Математика.ТР Определенные интегралы

						Вариант №11
1. Вычислить определённые интегралы:
3		(1 + x)2					¼=3
1) R2				dx;		3)	R		4x sin xdx;
		x(1 + x2)					¼=6
1	x2p						2
2) R0					dx;	4) R0		xe¡xdx.
			1 ¡ x3

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1)

y = 3 sin x; y = sin x; 0 6 x 6 ¼;

2) y = x2; y = 1; x = 0.

3. Вычислить двойные интегралы:

1)

RR

D : fx = 0; x = ln y; y = 1; y = 2g;

D

exdxdy;

3)

RR (cos2 x + sin2 y)dxdy; D : fx = 0; x = ¼=4; y = 0; y = ¼=4g.

2)

D

(x ¡ 2y)dxdy; D : fy = p

x; y = 2; x = 0g;

RR

D

4. Изменить порядок интегрирования:

xp

1

x2

2

0

2

3

1)

R1

R x

dy

f(x; y)dx +

dy

f(x; y)dx

.

dx

f

x; y dy

1

x

2 (

3) R0

R0

R1

¡pR2¡y

2)

R dx

R

f(x; y)dy;

0¡p2¡x2

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = 32 ¡ x2; y = ¡4xg;	в) F : fy = 2x ¡ x2; y = 4x ¡ 2x2g.
б) F : fy2 = x; y2 = 4x; x = 2g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

RR

2

2

2

2

x

p

а)

y

3xg;

D : fx ¡ 2x + y

= 0; x

¡ 8x + y

= 0; y = p3; y =

D

f(x; y)dxdy;

б)

RR

arctg

dxdy;

D : fx2 + y2 6 xg.

D

x

7. С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) xa + yb + zc = 1; x = 0; y = 0; z = 0;

б) z = 12 + y ¡ x2; x = y2; z = 0; y = x2; в) z = 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 0; y = §1; x = §1.

21

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2 + y2 = 4 (верхняя половина круга).

9.Найти момент инерции относительно начала координат для прямоугольника: x = 0; y = 0; x = a; y = b.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) y =	x2		1	ln x; 0 6 x 6 e;
		¡
	4		2
б) x = a cos3 t; y = a sin3 t; 0 6 t 6 2¼ - астроида.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а) y2dx + 2xydy;					L ¡ дуга окружности: x = a cos t; y = a sin t; (0 6 t 6 ¼=4);
L
R					L ¡ отрезок прямой y = x от точки x = 1 до x = 2.
б) R y2dx + x2dy;

L

12. Тройные интегралы:

а) найти объём тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = 4; x2 + y2 = 3z;

б) найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: x2 + z2 = 16; y = 1; y = 3; z = 0; (z > 0); ½(x; y; z) = 1.

22

Вариант №12

1. Вычислить определённые интегралы:

5

(1

+ x)2

4

1)

R2

dx;

3) R1

(x ¡ 4)5xdx;

x

p

2

1

arcsin x

3

2)

R

arctg x

dx;

4) p

R2

dx.

=2

x2

1 1 + x2

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) x = p

; x = 1; x = 0; y = 1 ¡ x2;

2) y = x2; x = y2.

y ¡ 2

3. Вычислить двойные интегралы:

2)

RR (3x ¡ 2y)dxdy; D : fy = 2 ¡ x2; y = 2x ¡ 1g;

1)

1

g;

D

RR

D

3)

RR

D

x cos (x + y)dxdy; D : f0 6 x 6 ¼=2; 0 6 y 6 ¼g.

4. Изменить порядок интегрирования:

¡R

R

¡R

pRx

0

0

¡

1

x2

¡1

0

0

0

1)

R

R

3) dx

f(x; y)dy +

f(x; y)dy.

dx

f(x; y)dy;

dx

p

2

(2+x)

1

3

a

a2

¡y2

2)

R dy

R

f(x; y)dx;

0a¡y

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = ¡x2 + 6; y = 2g;	в) F : fy = sin x; y = 0; x = 0; x = ¼=2g.
б) F : fy2 = 4x; x = 3g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а)	f(x; y)dxdy; D : fx2			¡ 2x + y2	= 0; x2 ¡ 6x + y2	= 0; y = x; y = p3xg;
	RR
	D
б)	RR p
	x2 + y2dxdy; D : fx2 + y2 6 a2; x2 + y2 > b2; b < ag.

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x + y + z = 3; x2 + y2 = 1; z = 0;

б) y2 + z2 = x; x = y; z = 0; в) z = x; z = 2x; x2 + y2 = 4x.

23

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x = a(t ¡ sin t); y = a(1 ¡ cos t) (одна арка циклоиды).

