Математика.ТР Дифференциальные уравнения

Вариант №1

Решить дифференциальные уравнения:

1)

y0

= (1 ¡ x2)y;

9)

y0 + y tg x = y4 sin3 x;

2)

y0

=

x + y

;

10)

y00

=

1

¡ x;

x

¡

y

2

x

sin

3)

y0 + 2xy = e¡x2+x;

11)

yy00 = (y0)2;

4)

y0

=

y

+ 3 tg

y

;

12)

xy00 = y0 ln

y0

;

x

x

x

2xdy = (y + 3x2)dx

xdy

ydx

x2

y2dx

5)

2

y0

¡

2

= p

+

;

13)

3

)y0 = 1;

;

6)

x

+ y

= 4;

14)

(xy + y

y

15¤) 6xy2y0 + 2y3 + x = 0

7)

y0

¡

= ln x;

;

x

8)

xyy0

= 1 ¡ x2;

Указание: ввести новую функцию

u(x) = y3.

Линейные однородные уравнения:

1) y00

¡ 3y0 + 2y = 0;

5) y00

¡ 4y0 + 4y = 0;

2) y00

+ 2y0 + y = 0;

6)

y00

+ 3y0

= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3) y00

+ 2y0 + 5y = 0;

4)

y00

¡ 4y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 9y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

¡ 4y0 + 3y = 2x + 7;

4)

y00

+ 2y0

+ 2y = cos 4x;

2)

y00

¡ 6y0

+ 9y = 2 sin 3x + 4 cos 3x;

5)

y00

¡ 5y0 = 2x + ex;

3)

y00

¡ 2y0 + y = ex;

6)

y00

¡ 3y = x ¡ cos 2x;

7)

y00

+ 6y0

+ 13y = 3e2x,

при y(2) = 0,

y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 5y0 + 6y = x2 + 3, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 16y = 2x3 + 3x + 7; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00 + 3y0	+ 2y =	e¡x		;	2) y00	+ 2y0 + 2y = cos 4x;
		2 + e	x		Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

1

Вариант №2

Решить дифференциальные уравнения:

1) y0 = (8 + x3)y;

2) y0 = xy + cos xy ;

3) y0 + 2xy = (1 + x)e¡x2 ;

4) y0 = x + 2y ;

2y ¡ x

5)y0 tg x ¡ y = 1;

6)y0 ¡ y = 1 + px; x x

7)p1 ¡ y2dx + yp1 ¡ x2dy = 0;

9)y2 + x2y0 = xyy0;

10)y00 = 2yy0;

11)y00(x2 + 1) = 2xy0;

12)y00 ¡ x = x sin x;

13)y0x2 sin y = 2xy0 ¡ y;

14)(4xy ¡ 3)y0 + y2 = 1;

15¤) y0 + xy2 ¡ x3y ¡ 2x = 0;

	8)	y0		1		;		Указание: ввести новую функцию
			¡ y tg x =					u(x) = x2 ¡ y.
					cos x
	Линейные однородные уравнения:
	1) y00		+ y0 ¡ 6y = 0;				5) y00		¡ 2y0 ¡ 8y = 0;
	2) y00		+ 4y0 + 4y = 0;				6)	y00	+ 5y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
	3) y00		¡ 4y0	+ 8y = 0;
	4)	y00	¡ y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;				7)	y00	+ 16y = 0.
	Линейные неоднородные уравнения:
	1)	y00	¡ 6y0	+ 13y = 3x + 1;			4)	y00	¡ y0 ¡ 12y = sin 3x;
	2)	y00	¡ 7y0	+ 12y = 5 sin 2x ¡ cos 2x;			5)	y00	¡ 4y0 = 3x + 2e4x;
	3)	y00	+ 10y0 + 25y = e¡5x;				6)	y00	¡ 9y = x2 + sin 7x;
	7)	y00	¡ 7y0	+ 10y = 4e3x, при y(2) = 0,			y0(2) = ¡1;

8)y00 + 2y0 + 17y = 2x2 + 3x, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 81y = 4x3 + x + 2; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00	¡	3y0	+ 2y =	1		;	2) y00 ¡ y0 ¡ 12y = sin 3x;
				2 + e¡	x
							Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

