Математика.ТР Дифференциальные уравнения

Вариант №11

Решить дифференциальные уравнения:

1)y0 ctg x + y = 2;

2)(y + x tg xy )dx = xdy;

3)y0 + 2xy = e¡x2 cos(2x + 3);

y 1

4)y ¡ = p ; x 3 x

5)y0 = xy ln xy ;

6)(x2 + y2)dx + 2xydy = 0;

7)2y0x ¡ 1 = y2;

8)y0 + y tg x = (x + 1)y2;0

Линейные однородные уравнения:

9)y0 cos x = (3y ¡ 1) sin x;

10)x3y00 + x2y0 = 1;

11)y00 ¡ x sin x = 0;

12)yy00 + (y0)2 = 1;

13)y ¡ y0 = y2 + xy0;

14)(x2y ln y ¡ x)dy = ydx;

15¤) y0 cos y ¡ cos x sin2 y ¡ sin y = 0;

Указание: ввести новую функцию u(x) = sin y.

1) y00		¡ 4y0 ¡ 12y = 0;				5) y00		¡ 12y0 + 20y = 0;
2) y00		¡ 14y0		+ 49y = 0;		6)	y00	¡ 5y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3)	y00	+ 6y0	+ 10y = 0;
4)	y00	+ 7y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;				7)	y00	+ 196y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	+ 9y0	+ 18y = ¡4x ¡ 7;			4)	y00	¡ 2y0 ¡ 48y = cos 6x;
2)	y00	¡ 2y0	+ 37y = 3 cos 4x ¡ 2 sin 4x;			5)	y00	+ 10y0 = 2x ¡ 3 ¡ e7x;
3)	y00	+ 10y0		+ 25y = e¡5x;		6)	y00	+ 10y = 3x + 1 + cos 4x;
7)	y00	¡ 24y0		+ 144y = 3e5x,	при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 + 4y0 ¡ 21y = 5x2 + 3x ¡ 8, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 81y = 3x3 ¡ 12x2 + 7.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	1) y00	¡	2y0 + y =	ex	;	2) y00 ¡ 2y0 ¡ 48y = cos 6x;
				x
						Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

11

Вариант №12

Решить дифференциальные уравнения:

1) dy = y2(2x ¡ 7)dx;

9) y0x2 + (1 ¡ 2x)y ¡ x2 = 0;

2)

2

2

)dy + 2xydx = 0;

4

(y

¡ 3x

10)

y00

¡ x2 =

;

cos2 x

3) xy0 + y ¡ ex = 0;

11)

1 + (y0)

2

= 2yy0;

y2

4)

y0

=

¡ 2;

12)

(1 + x2)y00 + (y0)2 + 1 = 0;

x2

2

2

5)

y0

=

y

¡ 2xy ¡ x

;

13)

(x + 1)(y0 + y2) = ¡y;

2

2

y

+ 2xy ¡ x

14)

y0(2y ln y + y + x) = y;

6)

y0 sin2 x = y ln y;

15¤) y0cosy + x sin y cos2 y ¡ sin3 y = 0;

7)

y0

+ y tg x = y4 cos x;

8)

dy(x2 ¡ 36) = sin2 ydx;

Указание: ввести новую функцию

u(x) = tg y.

Линейные однородные уравнения:

1) y00

+ 4y0 ¡ 12y = 0;

5) y00

+ 12y0 + 20y = 0;

2) y00

+ 16y0 + 64y = 0;

6)

y00

+ 6y0

= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3) y00

¡ 6y0 + 18y = 0;

4)

y00

¡ 8y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 225y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

+ 11y0 + 24y = ¡2x + 3;

4)

y00

+ 14y0 + 48y = sin 5x;

2)

y00

+ 28y0 + 196y = 4 sin 2x ¡ 3 cos 2x;

5)

y00

+ 9y0

= ¡x + 1 + 3e3x;

3)

y00

¡ 8y0 + 16y = e4x;

6)

y00

¡ 9y = x + 2 + sin 3x;

7)

y00

+ 3y0 ¡ 28y = 2e3x,

при y(2) = 0, y0(2) = ¡1;

8)y00 + 6y0 + 34y = 3x2 + 3x ¡ 3, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 64y = ¡x3 + 2x2 + 4.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	y00		2y0y = ex			2) y00 + 14y0 + 48y = sin 5x;
1)		¡		x	;	Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

