Математика.ТР Дифференциальные уравнения

Вариант №22

Решить дифференциальные уравнения:

1) 3yy0 = 1 ¡ 2x; y

2)x ln xy dy ¡ ydx = 0;

3)y0 = 2xy + 5x3;

4)y0 + 3xy = x23 ;

5)xy0 ln2 x = y2 + 1;

6)y0 ¡ y tg x = cos1 x;

7)y0 = ¡x ¡x y ;

Линейные однородные уравнения:

8)y0 tg x = 1 + y;

9)y00 ¡ cos 3x + e¡x = 0;

10)(y0)2 + 2yy00 = 0;

11)x3y00 + x2y0 = 0;

12)ydx = (2x + y3 cos y)dy;

13)ydx = x(1 ¡ 2xy)dy;

14¤) (2x + 1)y0 ¡ 4e¡y + 2 = 0;

Указание: ввести новую функцию u(x) = ey.

1) y00		+ 9y0	+ 18y = 0;			5) y00		+ 10y0	+ 21y = 0;
2)	y00	+ 24y0		+ 144y = 0;		6)	y00	¡ 10y0	= 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3) y00		¡ 2y0	+ 37y = 0;
4)	y00	+ 13y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;				7)	y00	+ 64y = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	+ 2y0	¡ 15y = 4x + 7;			4)	y00	+ 14y0	+ 45y = cos 6x;
2)	y00	+ 2y0	+ 26y = 5 cos 6x ¡ 7 sin 6x;			5)	y00	+ 14y0	= 3x + 2e4x;
3)	y00	+ 20y0		+ 100y = e¡10x;		6)	y00	¡ 13y = ¡x + 4 + 7 sin 2x;
7)	y00	¡ 20y0		+ 100y = 3e5x,	при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 ¡ 10y0 + 21y = ¡2x2 ¡ 2x + 4, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 ¡ 13y = ¡6x3 + 8x2 + 1.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	1) y00 + 4y =	1	;	2) y00 + 20y0 + 100y = e¡10x;
		sin2 x
				Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

21

Вариант №23

Решить дифференциальные уравнения:

1)

p

dx = yxdy;

9)

y40x2 +3(1 ¡ 2x)y ¡ x2 = 0;

y2 + 1

2)

10)

(5pxy ¡ y)dx + xdy = 0;

y

¡ y y00 = 1;

3)

y0

=

y

;

11)

y00 tg x = y0 + 1;

2y ln y + y ¡ x

4) (xy

2

2

y)dy = 0;

12)

y00

= ln x ¡ x3;

+ x)dx + (3y ¡ 3x

13)

x2

(y + 1)dx + (x3 ¡ 1)(y ¡ 1)dy = 0;

5)

xy0 + y ¡ ex = 0;

6)

y2 + x2y0 = xyy0;

14)

xy0 = xy2 ¡ y;

7)

2x3y0 = y(2x2

¡

y2)

;

15¤) x2(y0 ¡ y2) ¡ ax2y + ax + 2 = 0;

Указание: ввести новую функцию

8)

y ¡ xy0 = 3(1 + x2y0);

u(x) = xy ¡ 1.

Линейные однородные уравнения:

1) y00

¡ 11y0

+ 24y = 0;

5) y00

+ 4y0 + 29y = 0;

2) y00

+ 11y0

+ 28y = 0;

6)

y00

+ 11y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3)

y00

+ 26y0

+ 169y = 0;

4)

y00

+ 15y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 81y = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

¡

9y0 + 18y = 7x + 8;

4)

y00

+ 15y0 + 54y = cos 4x;

2)

y00

¡

6y0 + 25y = 3 sin 2x ¡ cos 2x;

5)

y00

+ 15y0 = 2x + 3e3x;

3)

y00

¡

18y0

+ 81y = e2x;

6)

y00

¡ 14y = x + sin x;

7)

y00

¡

22y0

+ 121y = 4e15x, при y(2) = 0,

y0(2) = ¡1;

8)y00 + y0 ¡ 12y = x2 ¡ x, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 ¡ 144y = x3 + x.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	4e2x		2) y00 + 15y0 + 54y = cos 4x;
1) y00 ¡ 6y0 + 8y =		;
	1 + e¡2x		Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные
			неоднородные уравнения" .

22

Вариант №24

Решить дифференциальные уравнения:

1)xy0 + y = y2;

2)(2x ¡ y)dx ¡ xdy = 0;

3)ydx = (2x + y3 cos y)dy;

4)y0 ¡ 2xy = 3xy2;

x

= e

+

y

5)

y0

y

;

x

6)

y0

=

2xy

;

x2 ¡ y2

x ¡ y

7)

y0

+ sin

x + y

= sin

;

2

2

8)

xy0 ¡

y

= x;

x + 1

Линейные однородные уравнения:

9)yy0 = 1 ¡ 3x; y

10)y00x ln x = y0;

11)y00 = 1 ¡ x;

1 + x2

12)y00 = p1 + (y0)2;

y2

13)(e¡ 2 ¡ xy)dy ¡ dx = 0;

14)2x3y0 = y(2x2 ¡ y2);

15¤) (y ¡ x2)y0 + 4xy = 0;

Указание: ввести новую функцию y = xu(x).

