В последние годы получили применение

(ИВК), которые представляют собой автоматизированные средства измерений и обработки измерительной информации. Их отличительной чертой является наличие в комплексе свободно программируемой ЭВМ, которая используется не только для обработки результатов измерения, а также для управления воздействием (если это необходимо) не объект исследования. ИВК - разновидность ИИС.

Средства измерений, которые могут использоваться не только автономно, но и в составе систем называют средствами измерений системного применения. В этих средствах широко используются средства вычислительной техники. ИВК и другие средства измерений, содержащие средства вычислительной техники, образуют группу измерительно-вычислительных (процессорных) средств.

Для выполнения массовых технологических измерений применяются измерительные установки. Измерительной установкой называют совокупность функционально и конструктивно объединенных средств измерений и вспомогательных устройств, предназначенных для рациональной организации измерений. Электроизмерительные установки используют, например, для градуировки и поверки электроизмерительных приборов.

Все средства измерений по выполняемым метрологическим функциям делят на образцовые и рабочие. Образцовые средства измерений предназначены для поверки с их помощью других рабочих средств измерений. Рабочие средства используют для выполнения всех измерений, кроме измерений, связанных с поверкой, т. е. передачей размера единиц величин.

4.2. Характеристики средств измерений

Отдельные виды и типы средств измерений обладают своими специфическими свойствами. Вместе с тем средства измерений имеют некоторые общие свойства, которые позволяют сопоставлять средства между собой.

Различают статические и динамические свойства средства измерений. Статические свойства средства измерений проявляются при статическом режиме его работы, т. е. когда выходной сигнал средства считается неизменным при измерении; динамические свойства - при динамическом режиме работы средства измерений, при котором выходной сигнал средства изменяется во времени при его использовании.

Свойства средств измерений описывают характеристиками, среди которых выделяют комплекс метрологических характеристик.

Метрологические характеристики. Функция преобразования (статическая характеристика преобразования) - функциональная зависимость между информативными параметрами выходного и входного сигналов средства измерений. Функцию преобразования, принимаемую для средства измерения (типа) и устанавливаемую в научно-технической документации на данное средство (тип), называют номинальной функцией преобразования средства (типа).

Другой важной характеристикой является чувствительность средства измерений, под которой понимают отношение приращения выходного сигнала y средства измерений к вызвавшему это приращение изменению входного сигнала x. В общем случае чувствительность

S = lim y / x = dy / dx.

x

При нелинейной статической характеристике преобразования чувствительность зависит от входного сигнала х, при линейной характеристике чувствительность постоянна. У измерительных приборов при постоянной чувствительности шкала равномерная, т. е. длина всех делений шкалы одинакова. Деления шкалы - участки шкалы, на которые делят шкалу с помощью отметок.

Величина обратная чувствительности носит название постоянная прибора C = 1 / S.

Порог чувствительности -это наименьшее изменение входной величины, обнаруживаемое с помощью данного средства измерений. Порог чувствительности выражают в единицах входной величины.

Диапазон измерений - область значений измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности средства измерений. Диапазон измерений ограничивается наибольшим и наименьшим значениями диапазона измерений. С целью повышения точности измерений диапазон измерений средства измерений может быть разбит на несколько поддиапазонов. При переходе с одного поддиапазона на другой некоторые составляющие основной погрешности уменьшаются, что приводит к повышению точности измерений. При нормировании допускают для каждого поддиапазона свои предельные погрешности. Область значений шкалы, ограниченную начальными и конечными значениями шкалы, называют диапазоном показаний.

Характеристикой для измерительных приборов является цена деления шкалы - разность значений величины, соответствующих двум соседним отметкам шкалы. Для средства измерений, выдающих результаты измерений в цифровом коде, указывают цену единицы младшего разряда (единицы младшего разряда цифрового отсчетного устройства), вид выходного кода (двоичный, двоично-десятичный) и число разрядов кода.

Для оценки влияния средства измерений на режим работы объекта исследования указывают входное полное сопротивление Zвх. Входное сопротивление влияет на мощность, потребляемую от объекта исследования средством измерения. Допустимая нагрузка на средство измерений зависит от выходного полного сопротивления Zвых средства измерений. Чем меньше выходное сопротивление, тем больше допустимая нагрузка на средство измерений.

Важнейшей характеристикой средства измерений является погрешность, которую оно вносит в результат измерения, или, как принято говорить, погрешность средства измерений.