12

Вариант №14

Решить дифференциальные уравнения:

1) x3y0 + y = y2;

9)

dx

=

dy

;

y + x

y ¡ x

2)

(5p

¡ y)dx + xdy = 0;

xy

3)

y0

y

1

;

10)

1 + (y0)2 = 2yy00;

¡

=

x

2

x

11)

2

y00 + xy0 = 1;

1 + ln

x

y

4)

y = 0

;

12)

y00

+ x3 = ln x;

xy0 + xex

¡

5)

y0(sin2 x + 1) = tg y cos x;

13)

xdy + (y ¡ x ¡ 1)dx = 0;

1

y2

6)

y0

+

y =

;

14)

xy2y0

= x2 + y3;

x

x

7)

(ln2 x)dy =

sin y

dx;

15¤) xy0 ln x sin y + cos y(1 ¡ x cos y) = 0;

x

Указание: ввести новую функцию

8)

y0 + y tg x = y4 tg x;

u(x) = cos y.

Линейные однородные уравнения:

1) y00

+ 8y0 + 12y = 0;

5) y00

¡ 8y0 ¡ 20y = 0;

2) y00

¡ 16y0 + 64y = 0;

6)

y00

¡ 6y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3)

y00

+ 6y0 + 18y = 0;

4)

y00

+ 8y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 25y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

¡ 5y0 ¡ 24y = ¡3x + 4;

4)

y00

+ 2y0

¡ 48y = cos 5x;

2)

y00

¡ 28y0

+ 196y = 2 sin 4x ¡ 2 cos 4x;

5)

y00

+ 8y0

= x + 1 + 7e4x;

3)

y00

+ 8y0 + 16y = e¡4x;

6)

y00

¡ 8y = ¡3x ¡ 2 ¡ cos 2x;

7)

y00

+ 11y0

+ 28y = 3e4x,

при y(2) = 0, y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 6y0 + 34y = x2 ¡ 3x + 5, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 49y = 8x3 ¡ 5x ¡ 2.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00 + 4y0 + 4y = e¡2x ln x;	2) y00 + 2y0 ¡ 48y = cos 5x;
	Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные
	неоднородные уравнения" .

13

Вариант №15

Решить дифференциальные уравнения:

1)	y0 = 4 sin x ¡ x2 ¡ y;
2)	xdy ¡ ydx = p		dx;
		x2 ¡ y2

3)y0 ¡ y ctg x = 2x sin x;

4)xy0 + y3 = 1;

5)y0 ¡ xy = 1 + ln x;

6)dy = y(3x ¡ 4)dx;

7)y0 + y tg x = y3;

8)y0 = xy + tg xy ;

Линейные однородные уравнения:

9)xy0 = y ¡ xex;

10)xy00 + y0 ¡ x ¡ 1 = 0;

11)y00 ¡ x3 = e5x;

12)2yy00 + (y0)2 + (y0)4 = 0;

13)xdy ¡ 2ydx + x2dx = 0;

14¤) (x2 + y2)(yy0 + x) = y ¡ xy0;

Указание: ввести новые функции u(x) = x2 + y2; v(x) = xy .

1) y00		¡ 8y0 + 15y = 0;				5) y00		¡ 7y0 + 12y = 0;
2)	y00	¡ 18y0		+ 81y = 0;		6)	y00	+ 7y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3) y00		¡ 4y0	+ 18y = 0;
4)	y00	¡ 9y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;				7)	y00	+ y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	¡ 11y0		+ 24y = ¡6x ¡ 1;		4)	y00	¡ 15y0 + 56y = sin 4x;
2)	y00	¡ 26y0		+ 169y = 3 cos 5x ¡ 2 sin 5x;		5)	y00	+ 7y0 = 6x ¡ 5e5x;
3)	y00	¡ 6y0	+ 9y = e3x;			6)	y00	¡ 7y = ¡2x ¡ 1 + 3 sin 4x;
7)	y00	¡ 3y0	¡ 28y = 6e7x,		при y(2) = 0,		y0(2) = ¡1;

8)y00 + 4y0 + 29y = ¡2x2 + 3x + 7, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 36y = 7x3 ¡ 4x + 3.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00 + y0 = tg x;	2) y00 ¡ 6y0 + 9y = e3x;
	Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные
	неоднородные уравнения" .