2

Вариант №3

Решить дифференциальные уравнения:

1) (xy2 + y)dx + (y ¡ x2y)dy = 0;

2) xdy ¡ ydx = ydy;

3) y0 + 2xy = e¡x2 sin 2x;

4) xy0 + y2 = 9;

5) pxy0 = y + 2xe2px;

6) y0 + sin x + y = sin x ¡ y ; 2 2

7)y0 ¡ xy = sin3 xy2;

8)y0 = xy (1 + ln y ¡ ln x);

Линейные однородные уравнения:

y

9) y0 = ex + xy ;

10) y00 = y0 + x; x

11)y00 = 1 ;

1 + x2

12)yy00 = (y0)2 ¡ (y0)3;

13)dx = 2y(y2 + x)dy;

14)dy ¡ xy2dx = 2xydx;

15¤) xy0 + axy2 + 2y + bx = 0;

Указание: ввести новую функцию y = u(x) ¡ ax1 .

1) y00		+ 3y0	+ 2y = 0;	5) y00		¡ 6y0	+ 5y = 0;
2)	y00	¡ 10y0 + 25y = 0;		6)	y00	+ 2y0	= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3) y00		+ 8y0	+ 7y = 0;
4)	y00	+ y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;		7)	y00	+ 25y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	+ 7y0	¡ 8y = 4x + 5;	4)	y00	+ y0 + 12y = cos 4x;
2)	y00	¡ 5y0	+ 4y = 2 sin 6x + cos 6x;	5)	y00	¡ 6y0	= 5x + sin x;
3) y00 ¡ 6y0 + 9y = e3x;				6) y00 ¡ 16y = 4x + 3 + e¡x;
7)	y00	+ 9y0	¡ 10y = 3e7x, при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 7y0 + 6y = 5x2 + 8, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + y = 7x3 + 4x ¡ 7; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	9e3x		2) y00 + y0 + 12y = cos 4x;
1) y00 ¡ 9y0 + 18y =		;
	1 + e¡3x		Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные
			неоднородные уравнения" .

3

Вариант №4

Решить дифференциальные уравнения:

	+ r	1	y2
1) y0		1	¡		= 0;
			x2
			¡

2)x ln xy dy ¡ ydx = 0;

3)xy0 + y0 = ln x;

4)y0 + x1 y = xy2;

5)y0 sin x = y ln y;

6)(1 + x2)y0 ¡ 2xy = (1 + x2)2;

	7) y0 =	2xy	;
		x2 ¡ y2

8)y0 = x + 3y ; x ¡ 3y

Линейные однородные уравнения:

9) y ¡ xy0 = 3(1 + x2y0);

10) y00 = 1 ¡ x2; cos2 x

11)2y0 = 3y2;

12)y00 + x1 y0 = ¡x2(y0)2;

13)y0 + 2y ¡ y2ex = 0;

14)e¡y(dx + dy) = dx;

15¤) x2(y0 ¡ y2) ¡ 3x2y + 3x + 2 = 0;

Указание: ввести новую функцию u(x) = xy ¡ 1.

1) y00		¡ 6y0 + 8y = 0;			5) y00		+ 2y0 ¡ 8y = 0;
2) y00		+ 8y0 + 16y = 0;			6)	y00	¡ 3y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3) y00		¡ 2y0 + 5y = 0;
4)	y00	+ 4y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;			7)	y00	+ 36y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	¡ 2y0	¡ 8y = 8x ¡ 1;		4)	y00	+ 9y0 + 8y = sin 3x;
2)	y00	+ 6y0	+ 8y = 4 sin 5x ¡ cos 5x;		5)	y00	¡ 7y0 = 7x + e2x;
3)	y00	¡ 8y0	+ 25y = e4x;		6)	y00	+ 5y = ¡x ¡ 2 sin x;
7)	y00	+ 2y0	+ y = 5e¡8x,	при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 10y0 + 25y = 2x2 ¡ 1, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 ¡ y = 4x3 ¡ 2x + 1.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00 + 6y0 + 8y =	4e¡2x	;	2) y00	+ 9y0 + 8y = sin 3x;
	2x		Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные
	2 + e

неоднородные уравнения" .