Погрешность средства измерений может быть выражена в виде абсолютной, относительной и приведенной погрешности. Погрешность измерительного прибора

x = х - х_и, (1.1)

где х - показание прибора, х_и - истинное значение измеряемой величины.

Погрешность измерительного прибора определяют при его поверке и при этом вместо истинного значения используют действительное значение измеряемой величины, под которым понимают значение физической величины, найденное экспериментальным путем с помощью образцовых средств измерений и настолько приближающееся к истинному, то для данной цели может быть использовано вместо истинного значения.

Погрешности средств измерений могут иметь систематические и случайные составляющие. Случайные составляющие приводят к неоднозначности показаний. Поэтому случайные составляющие погрешностей средств измерений стараются сделать незначительными по сравнению с другими составляющими. Большинство серийных измерительных приборов обладает этим свойством. Однако в приборах высокой чувствительности и точности случайная составляющая может быть соизмерима с систематической.

Важной характеристикой средств измерений является вариация выходного сигнала, под которой понимают разность между значениями информативного параметра выходного сигнала, соответствующими одному и тому же действительному значению входной величины при двух направлениях медленных изменений входной величины в процессе подхода к выбранному значению входной величины.

По зависимости от измеряемой величины погрешности средства измерений разделяют на аддитивные и мультипликативные.

Аддитивные (абсолютные) погрешности не зависят от измеряемой величины. Мультипликативные (относительные) погрешности изменяются пропорционально измеряемой величине. Могут быть составляющие, имеющие более сложную зависимость от измеряемой величины, например, так называемые погрешности от нелинейности статической характеристики преобразования.

Различают погрешности конкретного экземпляра средства измерений и погрешности типа средств измерений. Тип средств измерений - совокупность средств измерений, имеющих одинаковые устройство, функциональное назначение и нормируемые характеристики.

Погрешность конкретного средства измерений характеризует только данный экземпляр средства измерений. Такая погрешность, обычно известная только для средств измерений, изготовленных в единичном экземпляре, или малой партией, или для специально поверенных средств измерений. Погрешность типа средств измерений характеризует всю совокупность экземпляров данного типа. Погрешность любого экземпляра данного типа не может превышать погрешности типа. Для приборов массового производства указывается погрешность типа.

Важным качеством средств измерений является их способность сохранять свои свойства во времени. Для контроля метрологических свойств средства измерений должны периодически поверяться. Межповерочный интервал определяется нестабильностью свойств и допустимым изменением метрологических свойств средств измерений.

К метрологическим характеристикам средств измерений относятся динамические характеристики, т. е. характеристики инерционных свойств средства, определяющие зависимость выходного сигнала средства измерений от меняющихся во времени величин: параметров входного сигнала, внешних влияющих величин, нагрузки. Динамические свойства средства измерений определяют динамическую погрешность. В зависимости от полноты описания динамических свойств средств измерений различают полные и частные динамические характеристики.

Полная динамическая характеристика - характеристика, однозначно определяющая изменения выходного сигнала средства измерений при любом изменении во времени информативного или неинформативного параметра входного сигнала, влияющей величины или нагрузки.

К полным динамическим характеристикам относят переходную характеристику, импульсную переходную характеристику, амплитудно-фазовую характеристику, совокупность амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристик, передаточную функцию.

Частная динамическая характеристика не отражает полностью динамических свойств средств измерений. К частным динамическим характеристикам аналоговых средств измерений, которые можно рассматривать как линейные, относят любые функционалы или параметры полных динамических характеристик. Примерами таких характеристик являются время реакции средства измерений, коэффициент демпфирования, значение резонансной собственной угловой частоты, значение амплитудно-частотной характеристики на резонансной частоте.

Для измерительных приборов время реакции - время установления показаний прибора, т. е. время от момента скачкообразного изменения измеряемой величины до момента установления с определенной погрешностью показания, соответствующего установившемуся значению измеряемой величины.

Для измерительных преобразователей время реакции - время установления выходного сигнала, определяемое при скачкообразном изменении входного сигнала и заданной погрешности установления выходного сигнала.

Коэффициент демпфирования (степень успокоения) - параметр дифференциального уравнения второго порядка, описывающего линейное средство измерений.

Неметрологические характеристики. Кроме метрологических характеристик, при эксплуатации средств измерений важно знать и неметрологические характеристики: показатели надежности, электрическую прочность, сопротивление изоляции, устойчивость к климатическим и механическим воздействиям, время установления рабочего режима и др.