9.Найти момент инерции Iy для эллипса:

x2

+

y2

= 1.

a2

b2

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = a ch

x

; 0 6 x 6 a (цепная линия);

a

б) x = a cos t; y = a sin t; z = ct; 0 6 t 6 ¼=2.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

R

L ¡ прямая, соединяющая точки A(0; 0) и B(1; 1);

2xydx + x2dy;

L

б)

R

L ¡ дуга эллипса: x = a cos t; y = b sin t; 0 6 t 6 ¼.

ydx ¡ xdy;

L

12. Тройные интегралы:

RRR

а)

D

xyp

zdxdydz;

D : fy = x2; y = 1; z = y; z = 0g;

б) вычислить координаты центра масс пирамиды:

x

+

y

+

z

= 1; x = 0; y = 0; z = 0; ½(x; y; z) = 1.

b

c

a

24

					Вариант №13
1. Вычислить определённые интегралы:						¡
	R				R
	¼=3 cos xdx			;	¼=2 cos3 xdx			;
1)			sin2 x		3)		1 sin x
	¼=6				0
	1=2				1
2)	R0	ln (1 ¡ x)dx;			4) R0	3xexdx.

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = tg x; y = 0; x = ¼=3;

2) y = (x + 1)2; y2 = x + 1.

3. Вычислить двойные интегралы:

; y = 0; x > 0g;

2)

RR

2xydxdy;

D : fy = 4 ¡ x2; y = 3x2

1)

D

2ydxdy;

D : fy = p

x; y = 0; y + x = 2g;

RR

D

3)

RR

y sin (xy)dxdy; D : fy = ¼=2; y = ¼; x = 1; x = 2g.

D

4. Изменить порядок интегрирования:

p

¡1

p

p

1

2x¡x2

2+y

0

2+y

1)

R0

R

f(x; y)dy;

¡R

R

¡R

R

dx

3)

dy

f(x; y)dx + dy

f(x; y)dx.

x

2

0

1

0

2) R0 dy R0 f(x; y)dx;

¡1 y2¡4

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = 4 ¡ x2; y = 5x ¡ 2g;	в) F : fy = cos x; y = 0; ¡¼=2 6 x 6 ¼=2g.
б) F : fy = 8=x; y = 6 ¡ xg;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а)	RR
	f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 2y + x2 6 0g;
	D
б)	RR p
	R2 ¡ x2 ¡ y2dxdy; D : fx2 + y2 6 Rxg (круг).
	D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) y = 0; x + y = 1; x = 0; z = 0; z = 2 + x + y; б) z = y2=2; 2x + 3y ¡ 12 = 0;

в) x = y2; y = x2; z = 12 + y ¡ x2; z = 0.

25

8.Найти координаты центра тяжести пластины: x > y2 ¡ 2y; y > x; ½(x; y) = x + y.

9.Найти момент инерции Iy для однородной пластины:

(x ¡ a)2 + (y ¡ a)2 = a2; x = 0; y = 0; 0 6 x 6 a.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = px3; от A(0; 0) до B(5; 5p5);

б) r = a(1 ¡ cos t) – кардиода.

11.	Вычислить криволинейные интегралы:
	а)		y2dx ¡ x2dy	; L :	f	x = a cos t; y = a sin t; 0	6	t	6	¼	g;
		L	x2 + y2
		R
	б) R (x2 ¡ 2xy)dx + (y2 ¡ 2xy)dy; L ¡ дуга параболы: y = x2; ¡1 6 x 6 1.
		L
12.	Тройные интегралы:

а) найти объем тела, ограниченного поверхностью: x2 + y2 + 4z2 = 1;

б) найти центр массы однородного полушара радиуса R.

26

Вариант №14

1. Вычислить определённые интегралы:

	1=2						dx
1)	R0				p				;
							3 ¡ 3x
	p			p3
		5
2)	R2							dx;
						x2 ¡ 4

		1				dx
	3)		R2			arcsin3 xp		;
		p		=2			1 ¡ x2
		1=2
	4)	R0			ln(1 ¡ x2)dx.

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x2; y2 = x;

2) xy = 4; x = 1; x = 4; y = 0.

3. Вычислить двойные интегралы:

RR

D : fy = x2; y = x + 2g;

1)

y2dxdy;

D

RR

D : fxy = 3; y = 4 ¡ xg;

2)

(2x + 3y)dxdy;

D

RR

D : fx = 0; x = y; y = ¼g.

3)

cos (x + y)dxdy;

D

4. Изменить порядок интегрирования:

1

p

1

x2

3

(3¡x)=2

1

¡

x2

3) R0

dx R0

f(x; y)dy + R1

dx R0

1) ¡R1 dx 3

R0

f(x; y)dy;

f(x; y)dy.

