Математика.ТР Определенные интегралы

					Вариант №1
1. Вычислить определённые интегралы:						R
	R	ex µ1 +		¶dx;
	¼=4		e¡x		3)	2	xe¡xdx;
1)	0		cos2 x			1
	R					0
2)	¼=3	sincosxx dx;			4)		x sin 2xdx.
						R
						¼=4

¼=4 e

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x2; y = 0; x = 1; x = 2;

¼

¼

2) y = cos x; y = 0; x = 4

; x = 2 .

3. Вычислить двойные интегралы:

2)

RR xydxdy; D : fx = y; x = y2g;

1)

(12x3y3 ¡ 6xy)dxdy;

D : fx = 1; y = x2; y = ¡p

x

g;

D

RR

D

3)

RR

y sin xydxdy; D : fy = ¼=2; y = ¼; x = 1; x = 2g.

D

4. Изменить порядок интегрирования:

p

p

0

1¡x2

1

y

2

1

1)

¡R

pxR2 2

R

R

R

lnRy

dx

f(x; y)dy;

3) dy

f(x; y)dx +

dy

f(x; y)dx.

1

+1

0

0

1

2) Ra dx

2aR¡x

f(x; y)dy;

0x

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fx = 5 ¡ y2; x = ¡4yg;	в) F : fy = x; y = 2x; x + y = 6g.
б) F : fy = ln x; y = ¡1; x ¡ y = 1g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

б)	RR e¡x2¡y2 dxdy;	D : fx2	+ y2 6 100; x 6 0g.
а)	f(x; y)dxdy;	D : fx2	¡ 2x + y2 6 0; y2 ¡ 2y + x2 6 0g;

D

RR

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = 2 + x + y; z = 0; x + y = 1; x = 0; y = 0;

б) z = 4 ¡ x2 ¡ y2; z = 0; x = 1; x = ¡1; y = 1; y = ¡1; в) z = xy4 ; x2 + y2 = 400; z = 0; (x; y; z > 0).

1

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2 + y5 = 1; x > 0; y > 0; ½(x; y) = x + y.

9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины: x + y = 2; x = 2; y = 2.

10.Найти длину дуги следующих кривых:

		¼			¼
	а) y = ¡ ln j cos xj;				6 x 6		;
			4			3
	б) r = a(1 + cos ') – кардиоида.
	11. Вычислить криволинейные интегралы:
	а) ydx + zdy + xdz;				L : fx = cos t; y = sin t; z = t; 0 6 t 6 2¼g;
		L
		R						x		y
	б) R xdy; L – отрезок прямой								+		= 1 от точки (a; 0) до (0; b).
								a
		L								b
	12. Тройные интегралы:
	а)	RRR			D : fz = xy; y = x; x = 1; z = 0g;
		xy2z3dxdydz;

D

б) найти объём тела, ограниченного поверхностью: x2 + y2 + 4z2 = 1.

2

								Вариант №2
1. Вычислить определённые интегралы:									R
	R
	¼=4	x			x		2		¼=3
1)	0	³sin	2	¡ cos	2	´	dx;	3)	0	tg xdx;
	R								0		¡
	¼=2								R
2)		ex ln x cos xdx;						4)	1	(x 7) sin xdx.

¼=4

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = x3; y = p				;					2) xy = 1; x = 1; x = 4; y = 0.
			x
3. Вычислить двойные интегралы:
1)	RR	e2x¡3ydxdy;			D :	f	x = 0; y = 0; 2x + y = 0			g;
	D
		2
2)	RR2¼				D : fx2 + y2 6 9; y >			2	x + 3g;
	D	(3x + y)dxdy;						3
3)	R cos2 xdx R ydy.

00

4.Изменить порядок интегрирования:

2

2¡x

p

p

1

x

2

2 x2

1) ¡R6 dxx2=R4¡1 f(x; y)dy;

R

R

R

R

3)

0

dx

0

f(x; y)dy +

1

dx

0¡

f(x; y)dy.

2) R1 dx Rx2 f(x; y)dy;

00

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = x2; y = 2 ¡ xg;	в) F : fy > 2 ¡ x; y > x ¡ 4; 0 6 y 6 2g.
б) F : fy = 9 ¡ x2; y = x2 ¡ 9g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а)	f(x; y)dxdy; D : fx2			¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 4x + y2 = 0; y = x; y = p3xg;
	RR
	D
б)	RR p			D : fx2 + y2 6 Rx; x 6 0g.
	R2 ¡ x2 ¡ y2dxdy;
	D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = y2 ; 2x + 3y ¡ 12 = 0; 2

б) y2 + z2 = x; z = 0; x = y;

в) z = 0; 2 ¡ x ¡ y ¡ 2z = 0; y = x2; y = x.

3

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями:

3y = x2; y = 3; ½(x; y) = x2 + 1.

