушке индуктивности взаимно компенсируют друг друга при резонансе, причем эти два напряжения при резонансе больше чем напряжение источника.

Для действующих значений:

U_L=x_LI, U_C=x_CI, U_R=RI

При резонансе

U_L=ρI, U_C=ρI, U= rI,

, если ρ ›› R, то U_L и U_C ›› U

Добротность Q определяет качество контура. Для радиотехнических контуров Q=200~500. Добротность Q определяет во сколько раз напряжение на каждом реактивном элементе больше чем напряжение, подведенное к цепи.

Ток при резонансе имеет максимальное значение. Так как сопротивление цепи определяется только активной составляющее, следовательно, минимально, а как известно сопротивление и ток находятся в обратно пропорциональной зависимости.

I=U/R

При резонансе происходит взаимный обмен энергией между катушкой и конденсатором. Поэтому реактивная составляющая мощности равна нулю. Коэффициент мощности при резонансе имеет максимальное значение.

Резонанс токов.