4

Вариант №5

Решить дифференциальные уравнения:

1) y0 = (49 ¡ x2)y;

2) y0 = 2xy ; x2 ¡ y2

3)y0 ¡ y = 1 2 ; x 1 + ln x

4)y0 + y tg x = y4 tg x;

5)y0 = xy ¡ ctg xy ;

6)y0x2 = y2 ¡ 2x2;

7)x3y0 + y = y2;

8)y0 + 1 y = y2 ; x x

Линейные однородные уравнения:

9)yy0 = 1 ¡ 2x; y

10)x2y00 + xy0 = 1;

11)y00 = ln x ¡ x3;

12)yy00 ¡ (y0)2 = y2y0;

13)(1 ¡ x2)y0 + x2 = yx2;

14)(y2 + xy2)y0 + x2 = yx2;

15¤) yy0 + y2 + 4x(x + 1) = 0;

Указание: ввести новую функцию u(x) = y2.

1) y00		+ 2y0 ¡ 8y = 0;				5) y00		¡ 8y0 + 7y = 0;
2) y00		¡ 2y0 + y = 0;				6)	y00	¡ 5y0	= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3)	y00	+ 6y0	+ 13y = 0;
4)	y00	+ 9y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;				7)	y00	+ 64y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	¡ 6y0	+ 13y = ¡4x + 8;			4)	y00	+ 2y0	+ 2y = cos 7x;
2)	y00	¡ 7y0	¡ 8y = ¡2 sin 3x + 4 cos 3x;			5)	y00	+ 6y0	= 4x + e8x;
3)	y00	+ 12y0		+ 36y = e¡6x;		6)	y00	+ 8y = ¡x + cos 4x;
7)	y00	¡ 10y0		+ 25y = ¡3e¡7x,	при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 8y0 + 25y = 7x2 ¡ 4x + 7, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 ¡ 81y = 7x3 + 2x + 1; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	1) y00 + y =	1	;	2) y00 + 12y0 + 36y = e¡6x;
		sin x
				Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

5

Вариант №6

Решить дифференциальные уравнения:

1)

y0 sin3 x cos2 x = y2 + 1;

9)

y ¡ xy0 = 4(1 + x2y0);

2)

2xydx ¡ (x2 + y2)dy = 0;

10)

y00

¡ x ln x = 0;

e¡x2

2

3)

y0

+ 2xy =

;

11)

y00

+

(y0)2 = 0;

x

1 ¡ y

1

y4

4)

y0

+

y = p

;

12)

y00x ¡ ln x = y0;

x

x

5)

y0 + xy2 = 0;

13)

x2y0 + y2 ¡ 2xy = y0;

6)

y0 cos x + y sin x = 1;

14)

ydx + (x ¡ yey)dy = 0;

y2

15¤) (y2 + x4)y0 ¡ 4x3y = 0;

7) y0

=

¡ 7;

x2

y

y

Указание: ввести новую функцию

8)

(x ¡ y) cos

dx + x cos

dy = 0;

y = §u2(x).

x

x

Линейные однородные уравнения:

1) y00

¡ 2y0 ¡ 15y = 0;

5) y00

¡ y0 ¡ 12y = 0;

2) y00

+ 18y0 + 81y = 0;

6)

y00

¡ 7y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3)

y00

+ 4y0 + 18y = 0;

4)

y00

+ 9y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 4y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

+ 5y0 ¡ 24y = ¡5x + 7;

4)

y00

¡ y0

¡ 56y = cos 4x;

2)

y00

+ 26y0

+ 169y = 6 cos 4x ¡ 5 sin 4x;

5)

y00

+ 6y0 = 7x + 6e7x;

3)

y00

+ 6y0 + 9y = e¡3x;

6)

y00

¡ 6y = ¡x + 1 + 2 sin 3x;

7)

y00

¡ 11y0

+ 28y = 5e6x,

при y(2) = 0,

y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 4y0 + 29y = ¡4x2 ¡ 5x + 2, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 25y = 6x3 ¡ 5x + 2.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00 + y0 =	1		;	2) y00 ¡ y0 ¡ 56y = cos 4x;
	1 + e	x
				Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

6

Вариант №7

Решить дифференциальные уравнения:

1)e¡y(1 + y0) = 1;