9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины:

xy = a2; xy = 2a2; x = 2y; 2x = y; (x; y > 0).

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) y = a ln

a2

; 0 6 x 6 b < a;

a2 ¡ x2

б) x = 2t; y = 3t2; 0 6 t 6 1.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)

ydx + xdy;

L – четверть окружности fx = r cos t; y = r sin t; 0 6 t 6 ¼=2g;

L

R

L : fy = x2g от точки (0; 0) до (2; 4).

б) R (x2 ¡ y2)dx + 3dy;

L

12. Тройные интегралы:

а)

RRR

D : fx2 + y2 + z2 = 1; z = 0; z > 0g;

xzdxdydz;

D

б) найти объём тела, ограниченного поверхностями:

x2

+

y2

= 2z;

x2

+

y2

= 1; z = 0; b > a > 0.

a

b

a2

b2

4

					Вариант №3
1. Вычислить определённые интегралы:
e2 p						1=2
		ln x
1) R0			dx;		3)	R0	arccos xdx;
		x
2	2					4
2) R0	x			dx;	4)	R0	ln (1 + x)dx.
	x3 + 1

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) y = 2x ¡ x2; y = ¡x + 2; x = 0;								2) y2 = 4x; x = 3.
3. Вычислить двойные интегралы:
1)	RR		x2				D : f0 6 x 6 1; 0 6 y 6 1g;
						dxdy;
	D		1 + y2
2)	RR sin x + ydxdy;						D : fx = y; y = ¼=2; x = 0g;
	D
			p
	1			y
3) R		dy R (x ¡ y)dx.

0y

4.Изменить порядок интегрирования:

1

x2

p

2¡p

p

x; y dy

3

4¡x2

2

4¡x2

1

p1¡x

R

R

R

R

f(x; y)dy.

1) R0 dxxR3

f(

) ;

3) 0 dx

0

f(x; y)dy+p3 dx

0

2

2) ¡R1 dx R0

f(x; y)dy;

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F :

f

y = x2 + x; y = 2 + x

g

;

в) F :

f

x = py; y = 0; x + y = 2

g

.

б) F : fy = (x ¡ 1)2; y = 0; x = 0; x = 2g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а) RR f(x; y)dxdy; D : fy2 ¡ 2y + x2 = 0; y2 ¡ 4y + x2 = 0; y = x; x = 0g;

D

б) RR dxdy; D : fx2 + y2 = 4; x + y = 2g. Здесь D – меньшая из 2-х областей.

D

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x + z = 6; z = 0; y = px; y = 2px;

б) z = xy3 ; z = 0; x2 + y2 = 3x; x; y; z > 0;

в) y = x2; x = y2; z = 0; z = 12 + y ¡ x2.

5

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y = x2 ¡ 1; y = x + 1; ½(x; y) = 2y + 1.

9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины:

y = x2; x + y = 2; y = 0.

10. Найти длину дуги следующих кривых:

а) y =	x2		1	ln x; 1 6 x 6 e;
		¡
	4		2

б) r = a'; 0 6 ' 6 2¼ – архимедова спираль.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а) R y2dx + x2dy; L – верхняя половина эллипса fx = a cos t; y = b sin tg;

L

б) R (xy ¡ y2)dx + xdy; L : fy = 2x2g от точки (0; 0) до (1; 2).

L

12. Тройные интегралы:

а) RRR (x + y + z)dxdydz; D : f0 6 x 6 a; 0 6 y 6 b; 0 6 z 6 cg;

D

б) определить координаты центра масс верхней половины шара радиуса R, с центром в начале координат: ½(x; y) = °0.

6

							Вариант №4
1. Вычислить определённые интегралы:								R
	R
	¼=4	2		5				¼=4
1)	¼=3	µ	cos2 x	¡	sin2 x	¶dx;	3)	0	x2 cos xdx;
	¼=6							1
2)	R0	cos3 x sin 2xdx;					4)	R0	(4 ¡ x)e¡3xdx.

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

1) x = p3

; x = 1; y = 1;

2) y = p

y ¡ 2

x; y = x.

3. Вычислить двойные интегралы:

2)

RR (x ¡ y)dxdy; D : fy = 2 ¡ x2; y = 2x ¡ 1g;

¼

1)

D

x sin (x + y)dxdy; D : f0 6 x 6 ¼; 0 6 y 6

2

g;

RR

x2

D

3)

RR

dxdy;

D : fxy = 1; y = x; x = 2g.

D

y2

4. Изменить порядок интегрирования:

1

1¡x2

p

a

2a2¡x2

1)

¡R

¡p1R¡x

f(x; y)dy;

2)

R0

3

R

dx

dx

f(x; y)dy;

1

2

x

1

x

2

2¡x

3) R0

dx R0

f(x; y)dy + R1

dx

R0

f(x; y)dy.

5. Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F :

f

y =

x2

; y = 4x ;

б) F : fy = 2x; y = 0; x = 3; x = 0g;

2

g

в) F : fx2 + (9 + y)2 = 9; x; y 6 0g.

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а)

RR

y

2

2

2

2

¡ 6x + y2

x

p

D

RR

б)

arctg

dxdy;

D : fx

+ y

= 1; x

+ y

= 9; y = p

; y =

3xg.

x

D

3

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) z = 0; x2 + y2 = 1; x + y + z = 4;

б) z2 = x2 + y2; z = 0; x2 + y2 ¡ 4x = 0; в) x2 + y2 + z2 = 9; x; y; z > 0.

7

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: y = x2 ¡ 3; 3x + y = 1; ½(x; y) = x2y2.

9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины:

		(x ¡ a)2 + (y ¡ a)2 = a2; x = 0; y = 0; 0 6 x 6 a.
10.	Найти длину дуги следующих кривых:
	а) y = 2 ch			x	; 0 6 x 6 2;
				2
	б) x = cos2 t; y = sin2 t; 0 6 t 6 ¼=4.
11.	Вычислить криволинейные интегралы:
	а)	R
		ydx ¡ xdy; L – отрезок прямой от точки (0; 0) до (1; 2);
		L
	б)	R				L – арка циклоиды: fx = t ¡ sin t; y = 1 ¡ cos t; 0 6 t 6 2¼g.
		(2 ¡ y)dx + xdy;
		L
12.	Тройные интегралы:
	а) RRR			dxdydz		; D : fx + y + z = 1; x = 0; z = 0g;

D(1 + x + y + z)3

б) найти объём тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2; z = 2x2 + 2y2; y = x; y = x2.

8

					Вариант №5
1. Вычислить определённые интегралы:
	¼=4					1
1)	R	tg2 xdx;			3)	R0	arcsin xdx;
	0
	R					0
	¼=3		cos			2
2)				dx;	4)	R	x2e¡2xdx.
	¼=4		sin x3x

2.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями:

			x2		2) y = sin x; y = 0; x = ¼=3; x = ¼=2.
1)	y = x; y =			;
			4
3. Вычислить двойные интегралы:
2)	RR x2ydxdy; D : fy = x2; y = xg;
1)	(6xy ¡ 12x3y3)dxdy;				D : fx = 1; y = x2; y = ¡p	x	g;
	D
	RR¼	2
	D
3)	R sin2 xdx R ydy.

00

4.Изменить порядок интегрирования:

2

2¡y

x2

p

1

2

2 x3

1

p

R

R

R

R

1) R1

dy R0

f(x; y)dx;

3)

dx 0

f(x; y)dy + 1

dx

¡

f(x; y)dy.

0

0

y

2) R

dy R f(x; y)dx;

0y

5.Вычислить площадь фигуры с помощью двойного интеграла:

а) F : fy = ¡x2; x + y + 2 = 0g;			в) F : f9x2 + y2 = 9; x 6 0; y > 0g.
б) F : fy = 2p
	x; y = 8 ¡ x; y = 0g;

6. Перейти к полярным координатам и в пункте б) вычислить двойной интеграл:

а) f(x; y)dxdy;	D : fx2 ¡ 2x + y2 = 0; x2 ¡ 4x + y2 = 0; y = x; y = 0g;
D	p
RR
б) RR (x2+y2)dxdy;	D – область ограниченная дугой окружности x2+y2 = 25; лежащей в I
D

четверти, и прямыми линиями y = x; y = 3x.

7.С помощью двойного интеграла вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

а) x2 + y3 + z6; x = 0; y = 0; z = 0;

б) z = x2 + y2; z = 0; x + y = 1; x = 0; y = 0; в) z = 4 ¡ y2; z = 0; y = 21x2 .

9

8.Найти координаты центра тяжести фигуры, образованной линиями: x2 + y2 = 9; y > 0; ½(x; y) = c.

9.Найти момент инерции Ix для однородной пластины прямоугольной формы: x = a; y = b; x = 0; y = 0; (a; b > 0).

10.Найти длину дуги следующих кривых:

а) r = a(1 ¡ cos ') – кардиоида;

б) x = 3t3; y = 3t ¡ t3; 0 6 t 6 1.

11. Вычислить криволинейные интегралы:

а)	xdy ¡ ydx; L : fx = 2(t ¡ sin t); y = 2(1 ¡ cos t); 0 6 t 6 2¼g;
L
R	2xydx + x2dy; L – отрезок прямой от точки (0; 0) до (2; 4).
б) R
L

12. С помощью тройного интеграла найти:

а) объем фигуры F : fz = x2 + y2; x2 + 2x + y2 = 0; z = 0g;

б) найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями: z = 21y2 ; x + 3y ¡ 12 = 0; x = 0; y = 0; z = 0.

10