	1) y00		¡ 5y0	¡ 24y = 0;		5) y00		¡ 4y0 + 29y = 0;
	2) y00		+ 3y0	¡ 28y = 0;		6)	y00	¡ 11y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
	3)	y00	¡ 26y0		+ 169y = 0;
	4)	y00	+ 16y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;			7)	y00	+ 100y = 0.
	Линейные неоднородные уравнения:
	1)	y00	¡ 3y0	¡ 18y = 10x ¡ 5;		4)	y00	¡ 15y0 + 54y = cos 3x;
	2)	y00	+ 6y0	+ 25y = 2 cos 5x ¡ sin 5x;		5)	y00	+ 16y0 = x + e2x;
	3)	y00	+ 18y0		+ 81y = e¡9x;	6)	y00	¡ 15y = 2x + sin 3x;
	7)	y00	+ 22y0		+ 121y = 7e13x, при y(2) = 0,	y0(2) = ¡1;

8)y00 + 7y0 + 12y = x2 + 7, при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)y000 ¡ 15y = x3 ¡ 1.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1) y00	¡	3y0	+ 2y =	1		;	2) y00 ¡ 15y0 + 54y = cos 3x;
				1 + e¡	x
							Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

23

Вариант №25

Решить дифференциальные уравнения:

1) e¡y(1 + y0) = 1;

2) y0 = xx ¡+ yy ;

3) y0 = y2 ¡ 2; x2

4)y0 + y = cos x;

5)y0 = xy + xy ln xy ;

6)2xy0 + y = y3;

7)y0 + 2y = ex;

8)sin y cos xdy = cos y sin xdx;

Линейные однородные уравнения:

9)x(y0 ¡ y) = (1 + x2)ex;

10)y00 = x3 + sin x;

11)2yy00 ¡ 3(y0)2 = 4y2;

12)2xy0y00 = (y0)2 + 1;

13)xdy = (y + y2)dx;

14)3y2y0 + y3 ¡ x = 0;

15¤) 3xy2y0 + y3 ¡ 2x = 0;

Указание: ввести новую функцию u(x) = y3.

1) y00

+ 11y0 + 24y = 0;

5) y00

+ 6y0 + 34y = 0;

2)

y00

¡ 11y0 +

28y = 0;

6)

y00

+ 12y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;

3)

y00

¡ 28y0 +

169y = 0;

4)

y00

+ 17y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;

7)

y00

+ 121y0 = 0.

Линейные неоднородные уравнения:

1)

y00

¡ 2y0

¡ 15y = 12x ¡ 8;

4)

y00

+ 3y0 ¡ 54y = sin 3x;

2)

y00

+ 6y0

+ 18y = 3 cos 9x + 4 sin 9x;

5)

y00

+ 17y0 = 2x + 4e6x;

3)

y00

¡ 16y0

+

64y = e8x;

6)

y00

¡ 16y = 3 + 4x + 2 cos 4x;

7)

y00

¡ 18y0

+

81y = 7e5x,

при y(2) = 0,

y0(2) = ¡1;

8)

y00

+ 12y0

+ 20y = 7x2 + 2x + 4,

при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9)

y000 ¡ 100y = 8x3 + 4x2 ¡ 3.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

1)

y00

¡

3y0

+ 2y =

1

;

2)

y00

+ 3y0 ¡ 54y = sin 3x;

3 + e¡

x

Сравни с ответом примера №4, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

24

Вариант №26

Решить дифференциальные уравнения:

1) (x + 1)3dy ¡ (y ¡ 2)2dx = 0;

p

2)

y0

tg x +

y

=

ln x + 1

;

cos2 x

x

3)

y0

arctg x +

y

= xex;

1 + x2

4)

xy0 = y +

x2

;

y ln

y

x

5)1 + (1 + y0)ey = 0;

6)y0 + 2xy = 2x2e¡x2 ;

7)(y ¡ x2y)xdy + dx = 0;

8)(x2 + y2)dx ¡ 2xydy = 0;

Линейные однородные уравнения:

9)xdy = (x5y2 ¡ 2y)dx;

10)y00 sin y = (y0)2 cos y;

11)(1 + x2)y00 ¡ 2xy0 = 0;

12)xy00 + y0 = ln x;

13)xy0 = y ln xy ;

14)y00 = p1 1¡ x2 ;

15¤) x2dy + xydx = dx;

Указание:

1) y00		+ 5y0 ¡ 24y = 0;				5) y00		¡ 6y0 + 34y = 0;
2) y00		¡ 3y0	¡ 28y = 0;			6)	y00	¡ 12y0 = 0, при y(1) = 2, y0(1) = 1;
3)	y00	+ 28y0		+ 169y = 0;
4)	y00	+ 18y = 0, при y(0) = 1, y0(0) = 2;				7)	y00	+ 144y0 = 0.
Линейные неоднородные уравнения:
1)	y00	¡ 8y0	+ 15y = 13x + 7;			4)	y00	¡ 3y0 ¡ 54y = cos 5x;
2)	y00	¡ 6y0	+ 18y = 2 sin 4x ¡ 3 cos 4x;			5)	y00	+ 18y0 = 3x + e4x;
3)	y00	+ 16y0		+ 64y = e¡8x;		6)	y00	¡ 17y = 1 + 2x + sin 11x;
7)	y00	+ 18y0		+ 81y = 4e7x,	при y(2) = 0,		y0(2) = ¡1;
8)	y00	¡ 8y0	¡ 20y = 12x2 + 4x ¡ 3,		при y(¡1) = 0, y0(¡1) = ¡2;

9) y000 ¡ 81y = 7x3 + 5x ¡ 12.

Решить методом вариации произвольной постоянной:

	1) y00 + 9y =	9	;	2) y00 + 16y0 + 64y = e¡8x;
		sin 3x
				Сравни с ответом примера №3, из блока "Линейные

неоднородные уравнения" .

25