Выч_мат_Кр (Погудин)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Российский государственный торгово-экономический университет»

Кафедра высшей и прикладной математики

Погудин Андрей Леонидович Козлов Вячеслав Владимирович

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

Методические указания и контрольные задания для студентов

заочной формы обучения всех специальностей и направлений

Пермь 2012

Методические рекомендации по выполнению контрольных работ и их тематика

В соответствии с учебным планом подготовки специалистов студенты должны выполнить контрольную работу по дисциплине «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА» и представить ее к сроку, установленному учебным графиком.

Контрольная работа является одним из видов самостоятельной работы студентов в ВУЗе, направленной на закрепление, углубление и обобщение знаний по учебным дисциплинам профессиональной подготовки, овладение методами научных исследований, формирование навыков решения поставленных задач.

Контрольная работа – это документ, представляющий собой форму отчетности по самостоятельной работе студента, содержащий систематизированные сведения по определенной теме.

Целью выполнения контрольной работы является формирование навыков самостоятельного творческого решения поставленных задач.

Задачами выполнения контрольной работы являются систематизация, закрепление, углубление и расширение приобретенных студентом знаний, умений, навыков по учебной дисциплине.

При выполнении контрольной работы студент должен продемонстрировать способности:

-изучить и проанализировать теоретические вопросы курса;

-систематизировать и обобщить имеющуюся информацию;

-самостоятельно решить предложенные задачи;

-логически обосновать и сформулировать выводы, относительно исчисленных показателей.

1

Правила выбора варианта контрольной работы,

ееоформление и зачета

1.Каждую контрольную работу следует выполнять в машинописном варианте (Word; Times New Roman 14; интервал 1,5, поля л-2, в-1,5, н-1,5, п-2),

разрешается двухсторонняя печать (титульный лист отдельно).

2.На титульном листе работы должны быть разборчиво написаны фамилия, имя, и отчество студента, факультет (институт), номер группы, название дисциплины (ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА), номер варианта. На титульном листе следует поставить дату ее выполнения и расписаться.

3.Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с номером в журнале учета учебных занятий.

4.Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в работу.

5.При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса.

Решение задач и примеров следует излагать подробно, объясняя все выполненные действия и используемые формулы и скриншоты EXEL. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие.

6.На контроль представляются: распечатка работы на листах формата А4: решение задач в EXEL на CD - диске

2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Российский государственный торгово-экономический университет»

Факультет ______________________________

Кафедра высшей и прикладной математики

Контрольная работа по дисциплине ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

вариант №__

Выполнил

Студент группы ________

Дата, роспись, Ф.И.О.

Проверил

Погудин А.Л.

Отметка, Дата, роспись, Ф.И.О.

Пермь 2012

3

∆a = Α − a

Контрольная работа № 1

«Основные понятия теории погрешностей»

Продолжительность: 2 часа.

Цель:

1.Ознакомление с основными понятиями теории погрешностей.

2.Проводить грамотно вычисления с числами, имеющими погрешность.

Результат обучения:

После успешного завершения занятия пользователь должен:

1.Знать понятия абсолютной и относительной погрешности и разницу между ними.

2.Знать формулы перехода от одного вида погрешности к другой.

3.Знать, что такое верные значащие цифры, и каким образом они отражаются

взаписи приближенного числа.

4.Знать, как следует записывать ответ при приближенных вычислениях.

Используемые программы:

Microsoft Excel.

План занятия:

1.Работа под руководством преподавателя: разбор типового примера.

2.Самостоятельная работа: выполнение контрольного задания.

Описание работы

§1 Краткие теоретические сведения

Погрешностью ∆a приближенного значения величины A называется разность между точным значением величины A и ее приближенным значением a, т.е.

(1)

Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа a называется абсолютная величина разности между точным числом А и приближенным числом a, т.е.

∆ =		∆a		=		Α − a		.	(2)

Если точное число А неизвестно, то абсолютную погрешность по формуле (2) определить нельзя. В таких случаях абсолютную погрешность оценивают

4

сверху, т. е. находят возможно меньшее при данных условиях число ∆α, такое, что

∆ =		Α− a		≤∆a	(3)

Число ∆a называется предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность измерения. Поэтому на практике степень точности измерения оценивают с помощью относительной погрешности δ, которая определяется как отношение абсолютной погрешности к абсолютной величине точного значения искомой величины, т.е.

δ =		∆		(4).
		A

Число δα, заведомо не меньшее относительной погрешности называют предельной относительной погрешностью, т.е.

		∆					=δ ≤δa			(5).
			A
Т.к. на практике A≈ α, то приближенно можно принять , что
				∆a					= δ a	(6).
				a

Пример 1. Определить какое равенство точнее: 9/11=0,818 или 18 = 4,24 .

Решение. Находим значения данных выражений с большим числом десятичных

знаков:			A =9/11=0,81818...,			B =	18 = 4,2426....			Вычислим предельные
абсолютные погрешности округляя результат с избытком
		0,81818 −0,818			≤0,00019 = ∆ a	,		4,2426 − 4,24		≤ 0,0027 = ∆ b .
Предельные относительные погрешности равны:
		δ a =	0,00019 = 0,00024 .			δ b = 0,0027 = 0,00064 .
			0,818				4,24

Т.к. δ a < δ b , то это значит, что приближенное равенство 9/11=0,818 является более точным.

