Математика.ТР Определенные интегралы

						Вариант №21
1. Вычислить определённые интегралы:							R
	R
	¼=4 (5 + 2x + sin2 x)dx						¼=2
1)	¼=2		sin2 x		;	3)	0	e2x cos xdx;
	1						0;5
2)	R0 p			e3xdx;		4)	R0	ln(1 ¡ x)dx.
			e3x + 8

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) x = 2 ¡ y2; y = x; x = 0;

2) x = p3

; x = 1; y = 1.

y ¡ 2

3. Вычислить двойные интегралы:

2)

RR

(x ¡ y)dxdy; D : fy = 3x2

; y = 4 ¡ x2g;

1)

xdxdy;

D : fy = 8 ¡ x; x = 0; y = 2p

x

g;

D

RR

y

3

D

3)

RR

dxdy;

D : fy =

; y = 4 ¡ xg.

D

2

x

4. Изменить порядок интегрирования:

1

2¡x2

¡1

0

0

0

1)

R

R

f2(x; y)dy;

3) ¡R2 dy¡pR2+y

f(x; y)dx +¡R1 dy¡pR¡y

f(x; y)dx.

0 dx x

p

2

4¡x

2) pR

dx R0

f(x; y)dy;

3

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = ¡x2; x + y + 2 = 0g;

в) F : fy = cos x; y = 0; ¡¼=2 6 x 6 ¼=2g.

б) F : fy = 8 ¡ x; y = 2p

x; y = 0g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

			p
	2R				2 y¡y2
а)	R	dy			R			f(x; y)dx;
	R=2			0
б)		(x2 + y2)dxdy; D ¡ ограничена линиями y = x; y = p								x и дугой окружности
	D								3
	x2		y2			;	лежащей в 1-й четверти.
	RR	+		= 9

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x + y + z = 6; z = 0; x2 + y2 = 4;

б) z = x2 + y2; z > 0; x = 0; y = 0; x = 1; x + y = 6; в) y2 + x2 = 4; z = y; z = 2y; z > 0.

41

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x = 1; y2 = 2x; ½(x; y) = kx.

9.Найти момент инерции Iy для пластины:

x2 = y; x = 2; y = 0; ½(x; y) = x + y.

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = ¡ ln cos 2x; ¼=8 6 x 6 ¼=6;

б) x = 7(cos t + t sin t); y = 7(sin t ¡ t cos t); 0 6 t 6 2¼.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)		xdx + ydy		;	L : fx = 2 cos3 t; y = 2 sin3 t; 0 6 t 6 2¼g;
	L	x2=3 + y2=3
	R				L ¡ кривая y = x2 A(1; 1) до B(3; 9).
б) R ydx + 2xdy;
	L
12. Тройные интегралы:
а)	RRR p
		x2 + y2 + z2dxdydz; D : fx2 + y2 + z2 6 R2; z > 0g;

D

б) найти объем тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 = z; x2 + y2 = 2x; z = 0.

42

Вариант №22

1. Вычислить определённые интегралы:

	¼=2	1 ¡ cos 2x	dx;
1)	R0 6 sin x
	R
2)	¼=3	1 ¡ 2 cos x		dx;
	¼=4	sin2 x

3) R2 x3xdx;

0

4) Rx2 ln xdx.

0 x3

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1)

y = (x + 1)2; y2 = x + 1;

2) y = cos x; y = 0; x = ¼=4; x = ¼=2.

3. Вычислить двойные интегралы:

1)

RR

D

exydxdy; D : fy = x; x = 0; y = 4 ¡ xg;

RR

2)

D

(x ¡ y + 1)dxdy; D : fy = p

x; y = 0; x + y = 2g;

RR

¡

dxdy

3)

D

(x y)2

; D : fx = 3; x = 4; y = 1; y = 2g.

4. Изменить порядок интегрирования:

¡R2

¡p2R¡x

¡R

R

R2

R1

2

2y

¡1

0

0

0

1)

1

dy

0

f(x; y)dx;

3) p

dx

f(x; y)dy +

1 dx x f(x; y)dy.

2

2)

R dx R

f(x; y)dy;

1ln x

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = 1=(1 + x2); y = x2=2g;	в) F : fy = x3=3; y = 4 ¡ 2x2=3g.
б) F : fy = 2x ¡ x2; y + x ¡ 2 = 0; x = 2g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

б)	RR ex2+y2 dxdy;	D : fx2 + y2 6 1; x > 0; y > 0g.
а)	f(x; y)dxdy;	D : fx2 + y2 = 4x; x2 + y2 = 8x; y = x; y = 2xg;

D

RR

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) y2 = x; y > 0; x + 5z = 36; x = 9; б) y2 + x2 = 6x; z = 0; z = 3x;

в) z = 2 ¡ x2 ¡ y2; z > 2.