14

Вариант №16

Решить дифференциальные уравнения:

1)

y0 sin3 x cos2 x = y2 + 1;

9)

y ¡ xy0 = 4(1 + x2y0);

2)

2xydx ¡ (x2 + y2)dy = 0;

10)

y00

¡ xlnx = 0;

e¡x2

2

3)

y0

+ 2xy =

;

11)

y00

+

(y0)2 = 0;

x

1 ¡ y

1

y4

4)

y0

+

y = p

;

12)

y00x ¡ ln x = y0;

x

x

5)

y0 + xy2 = 0;

13)

x2y0 + y2 ¡ 2xy = y0;

6)

y0 cos x + y sin x = 1;

14)

ydx + (x ¡ yey)dy = 0;

y2

15¤) (y2 + x4)y0 ¡ 4x3y = 0;

7) y0

=

¡ 7;

x2

y

y

Указание: ввести новую функцию

8)

(x ¡ y) cos

dx + x cos

dy = 0;

y = §u(x).

x

x

Линейные однородные уравнения:

1) y00

¡ 2y0 ¡ 15y = 0;

5) y00

¡ y0 ¡ 12y = 0;

2) y00

+ 18y0 + 81y = 0;

6)

y00

¡ 7y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3)

y00

+ 4y0 + 18y = 0;

4)

y00

+ 9y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 4y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

+ 5y0 ¡ 24y = ¡5x + 7;

4)

y00

¡ y0

¡ 56y = cos 4x;

2)

y00

+ 26y0

+ 169y = 6 cos 4x ¡ 5 sin 4x;

5)

y00

+ 6y0 = 7x + 6e7x;

3)

y00

+ 6y0 + 9y = e¡3x;

6)

y00

¡ 6y = ¡x + 1 + 2 sin 3x;

7)

y00

¡ 11y0

+ 28y = 5e6x,

при y(2) = 0,

y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 4y0 + 29y = ¡4x2 ¡ 5x + 2, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 25y = 6x3 ¡ 5x + 2.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00 + y0 =	1		;	2) y00 ¡ y0 ¡ 56y = cos 4x;
	1 + e	x
				Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

15

Вариант №17

Решить дифференциальные уравнения:

1)

y0 = (27 + x3)y2

;

10)

y00

1

;

= ¡

x + y

2y3

2)

y0

=

;

y ¡ x

y0

x

y

11)

y00

=

+

;

3)

y0

¡

3

+ 4;

2

y0

= x

x

12)

y00

¡ x2 + 2x ln x = 0;

4)

xyy0 = 1 ¡ x2;

5)

y0 cos x ¡ y sin x = 2x;

13)

(x + y)2y0

= y2;

6)

(x + 2y)dx ¡ xdy = 0;

14)

y0

+

x

y = p

;

7)

xy0 = y(1 + ln y

ln x);

y

¡

1 ¡ x2

15¤) (y2 + 4 sin x)y0 = cos x;

8)

y0 sin x = y ln y;

9)

y0

¡

2y

= (x + 1)3;

Указание: ввести новую функцию

u(x) = sin x.

x + 1

Линейные однородные уравнения:

1) y00

+ 8y0 + 15y = 0;

5) y00

+ 7y0 + 12y = 0;

2)

y00

¡ 20y0 + 100y = 0;

6)

y00

+ 8y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3) y00

¡ 6y0 + 25y = 0;

4)

y00

¡ 10y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 9y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

¡ 11y0 + 30y = 6x ¡ 3;

4)

y00

+ 15y0 + 56y = sin 3x;

2)

y00

¡ 8y0 + 52y = 8 cos 4x ¡ 3 sin 4x;

5)

y00

+ 5y0 = 6x + 5e8x;

3)

y00

¡ 4y0 + 4y = e2x;

6)

y00

¡ 5y = 5x + 4 ¡ 7 cos 7x;

7)

y00

¡ 32y0 + 256y = 3e4x,

при y(2) = 0, y0(2) = ¡1;

8)y00 + 2y0 ¡ 35y = 7x2 + x ¡ 1, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 16y = 5x3 ¡ 4x2 + 1.