2)x ln xy dy ¡ ydx = 0;

3)y0 + 2xy = e¡x2 ctg 3x;

4)xdy + ydx = ydy;

5)y0 = xy ¡ cosec xy ;

6)xy0 + y = 1;

7)xy0 + y = ln x;

8)y ¡ xy0 = 2(1 + x2y0);

Линейные однородные уравнения:

9) y0 + y tg x = y00 tg2 x;

10) y00 + x2 = 1 ; cos2 x

11) 2y00 = 3y2;

12) y00 + x1 y0 = ¡x2(y0)2;

13) sin xdx = (y cos x ¡ sin2 x)dx; x2

14¤) 3y2y0 + y3 ¡ x ¡ 1 = 0;

Указание: ввести новую функцию y = x2u(x).

1) y00		+ 6y0 + 8y = 0;			5) y00		+ 6y0	¡ 7y = 0;
2) y00		¡ 8y0 + 4y = 0;			6)	y00	¡ 2y0	= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3) y00		¡ 6y0	+ 13y = 0;
4)	y00	¡ 16y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;			7)	y00	+ 81y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	+ 8y0	+ 25y = 7x + 5;		4)	y00	+ 10y0 ¡ 9y = sin 8x;
2)	y00	+ 9y0	+ 8y = sin 4x ¡ 2 cos 4x;		5)	y00	¡ 7y0	= 2x + cos 2x;
3) y00		¡ 12y0 + 36y = 3e3x;			6) y00		¡ 9y = ¡x ¡ e3x;
7)	y00	¡ 9y0	+ 8y = 4e2x,	при y(2) = 0,		y0(2) = ¡1;

8)y00 + 8y0 + 17y = 3x2 + 2x ¡ 10, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 100y = 8x3 ¡ 7x2 + 4; Смотри: Пискунов, Том 2, стр. 96.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	1) y00 + 4y =	4	;	2) y00 ¡ 12y0 + 36y = 3e3x;
		sin 2x
				Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

7

Вариант №8

Решить дифференциальные уравнения:

1)

y0

= 2x+y;

x

2)

xy0 = y +

;

x

ln

y

3) y0 + 2xy = (3x + 4)e¡x2 ;

4)

y0

=

4x + y

;

4x ¡ y

5)

y0

tg x ¡ y = 2;

6)

y0

¡

y

1

;

=

x

x + 1

7) p1 ¡ y2dx + yp1 ¡ x2dy = 0;

8) y0 ¡ y 2x ¡ 1 = 1; x2

Линейные однородные уравнения:

9)dy ¡ xdxy = ydxx ;

10)2yy00 ¡ 3(y0)2 = 4y2;

11)2xy00 = y0 + x;

12)y00 ¡ x ln x = sin 5x;

13)x ¡ yy0 = y2;

14)dy = (x + y)dx;

15¤) xyy0 ¡ y2 + ax3 cos x = 0;

Указание: ввести новую функцию u(x) = y2.

1) y00		¡ 9y0 + 8y = 0;			5) y00		¡ 10y0 + 9y = 0;
2) y00		¡ 10y0 + 25y = 0;			6)	y00	¡ 6y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3)	y00	+ 8y0 + 25y = 0;
4)	y00	+ 16y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;			7)	y00	+ 100y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	¡ 6y0	+ 13y = 5x + 4;		4)	y00	+ 8y0	+ 16y = cos 8x;
2)	y00	¡ 7y0	¡ 8y = 4 cos 2x ¡ sin 2x;		5)	y00	¡ 3y0	= 4x + sin 3x;
3) y00		¡ 2y0	+ y = ¡7ex;		6) y00		¡ 4y = ¡x + e2x;
7)	y00	¡ 9y0	+ 8y = 8e3x,	при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 2y0 + 5y = 3x2 + x ¡ 8, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 ¡ 100y = 8x3 ¡ 4x + 3.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	y00		2y0 + y = ex			2) y00 + 8y0 + 16y = cos 8x;
1)		¡		x2	;	Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

8

Вариант №9

Решить дифференциальные уравнения:

1)yy0 = 1 ¡ 2x; y

2)(y + x tg xy )dx = xdy;

3)xy0 + y ¡ ex = 0;