43

8.Найти координаты центра тяжести пластины:

3y = x2; y = 3; ½(x; y) = x2 + 1.

9.Найти момент инерции Iy для пластины:

x2 + y5 = 1; x > 0; y > 0; ½(x; y) = x + y.

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = ln sin x; ¼=3 6 x 6 ¼=2;

б) x = cos3 t; y = sin3 t; 0 6 t 6 ¼=2.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	R
	2xdy ¡ ydx; L ¡ x = 2 cos t; y = sin t от точки (2; 0) до (0; 1);
	L
б)	R
	x2ydy ¡ y2xdx; L ¡ дуга x = pcos t; y = psin t; 0 6 t 6 ¼=2.
	L

12. Тройные интегралы:

а) найти объём тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 = z; x2 + y2 = 2x; z = 0;

б) найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями:

z = y2 ; x + 3y ¡ 12 = 0; x = 0; y = 0; z = 0. 2

44

							Вариант №23
1. Вычислить определённые интегралы:								R
	R		cos x
1)	¼=3				dx;		3)	¼=4		(5 ¡ 4 cos3 x)dx	;
	¼=6		sin2 x					0		cos2 x
	2	xp						2
2) R0						dx;	4) R1		x2e¡xdx.
				1 + 2x2

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x2; y + x = 1;

2) y = 2 ¡ x; y = x2; x = 0.

3. Вычислить двойные интегралы:

; y = 2x ¡ 1g;

2)

RR

(2x ¡ y)dxdy;

D : fy = 2 ¡ x2

1)

D

2ydxdy; D : fy = p

x; y = 0; y + x = 2g;

RR x2y¡2dxdy;

D : xy = 1; y = x; x = 2

D

3)

RR

f

g.

D

4. Изменить порядок интегрирования:

2

4

R

p

R

p

2+y

2+y

2

p2 y

R

R

1) ¡R2 dxxR2 f(x; y)dy;

¡1

0

f(x; y)dx.

3) ¡2 dy

0

f(x; y)dx +¡1 dy

0

2) R1

dy

R0¡

f(x; y)dx;

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = (x + 1)2; y2

= x + 1g;

в) F : fx2 + 4x = y ¡ 4; x + y = 0; x = 0g.

б) F : fy = p

x; y = 2p

x; x = 4g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а)	RR	f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 2y + x2 = 0; y2 ¡ 6y + x2 = 0; y = xp		; x = 0g;
			3
б)		(4 ¡ 2x ¡ 3y)dxdy; D : fy2 + x2 6 4; y > 0g.
	D
	RR
	D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) y = 0; y = 3 ¡ x2 ¡ z2;

б) x + y + z = 6; x > 0; y > 0; z > 0;

в) 4x = y2; 4z + x = 16; z = 0.

45

8.Найти координаты центра тяжести пластины: x > y2 ¡ 2y; y > x; ½(x; y) = x + y.

9.Найти момент инерции Ix плоской фигуры:

y= 1=x; y = 2 ¡ x; ½(x; y) = y2.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

		3				p
а) y = px; от					A(0; 0) до B(5; 5 5);
б) x = 8 sin t + 6 cos t; y = 6 sin t ¡ 8 cos t; 0 6 t 6 ¼=2.
11. Вычислить криволинейные интегралы:
а)		xdx + ydy			;	L : fx = 2 cos3 t; y = 2 sin3 t; 0 6 t 6 2¼g;
	L	x2=3 + y2=3
	R					L ¡ дуга параболы y = x2 A(1; 1) до B(3; 9).
б) R ydx + 2xdy;

L

12. Тройные интегралы:

а) найти объем внутри параболоида: 2z = x2 + y2; x2 + y2 + z2 = 3a2; б) найти центр массы однородного полушара радиуса R.

46

					Вариант №24
1. Вычислить определённые интегралы:
	1					2
1)	R0	ex3xdx;			3)	R1	(x + 2)2xdx;
	R					0
	¼=3 1 + sin 2x					1
2)				dx;	4)	R	4x2e¡x3 dx.
	¼=4		sin2 x

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x2; y = 2x2; x = 1;

2) y = tg x; y = 0; x = ¼=3.

3. Вычислить двойные интегралы:

2)

RR xdxdy;

D : fx = y2; y = xg;

1)

D

(2 + xy)dxdy; D : fy = x ¡ 2; x = 0; y = 2 ¡ xg;

RR

D

RR

y

p

3)

dxdy;

D : fy = ¡x + 2; y =

x; x = 0g.