Решить методом	вариации произвольной постоянной:
1) y00 + y = 4 ctg x;	2) y00 ¡ 4y0 + 4y = e2x;
	Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные
	неоднородные уравнения" .

16

Вариант №18

Решить дифференциальные уравнения:

1) y0 = x tg y;

9) y0 =

1 + y2

;

2)

y0

y

;

1 + x2

=

x + y

10)

y00

¡ 2 ctg xy0 = sin3 x;

1

ln x

3)

y0

+

y = p

p

;

11)

y00

¡ x = tg2 x;

y

x

x

4)

y0

+ 2y = cos x;

12)

yy00 = (y0)2;

5)

(xy0 ¡ y) arctg

y

= x;

13)

3y2y0 + y3 ¡ x = 0;

x

y

14)

2

2

dy = (y ¡ 1)dx;

x

y

6)

xy0 = xex + y;

15¤) xy(2xy0 ¡ y) = xy2(xy0 + y);

7) y0 = x(y3 + 8);

2x ¡ 1

Указание: ввести новые функции

8)

y0

y

= 1

;

y2

¡

x2

u(x) = x ; v(x) = xy.

Линейные однородные уравнения:

1) y00

+ 2y0 ¡ 15y = 0;

5) y00

+ y0 ¡ 12y = 0;

2)

y00

+ 20y0 + 100y = 0;

6)

y00

¡ 8y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3)

y00

+ 6y0 + 25y = 0;

4)

y00

+ 10y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 16y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

¡ y0 ¡ 30y = 5x + 2;

4)

y00

+ y0 ¡ 56y = cos 3x;

2)

y00

+ 8y0 + 52y = ¡ sin 5x + 2 cos 5x;

5)

y00

+ 4y0 = 5x + 4e6x;

3)

y00

+ 4y0 + 4y = e¡2x;

6)

y00

¡ 4y = 4x + 3 + 6 cos 5x;

7)

y00

¡ 30y0 + 225y = 5e2x,

при y(2) = 0,

y0(2) = ¡1;

8)y00 + 12y0 + 35y = 7x2 + 2x + 4, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 9y = 4x3 ¡ 3x2 + x.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00 ¡ 2y0 + y =	p	ex		;	2) y00 + y0 ¡ 56y = cos 3x;
		4 ¡ x	2
					Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

17

Вариант №19

Решить дифференциальные уравнения:

1) y0 tg x ¡ 3y = 1;

9) (1 ¡ x2)y0 + xy = 2;

2)

y0

=

x + 2y

;

10)

y00(x2 + 1) = 2xy0;

2y ¡ x

1

11)

y00

¡ x = x sin x;

3)

y0

¡

y tg x =

;

cos x

12)

y00

= 2yy0;

4)

(x ¡ y)ydx ¡ x2dy = 0;

13)

y0(x + y5) = y;

5)

y2 + x2y0 = xyy0;

6)

y0

x+y

;

14)

y0

+ 2xy = 2xy3;

= 10

x

7)

y0

¡

y

¡

1

¡

x = 0

;

15¤) x(y2 + x3 ¡ 1)y0 ¡ y(y2 + x2 + 1) = 0;

1 ¡ x2

Указание: ввести новые функции

u(x) = xy; v(x) =

y

8)

y0 cos x = y ln y;

.

x

Линейные однородные уравнения:

1) y00

¡ 9y0 + 18y = 0;

5) y00

¡ 10y0 + 21y = 0;

2)

y00

+ 22y0

+ 121y = 0;

6)

y00

¡ 9y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3) y00

¡ 2y0 + 26y = 0;

4)

y00

+ 11y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 25y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

+ 11y0 + 30y = 4x ¡ 1;

4)

y00

¡ 14y0 + 45y = sin 2x;

2)

y00

¡ 6y0 + 45y = 2 sin 4x + 3 cos 4x;

5)

y00

+ 3y0 = 4x + 3e5x;

3)

y00

¡ 2y0 + y = ex;

6)

y00

¡ 3y = 3x + 2 + 5 sin 4x;

7)

y00

¡ 36y0 + 324y = 7e¡x, при y(2) = 0,

y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 2y0 ¡ 35y = ¡x2 + 1, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 4y = 3x3 ¡ x2 + 4.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00	¡	6y0	+ 8y =	4		;	2) y00 ¡ 14y0 + 45y = sin 2x;
				2 + e¡	2x
							Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