Под надежностью средства измерений понимают способность средства измерений сохранять заданные характеристики при определенных условиях работы в течение заданного времени или определенных условиях работы в течение заданного времени или заданной наработки. С понятием надежности связано понятие отказа - нарушения работоспособности средства измерений. Различают внезапный отказ, когда средство измерений полностью теряет свою работоспособность, например, вследствие обрыва цепи, и постепенный отказ, когда с течением времени метрологические характеристики выходят за допустимые пределы.

Согласно ГОСТ 22261-82 «Средства измерений электрических и магнитных величин. Общие технические условия» применяют следующие показатели надежности: безотказность, ремонтопригодность (для восстанавливаемых средств измерений), долговечность.

В качестве показателя безотказности устанавливают наработку на отказ. Под наработкой понимают продолжительность работы средства, а под наработкой на отказ - отношение наработки ремонтируемого средства к числу отказов в течение этой наработки.

В качестве показателя долговечности принят средний срок службы или средний ресурс. Срок службы и ресурс - соответственно календарная продолжительность эксплуатации средства и его наработка от ее начала до наступления такого предельного состояния, при котором дальнейшая эксплуатация средства должна быть прекращена.

В качестве показателя ремонтопригодности стандарт устанавливает среднее время восстановления средства.

5. Погрешности измерений

5.1. Классификация погрешностей

Погрешность измерений - это отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины.Погрешность средств измерений зависит от условий проведения измерений. При этом различают основные и дополнительные погрешности.

Основная погрешность - погрешность, существующая при так называемых нормальных условиях, которые указаны в нормативных документах, регламентирующих правила испытания и эксплуатации данного средства измерений.

Дополнительная погрешность возникает при отклонении условий испытания и эксплуатации средства измерения от нормальных. Она нормируется значением погрешности, вызванной отклонением одной из влияющих величин от ее нормирующего значения или выходом ее за пределы нормальной области значений.

По способу выражения различают абсолютные и относительные погрешности.

Абсолютная погрешность измерения - погрешность измерений, выраженная в единицах измеряемой величины (1.1)

Относительная погрешность измерения - погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины, в процентах

 =  х / х_д  100%. (2.1)

Чтобы можно было сравнить по точности измерительные приборы с разными пределами измерений, введено понятие приведенной погрешности измерительного прибора, под которой понимают отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению, которое принимается равным верхнему пределу измерений (если нулевая отметка находится на краю или вне шкалы) или диапазону измерения (если нулевая отметка находится внутри диапазона измерений), в процентах

 = (х_изм - х_д ) / х_нор 100%. (2.2)

По характеру изменения при повторных измерениях погрешности измерений делятся на систематические и случайные.

Систематическая погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. В соответствии с этим определением систематические погрешности разделяются на постоянные и переменные. Переменные в свою очередь могут быть прогрессирующими, периодическими и изменяющимися по сложному закону.

Постоянными систематическими погрешностями называются такие, которые остаются неизменными в течение всей серии данных измерений, например, погрешность из-за неточной подгонки образцовой меры, погрешность из-за неточной установки указателя прибора на нуль и т. п.

Переменные систематические погрешности изменяются в процессе измерений. Если при измерениях погрешность монотонно убывает или возрастает, то она называется прогрессирующей. Так, например, монотонно меняется погрешность из-за разряда батареи или аккумулятора, если результат измерений зависит от напряжения питания. Периодическая систематическая погрешность - погрешность, значение которой является периодической функцией времени. Ее примером может являться погрешность, вызванная суточными изменениями напряжения питания электрической сети. Систематическая погрешность может изменяться и по некоторому сложному закону. Таковы, например, погрешности, вызванные неточностью нанесения шкалы прибора, погрешность электрического счетчика при различном значении нагрузки, погрешность, вызванная изменениями температуры окружающей среды, и др.

Случайная погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Например, погрешность измерений из-за вариации показаний измерительного прибора; погрешность округления, при считывании показаний измерительного прибора. Случайная погрешность не может быть исключена из результата измерения, но может быть уменьшена путем статистической обработки совокупности наблюдений.

Таким образом, погрешность результата измерения представляет собой сумму систематической и случайной составляющих.