D

x2

4. Изменить порядок интегрирования:

¡p

p

p

3

0

1

y

2

2¡y2

1)

¡R2

dx¡p

4R¡x2

f(x; y)dy;

3)

R

R

R

R

f(x; y)dx.

0 dy

0

f(x; y)dx +

1

dy

0

2) R4 dy R4 f(x; y)dx;

2y

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = 4 ¡ x2; y = x2 ¡ 4g;	в) F : fx2 + 9y2 = 9; x 6 0; y 6 0g.
б) F : fy = 2x; y = 0; x = 3; x = 0g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

RR	f(x; y)dxdy;								D : fy2 + x2 6 4; y > 0g;
а)
D		p			+
D
RR		p
б)		sin x2 + y2							dxdy; D : f¼2=9 6 y2 + x2 6 ¼2g.
		x		2		y	2

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x = 0; y = 0; z = 0; x2 + y2 = z; x + y = 1; б) x2 + y2 = z2; x2 + y2 = 25; z 6 0;

в) x2 + y3 + z = 1; x = 0; y = 0; z = 0.

47

8.Найти координаты центра тяжести пластины: y = 2x; y = 3x; x = 1; ½(x; y) = x + 2y.

9.Найти момент инерции Ix:

y= p4 ¡ x2; y = 0; ½(x; y) = kpx2 + y2.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = 3=2(ex=3 + e¡x=3); 0 6 x 6 1;

б) x = 6(t ¡ sin t); y = 6(1 ¡ cos t); 0 6 t 6 ¼.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

2xydx + x2dy;

L ¡ кривая y = x3 от O(0; 0) до

A(1; 1);

L

R

R

y2dx ¡ x2dy

;

L

¡ линия

x = a cos t; y = a sin t; 0

6

t

6

¼

.

б)

x2 + y2

L

12. Тройные интегралы:

а) найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = 4 ¡ x2; z = 2 ¡ y; z = 0;

б) найти массу тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью: x+y+z = 1, если ½(x; y; z) = k(x + y).

48

					Вариант №25
1. Вычислить определённые интегралы:
	¼=2 cos2 x					e2
1)	R0			dx;	3)	R0	x2 ln xdx;
			sin x
	¼=4					1=2
2)	R0	x cos 2xdx;			4)	R0	arcsin xdx.

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y + 1 = (x ¡ 1)2; y = x;

2) y = 9 ¡ x2; y = 5.

3. Вычислить двойные интегралы:

1)

RR

ydxdy;

D : fy = x2; x = 0; y = 1g;

D

x2

RR

2)

D

(y ¡ 2x)dxdy; D : fy = p

x; y = 0; y = 2 ¡ xg;

3)

RR

dxdy;

D : fx = 2; y = x; xy = 1g.

D

y2

4. Изменить порядок интегрирования:

p

p

p

0

1

¡

x2

¡

2

¡

y2

1

0

2

R

R

1)

dx

f(x; y)dy;

R

R

f(x; y)dx.

¡R10

xR

0

3)

dy f(x; y)dx +

1

dy

0

0

¡py

2)

dx

+1

f(x; y)dy;

p

p

3

2

¡R

¡ 4R¡x

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy2 + 6y 6 4x ¡ 9; x + y 6 0g;

в) F : fy > x2 + 2x + 5; y 6 5 ¡ 2x ¡ x2g.

б) F : fy 6 x; y > 2x ¡ 4; x + y > ¡4g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

2R			p2Rx¡x2
R					f(x; y)dy;
а)	dx
R=2			0
RR p
б)	x2 ¡ y2 ¡ 9dxdy; D : f9 6 x2 + y2 6 25g.

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) y2 = x; y > 0; x + 5z = 36; x = 9; б) 2 ¡ z = x2 + y2; z > ¡2;

в) z = 3x; z = 0; x2 + y2 = 6x.

49

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2 = 3y; y = 3; ½(x; y) = x2 + 1.

9.Найти момент инерции Ix для пластины:

x2 + y5 = 1; x > 0; y > 0; ½(x; y) = x + y.

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = ln sin x; ¼=3 6 x 6 ¼=2 – кардиоида;

б) x = cos3 t; y = sin3 t; 0 6 t 6 ¼=2.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	R
	xdy ¡ ydx; L : fx = 2 cos t; y = sin t; от точки (2; 0) до (0; 1)g;
	L
б)	R
	x2ydy ¡ y2xdx; L – дуга x = pcos t; y = psin t; 0 6 t 6 ¼=2.
	L

12. С помощью тройного интеграла найти:

а) объем фигуры F : fz = x2 + y2; x2 + y2 = 2x; z = 0g;

б) вычислить координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями:

z = y2 ; x + 3y ¡ 12 = 0; x = 0; y = 0; z = 0. 2

50