18

Вариант №20

Решить дифференциальные уравнения:

1) y0 = x(y3 + 8);

9) y0 =

y2 ¡ 2xy ¡ x2

;

2) y0 =

y

+ tg

y

;

y2 + 2xy ¡ x2

10)

y00

x

x

¡ x = 4 tg2 x;

3)

y0

= 2xy + x3;

11)

yy00 = (y0)2;

4)

y0

=

x2 + 2y2

;

12)

y00

¡ 2y0 ctg x = sin3 x;

2y2 ¡ x2

5)

sin2 xdy = 3y2dx;

13)

(5p

¡ y)dx + xdy = 0;

xy

6)

y0

¡

y 2x ¡ 1

= 1

;

14)

xdy = (y + 3x2)dx;

x2

15¤) y0 = (y + x)2;

7)

xy0 + y = y2;

Указание: ввести новую функцию

8)

y0 + y tg x = y2 sin x;

u(x) = (y + x)2.

Линейные однородные уравнения:

1) y00

+ y0 ¡ 30y = 0;

5) y00

+ 2y0 ¡ 35y = 0;

2)

y00

¡ 36y0 + 324y = 0;

6)

y00

+ 14y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3) y00

+ 8y0 + 52y = 0;

4)

y00

+ 22y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 256y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

¡ 4y0 ¡ 12y = 7x ¡ 8;

4)

y00

¡ 2y0 ¡ 63y = sin 8x;

2)

y00

+ 6y0 + 10y = 2 sin 3x ¡ 4 cos 3x;

5)

y00

+ 22y0 = 7x + 3 cos 8x;

3)

y00

+ 12y0 + 36y = e¡6x;

6)

y00

¡ 21y = 2x + 8 + 3 cos 8x;

7)

y00

+ 14y0 + 49y = 3e5x, при y(2) = 0,

y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 8y0 ¡ 20y = x2 + 7, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 ¡ 25y = ¡5x3 + 4.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	1) y00 + 4y =	4	;	2) y00 + 12y0 + 36y = e¡6x;
		cos 2x
				Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

19

Вариант №21

Решить дифференциальные уравнения:

1)xy0 + y = y3;

2)y0 = xy ¡ xy ;

3)y0 + 2xy = e¡x2+2x;

4)xyy0 = 1 ¡ x2;

5)y0 + x1 y = xy4;

6)2xy0 = (36 ¡ x2)y;

7)y0 + y tg x = y2 tg2 x;

8)(y2 ¡ 3x2)dy + 2xydx = 0;

Линейные однородные уравнения:

9)(xy0 ¡ y) arctg xy = 3x;

10)(1 + x2)y00 ¡ 2xy0 = 0;

11)y00 ¡ xex ¡ x2 = 0;

12)yy00 ¡ yy0 ln y = (y0)2;

13)(2x ¡ y2)y0 = 2y;

14)xy0 + y = y2;

15¤) y0 + ay(y ¡ x) = 1;

Указание: ввести новую функцию u(x) = y ¡ x.

1) y00		+ 3y0	¡ 18y = 0;			5) y00		+ 4y0 ¡ 21y = 0;
2)	y00	¡ 24y0		+ 144y = 0;		6)	y00	+ 10y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3) y00		+ 2y0	+ 37y = 0;
4)	y00	+ 14y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;				7)	y00	+ 49y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	+ 8y0	+ 15y = 5x ¡ 8;			4)	y00	+ 4y0 ¡ 45y = sin 6x;
2)	y00	¡ 2y0	+ 26y = 3 sin 2x + 5 cos 2x;			5)	y00	+ 13y0 = x + e3x;
3)	y00	¡ 20y0		+ 100y = e10x;		6)	y00	¡ 12y = 2x + 3 + 2 cos 4x;
7)	y00	+ 20y0		+ 100y = 2e7x,	при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 4y0 ¡ 21y = 3x2 + 2x + 4, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 + 121y = ¡5x3 + 7x + 8.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	1) y00	¡	2y =	4e¡2x	;	2) y00 + 4y0 ¡ 45y = sin 6x;
				1 + e¡2x
						Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

20