Встречается также грубая погрешность или промах - погрешность измерения, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погрешность. Источником грубой погрешности может быть неправильный отсчет показаний средств измерений или непредвиденное кратковременное воздействие какого-либо фактора, например, резкое кратковременное изменение напряжения питающей сети. Грубые погрешности выявляются при статической обработке ряда наблюдений, и соответствующие результаты наблюдений должны быть исключены.

По зависимости от измеряемой величины погрешности средства измерений разделяют на аддитивные и мультипликативные.

Аддитивные (абсолютные) погрешности не зависят от измеряемой величины. Мультипликативные (относительные) погрешности изменяются пропорционально измеряемой величине. Соответственно относительная аддитивная погрешность обратно пропорциональна значению измеряемой величины, а относительная мультипликативная - от него не зависит. Аддитивную погрешность иногда называют погрешностью нуля, а мультипликативную -погрешностью чувствительности. Реально погрешность средства измерений включает в себя обе указанные составляющие.

5.2. Систематические погрешности

Природа и происхождение систематических погрешностей обычно обусловлены спецификой конкретного эксперимента. Поэтому обнаружение и исключение систематических погрешностей во многом зависит от мастерства экспериментатора, от того, насколько глубоко он изучил конкретные условия проведения измерений и особенности применяемых им средств и методов. Вместе с тем существуют некоторые общие причины возникновения систематических погрешностей, в соответствии с которыми их подразделяют на методические, инструментальные и субъективные.

Методические погрешности происходят от несовершенства метода измерения, использования упрощающих предположений и допущений при выводе применяемых формул, влияния измерительного прибора на объект измерения. Например, измерение температуры с помощью термопары может содержать методическую погрешность, вызванную нарушением температурного режима исследуемого объекта (вследствие внесения термопары).

Инструментальные погрешности зависят от погрешностей применяемых средств измерений. Неточность градуировки, конструктивные несовершенства, изменения характеристик прибора в процессе эксплуатации и т. д. являются причинами инструментальных погрешностей. Эта погрешность в свою очередь подразделяется на основную и дополнительную.

Основная погрешность средства измерений - это погрешность в условиях, принятых за нормальные, т. е. при нормальных значениях всех величин, влияющих на результат измерения (температуры, влажности, напряжения питания и т. п.).

Дополнительная погрешность средства измерений - погрешность, дополнительно возникающая при отличии значений влияющих величин от нормальных. Обычно различают отдельные составляющие дополнительной погрешности, например температурную погрешность, погрешность из-за изменения напряжения питания и т. п.

Все эти погрешности отличают от инструментальных (ГОСТ 8.009-84), поскольку они связаны не столько с самими средствами измерений, сколько с условиями, при которых они работают. Их устранение производится иными способами, нежели устранение инструментальных погрешностей.

Субъективные погрешности вызываются неправильными отсчетами показаний прибора человеком (оператором). Это может случиться, например, из-за неправильного направления взгляда при наблюдении за показаниями стрелочного прибора (погрешность от параллакса). Использование цифровых приборов и автоматических методов измерения позволяет исключить такого рода погрешности.

Обнаружение причин и источников систематических погрешностей позволяет принять меры к их устранению или исключению посредством введения поправки.

Поправкой называется значение величины, одноименной с измеряемой, которое нужно прибавить к полученному при измерении значению величины с целью исключения систематической погрешности.

В некоторых случаях используют поправочный множитель - число, на которое умножают результат измерения для исключения систематической погрешности.

Поправка или поправочный множитель определяется при помощи поверки технических средства, составления и использования соответствующих таблиц и графиков. Применяются также расчетные способы нахождения поправочных значений.

Существуют специальные методы организации измерений, устраняющие систематические погрешности. К ним относятся, например, метод замещения и метод компенсации погрешности по знаку. Метод замещения заключается в том, что измеряемая величина замещается известной величиной, получаемой при помощи регулируемой меры. Если такое замещение производится без каких-либо других изменений в экспериментальной установке и после замещения установлены те же показания приборов, то измеряемая величина равняется известной величине, значение которой отсчитывается по указателю регулируемой меры. Этот прием позволяет исключить постоянные систематические погрешности. Погрешность измерения при использовании метода замещения определяется погрешностью меры и погрешностью, возникающей при отсчете значения величины, замещающей неизвестную.

Метод компенсации погрешности по знаку применяется для исключения систематических погрешностей, которые в зависимости от условий измерения могут входить в результат измерения с тем или иным знаком (погрешность от термо-ЭДС, от влияния напряженности постоянного электрического или магнитного поля и др.). В этом случае можно провести измерения дважды так, чтобы погрешность входила в результаты измерений один раз с одним знаком, а другой раз - с обратным. Среднее значение из двух полученных результатов является окончательным результатом измерения, свободным от указанных выше систематических погрешностей.