1

py

2) R0

dy pRy

f(x; y)dx;

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = x2; y = 4 ¡ x2g;

в) F : fy = 6=x; y = 7 ¡ xg.

б) F : fy = 1 ¡x2; x = p

¡2; x = 0; x = 1g;

y

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

б)	RR (x2 + y2)dxdy;	D : fx2 + y2 6 2xg.
а)	f(x; y)dxdy;	D : fy2 ¡ 6y + x2 = 0; y2 ¡ 10y + x2 = 0; y = x; x = 0g;

D

RR

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) 2 ¡ x ¡ y ¡ 2z = 0; z = 0; y = x2; y = x;

б) z = x2 + y2 + 1; z = 0; x = 0; y = 0; x = 4; y = 4;

в) y = px; y = 2px; z + x = 6; z = 0.

27

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x + y = 4; y = 0; 5x2.

9.Найти момент инерции Ix для пластины, ограниченной кривыми:

xy = 1; xy = 2; y = 2x; x = 2y (в 1-й четверти); ½(x; y) = 1.

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = x2 ; 0 6 x 6 1;

2p

б) x = cos4 t; y = sin4 t; 0 6 t 6 2¼.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	(3x2 + y)dx + (x ¡2y2)dy; ABC ¡треугольник, с вершинами в точках A(0; 0); B(1; 0)
	ABC
	иR C(0; 1);
б)	R
	xydx; L : fy = sin x; 0 6 x 6 ¼g.
	L
12. Тройные интегралы:
а)	RRR p
	x2 + y2 + z2dxdydz; D : fx2 + y2 + z2 = zg;

D

б) определить координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями: z = 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 1; x = 0; y = 0; (x > 0; y > 0); ½(x; y; z) = 1.

28

						Вариант №15
	1. Вычислить определённые интегралы:
		¼=2				1
		R
	1)		ex ln x cos xdx;			3) R0	p5 4 ¡ x32x2dx;
		0
		R				0
		¼=3		xdx		1
	2)				;	R	x2e¡xdx.
						4)
		¼=6

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1)

y = 6=x; y = 7 ¡ x;

2) y = x ¡ 2; y > 0; x = p

.

y

3. Вычислить двойные интегралы:

1)

RR

x3yexydxdy;

D : f0 6 x 6 1; 0 6 y 6 2g;

3)

D

(x2 + y2)dxdy;

D : x = py; y = px .

RR

2)

D

xdxdy;

D : fx + y 6 1; x ¡ y 6 1; x > 0g;

RR

f

g

D

4. Изменить порядок интегрирования:

p

1

0

2

4 x2=2

1) ¡2 dx p

¡

f(x; y)dy;

2) ¡R2 dy¡pR2+y

f(x; y)dx;

4 x2

=2

2¡x

R

¡ R¡

1

x

2

3) R0

dx R0

f(x; y)dy + R1

dx

R0

f(x; y)dy.

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fx = y2; y = x ¡ 2g;

в) F : fy = 20 ¡ x2; y = ¡8xg.

б) F : fy = sin x; y = 0; ¡¼ 6 x 6 0g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а)	f(x; y)dxdy; D : fx2			¡ 2x + y2 = 0; y2 ¡ 10y + x2 = 0; y = 0; y = p3xg;
	RR
	D
б)	RR p			D : fx2 + y2 6 Ryg.
	R2 ¡ x2 ¡ y2dxdy;
	D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = x2 + y2; z > 0; x = 0; x = 1; y = 0; x + y = 6; б) 2y = x2; y = 2; z = 9 ¡ y; z > 0;

в) x2 + y2 + z2 = 2; x2 + y2 = 1; z > 0.

29

8.Найти координаты центра тяжести пластины: y = x2 ¡ 3; 3x + y = 1; ½(x; y) = x2y2.

9.Найти момент инерции Ix:

xy = 1; y2 = 4x; x = 4; x = 1; ½(x; y) = 2x + 1.

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) y3 = x2; y = 1;
б) x = 32t3; y = 12(2t2 ¡ t4); p			6 t 6 p		.
		2		3
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а)	R
	(xy ¡ 1)dx + 2xydy; L ¡ вдоль кривой 4x + y2 = 4 от точки A(1; 0) до B(0; 2);
	L
б)	R
	ydx + xdy; L ¡ ломаная OAB : O(0; 0); A(0; 5) B(4; 8).

L

12. Тройные интегралы:

а) найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2; z = 2x2 + 2y2; z = 4;

б) найти массу тела:

a2 6 x2 + y2 + z2 6 R2; ½(x; y; z) = k(x2 + y2 + z2); k = const.

30