4) y0		¡		y	=		1			;
				x		1 + ln2 x
5) y0		¡		y	= 1 + ln x;
				x
6)	y0 cos x + y sin x = 1;
7)	xy0 = y(1 + ln y							¡		ln x)	;
					2x ¡ 1
8)	y0	¡	y				= 1		;
					x2

Линейные однородные уравнения:

9)(1 ¡ x2)y0 + xy = 2;

10)y00 ¡ x = 4 tg2 x;

11)y00 ¡ xex ¡ x2 = 0;

12)x3y00 + x2y0 = 0;

13)x2(y + 1)dx + (x3 ¡ 1)(y ¡ 1)dy = 0;

14)2x3y0 = y(2x2 ¡ y2);

15¤) 3xy2y0 + y3 ¡ 2x = 0;

Указание: ввести новую функцию u(x) = y3.

1) y00		+ 9y0	+ 8y = 0;		5) y00		¡ 8y0 ¡ 9y = 0;
2) y00		+ 10y0 + 25y = 0;			6)	y00	¡ 7y0	= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3)	y00	+ 8y0	+ 17y = 0;
4)	y00	¡ 25y0 = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;			7)	y00	+ 144y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	+ 8y0	+ 25y = 5x + 8;		4)	y00	+ 2y0	+ 2y = sin 3x;
2)	y00	¡ 4y0	+ 3y = 3 sin 4x + 5 cos 4x;		5)	y00	¡ 8y0	= 7x + e¡x;
3)	y00	¡ 4y0	+ 4y = 3e2x;		6)	y00	+ 5y = 3x + 1 ¡ sin 5x;
7)	y00	+ 6y0	+ 8y = 5e9x,	при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 + 3y0 + 2y = 7x2 + 4x ¡ 3, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 ¡ 4y = 7x3 + 2x2 ¡ 3.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	1) y00 + 16y =	16	;	2) y00 ¡ 4y0 + 4y = 3e2x;
		sin 4x
				Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

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Вариант №10

Решить дифференциальные уравнения:

	1)	yy0 =	1 ¡ 2x	;
			y
	2)	xdy ¡ ydx = p				dx;
					x2 + y2

3)y0 + 2xy = lnxxe¡x2 ;

4)y ¡ xy0 = 2(1 + x2y0);

5

5)y0 + y tg x = y 2 sin x;

6)y0 = xy + 2 sec xy ;

7)(x + y)dx + xdy = 0;

8)p4 xy0 = 2y + 1;

Линейные однородные уравнения:

p

9) y0 + 2xy = cos2 2yx;

10) y00 = 1 ;

4py

11)2xy00 = y0;

12)y00 ¡ xex = x2;

13)dx = (2ye¡y2 ¡ 2xy)dy;

14)xy0 + 2y + x5y3ex = 0;

15¤) 3(y2 ¡ x2)y0 + 2y3 ¡ 6x(x + 1)y ¡ 3ex = 0;

Указание: ввести новую функцию u(x) = y3 ¡ 3x2y.

1) y00		¡ 8y0 + 12y = 0;				5) y00		+ 8y0 ¡ 20y = 0;
2) y00		+ 14y0		+ 49y = 0;		6)	y00	+ 5y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3) y00		¡ 6y0	+ 10y = 0;
4)	y00	¡ 7y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;				7)	y00	+ 169y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	+ 3y0	¡ 18y = ¡5x + 8;			4)	y00	¡ 14y0 + 48y = sin 6x;
2)	y00	+ 2y0	+ 37y = 4 cos 8x ¡ 7 sin 8x;			5)	y00	+ 11y0 = x + e2x;
3)	y00	¡ 10y0		+ 25y = e5x;		6)	y00	¡ 11y = 2x ¡ 3 + sin 3x;
7)	y00	+ 24y0		+ 144y = 12e7x,	при y(2) = 0,		y0(2) = ¡1;

8)y00 + 10y0 + 21y = ¡5x2 + 2x ¡ 1, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 100y = x3 + x2 + 1.

Решить методом	вариации произвольной постоянной:
1) y00 + y = 2 ctg x;	2) y00 ¡ 10y0 + 25y = e5x;
	Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные
	неоднородные уравнения" .

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