При проведении автоматических измерений широко используются схемные методы коррекции систематических погрешностей. Компенсационное включение преобразователей, различные цепи температурной и частотной коррекции являются примерами их реализации.

Новые возможности появились в результате внедрения в измерительную технику средств, содержащих микропроцессорные системы. С помощью последних удается производить исключение или коррекцию многих видов систематических погрешностей. Особенно это относится к инструментальным погрешностям. Автоматическое введение поправок, связанных с неточностями градуировки, расчет и исключение дополнительных погрешностей, исключение погрешностей, обусловленных смещением нуля - это и другие корректировки позволяют существенно повысить точность измерений.

Следует, однако, заметить, что какая-то часть систематической погрешности, несмотря на все усилия, остается неисключенной. Эта часть входит в результат измерения и искажает его. Она может быть оценена исходя из сведений о метрологических характеристиках использованных технических средств. Если таких сведений недостаточно, то может быть полезным сравнение измеренных значений с аналогичными результатами, полученными в других лабораториях другими лицами.

5.3. Случайные погрешности

Теория погрешностей, использующая математический аппарат теории вероятностей, основывается на аналогии между появлением случайных погрешностей при многократно повторенных измерениях и появлением случайных событий. Из теории вероятностей известно, что для характеристики случайных величин, в нашем случае погрешностей прибора или измерения (вместе с их систематической составляющей), необходимо определить их закон распределения.

В теории случайных погрешностей формулируются две аксиомы. Аксиома симметрии (случайности) - при очень большом числе измерений случайные погрешности, равные по величине, но различные по знаку, встречаются одинаково часто. Аксиома распределения - чаще всего встречаются меньшие погрешности, а большие погрешности встречаются тем реже, чем они больше.

Если эти аксиомы соблюдаются, то при неограниченном увеличении числа независимых причин, вызывающих погрешности, мы имеем нормальный закон распределения случайной погрешности.

(2.3)

где P(х) - плотность вероятности случайной величины X;  - среднее квадратическое отклонение.

Рис. 2.1. Интегральный и дифференциальный законы распределения

Одно из нарушений нормального закона распределения погрешностей при соблюдении аксиом состоит в появлении плосковершинности и островершинности, как показано на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Островершинное распределение

В пределе для плосковершинного распределения, когда уже аксиома не соблюдается, оно превращается в равномерное.

Рис. 2.3. Равномерное (равновероятное) распределение

Нарушение аксиомы распределения может привести к тому, что малые погрешности встречаются реже, чем большие. В этом случае середина кривой распределения плотности вероятностей оказывается прогнутой вниз и распределение становится "двугорбым" - так называемым двухмодальным.

Рис. 2.4. Двухмодальное распределение

Модой дискретной случайной величины называют ее наиболее вероятное значение, а для непрерывной случайной величины модой является то значение, при котором плотность вероятности достигает максимума. В пределе такое двухмодальное распределение может превратиться в распределение, когда единственно наблюдаемыми погрешностями будут только погрешности X_maX (см. рис. 2.4). Например, погрешность от люфта в кинетической цепи, погрешность от гистерезиса имеют вид двухзначной дискретной погрешности.

5.3.1. Числовые характеристики законов распределения

Статистическое описание случайной величины полным указанием законов распределения слишком громоздка. На практике достаточно указать только отдельные числовые характеристики закона распределения случайной величины. Для оценки того или иного свойства законов распределения случайной величины в теории вероятностей используют числовые характеристики, называемые моментами.

Прежде всего нас интересует положение случайной величины на числовой оси, т.е. ее систематическая составляющая - ее среднее значение, определяющее положение области, в которой группируется значения случайной величины.

Такое среднее значение случайной величины называется ее первым моментом или ее математическим ожиданием.

, (2.4)

т.е. определяется как сумма произведений всех возможных значений дискретной случайной величины Х на вероятность этих значений Р.

Для непрерывной случайной величины выражение для математического ожидания можно записать

, (2.5)

где P(X) - плотность распределения вероятностей случайной величины Х.

В отличие от среднего арифметического значения, которое само является случайной величиной, т.к. зависит от испытаний, математическое ожидание является числом, которое связано только с законом распределения случайной величины.