5

Значащей цифрой приближенного числа a называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Так, например, в числах 0,000503 и 0,04100 подчеркнутые нули не являются значимыми цифрами. Иногда запись числа не дает возможности судить о том, сколько значащих цифр оно содержит. Например, из записи числа 38300 непонятно, сколько значащих цифр имеет это число. Но если оно должно иметь, например, четыре значащие цифры, то его нужно записать в виде

3,830·104.

Определение. Если абсолютная погрешность приближенного числа a не превышает 1/2 единицы его n-го разряда, то говорят, что число а имеет n

верных значащих цифр.

Например, если для числа α=2,3568 абсолютная погрешность ∆≤0,005, то число a имеет три верных знака (они подчеркнуты), так как 0,005 = 12 0,01.

Практическое правило определения количества верных знаков: количество верных знаков числа отсчитывается от первой значащей цифры числа допервой, значащей цифры его абсолютной погрешности. Taк, число 20,7321 с абсолютной погрешностью ∆=0,029 имеет три верные значащие цифры (они подчеркнуты).

Одним из наиболее важных, вопросов в численном анализе является вопрос о том, как ошибки начальной информации или ошибки возникшие в ходе вычислений распространяются дальше.

Если задана дифференцируемая функция нескольких независимых переменных u = f (x1 , x2 ,..., xn ) , то предельная абсолютная погрешность этой функции вызываемая погрешностями аргументов ∆x1 , ∆x2 ,..., ∆xn оценивается величиной

	n			∂u
	∆u = ∑					∆ x i	(7) .
				∂xi
	i =	1

6

Для оценки предельной относительной погрешности функции имеют место выражения

n		∂ ln( u )			∆		u
δu = ∑			∆ x i	или δu =					(8).
		∂xi				u
i =	1

Пример 2. Оценить абсолютную и относительную погрешности функции u = x1 + x2 , считая абсолютные предельные погрешности аргументов известными.

Решение. Т.к.

∂u

=

∂u

= 1 , то согласно формуле (7), имеем

∂x

∂x

2

1

2

∂u

∆u = ∑

∆ x i = ∆ x1 + ∆ x 2 .

∂xi

i =1

Таким образом, предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей этих чисел.

Согласно формуле (6),

имеем

δu =

∆u

;

∆x =δx

x

, тогда если слагаемые

u

одного знака, получаем

∆u

∆x1 + ∆x2

x1

δx1 +

x2

δx2

x1

x2

δu =

=

=

≤

δ

(

+

)

= δ

,

u

x1 + x2

x1 + x2

x1 + x2

= max(δx ,δx

где δ

) .

1

2

Т.о., если слагаемые одного знака, то предельная относительная погрешность их суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых.

Если слагаемые разных знаков, то предельная относительная погрешность суммы вычисляется по формуле

δ u =

x1

δ x

1

+

x 2

δ x

2

.

x1

+ x 2

§2 Решение типового задания

Задача. Вычислить и определить погрешность результата X =

m2

n3

,

k

7

где m=26,81(±0,02), n=5,47(±0,01), k=0,894(±0,002).

Решение: Произведем вычисления с использованием Microsoft Excel (см. рисунок 1).

Рисунок 1 Нахождение погрешности результата

Пояснения к решению:

1)В диапазон ячеек А3:А8 вводим поясняющий текст.

2)В ячейках B3:D4 (прямоугольная область с вершинами B3 и D4) вводим исходные данные.

3)Вычисляем относительные погрешности аргументов: в ячейку B5 вводим формулу =B4/B3 и нажимаем «Enter», после чего делаем протяжку вправо от ячейки B5 до ячейки D5.

4)Вычисляем значение результата Х: в ячейку B6 вводим формулу =СТЕПЕНЬ(B3;2)*СТЕПЕНЬ(C3;3)/КОРЕНЬ(D3) и нажимаем «Enter», в ячейке B6 высвечивается результат. Для ввода функций рекомендуется использовать мастер функций и использовать диалоговое окно соответствующей функции. Например, для ввода функции СТЕПЕНЬ() нажмите пиктограмму вставки

функций f x , выберете из полного перечня нужную функцию и нажмите

кнопку «OK» (см. рисунок 2).

8

Рисунок 2 Мастер функций

Далее, путем «клика» на ячейки вводим ссылки на эти ячейки (см. рисунок 3).

Рисунок 3 Ввод аргументов функции

Нажимаете кнопку «OK».

5)Вычисляем относительную погрешность результата Х согласно формуле (8): в ячейку B7 вводим формулу =2*B5+3*C5+0,5*D5 и нажимаем «Enter».

6)Вычисляем абсолютную погрешность результата Х по формуле ∆u =δu u :

вячейку B8 вводим формулу =B6*B7 и нажимаем «Enter».

7)Согласно теории записываем ответ с тремя верными значащими цифрами:

Х=1,24±103. Ответ: 1,24±103.

9