Начальный момент s-го порядка дискретной случайной величины запишется:

Для непрерывной случайной величины:

Иначе, математическое ожидание - это начальный момент первого порядка. Случайная погрешность (случайное отклонение) определяется зависимостью:

Центральным моментом S-го порядка случайной величины называется математическое ожидание S степени соответствующей центрированной величины.

Из определения следует, что ₁ = 0, т.е. математическое ожидание первой степени центрированной случайной величины всегда = 0.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины и характеризуется рассеяние значений случайной величины вокруг математического ожидания.

₂[X] = D[X] = M[(X - M[X])²],

Так как дисперсия имеет разность квадрата случайной величины, то она выражает как бы мощность ее рассеяния. Для наглядной характеристики самой величины рассеяния пользуются среднеквадратическим отклонением случайной величины Х, которое равно и имеет размерность самой случайной величины.

Третий центральный момент характеризует асимметрию, или скошенность (рис. 2.5.) распределения (медиана распределения). Для всех симметричных относительно математического ожидания законов распределения этот момент равен нулю.

Рис. 2.5. Иллюстрация «скошенности» закона распределения

Медианой непрерывной случайной величины называется такое значение Х, что в этой точке функция распределения F(X) случайной величины Х равна ½.

Для относительной характеристики асимметрии обычно пользуются коэффициентом асимметрии: S = ₃/³

Четвертый центральный момент служит для описания островершинности или плосковершинности распределения (мода). Мода - для дискретной случайной величины - наиболее вероятное значение случайной величины. Мода - для непрерывной - точка максимума плотности распределения ее вероятностей.

Эти свойства описываются с помощью относительного значения четвертого момента, равного ₄/⁴ , или так называемого эксцесса, который находится как:

E_x = ₄/⁴ -3

Для нормального закона распределения величина ₄/⁴ =3, E_x = 0, остальные распределения сравниваются с нормальными, поэтому вычитается тройка. Для нормального закона Е_х = 0. Кривые более островершинные по сравнению с нормальным законом, обладают положительным эксцессом, а плосковершинные кривые - отрицательным эксцессом. Точкой перегиба кривой имеют абсциссы

, .

Асимметрия, вычисленная по формуле S = ₃/³ = 0. Этот результат характеризует симметричную форму кривой относительно среднего значения Х_о, совпадающее с модой Мо и Мс. Эксцесс найденный по формуле E_x= ₄/⁴-3 = 0.

Функция нормального распределения определяется интегралом

Вероятность нахождения случайной величины Х между X₁ и X₂ определяется разностью соответствующих значений функции распределения

Вер.[X₁  X  X₂ ] = F(X₂) - F (X₁) = .

Графически эта вероятность представлена площадью под кривой, изображающей плотность вероятности между ординатами, соответствующими абсциссам X₁ и X₂.

Если X₁ = -  , а X₂ = + , то вероятность, определенная по этой формуле обратится в 1 и выразит всю площадь под кривой.

Для облегчения пользования функцией нормального распределения применяют нормированную функцию Лапласа, называемую также интегралом вероятностей

.

Тогда формула запишется

Вер [₁  X  ₂] = Ф (t₂) - Ф (t₁) =

Точность измерения величины x будут определять границы , внутри которых может находится действительное число Х, т.е.

X_o -   X  X_o + ,

Где X_o - результат измерения,  - границы интервала

Вероятность того, что действительное значение измеряемой величины Х лежит внутри доверительного интервала (X_o - , X_o + ) называется надежностью  при заданной точности. При уменьшении доверительного интервала до величины   2, надежность результата резко падает. Величину  = 3, имеющую надежность 99,73%, (доверительная вероятность 0,997) называют предельной погрешностью.

Оценка результатов измерений. Результат всякого измерения содержит в себе случайную погрешность. Поэтому при всех точных измерениях необходимо не только указывать полученный результат, но и делать оценку качества данного измерения, степени достоверности результата или, как говорят, указывать точность измерения.

При оценке точности надо указать границы интервала (доверительного интервала) в который с определенной вероятностью, (доверительной вероятностью) находится результат измерения.

5.3.2. Точечные оценки числовых характеристик результатов измерений

Основными точечными характеристиками погрешностей измерений являются математическое ожидание и дисперсия (или среднее квадратическое отклонение).

Математическое ожидание погрешности измерений М(Х) есть неслучайная величина, относительно которой рассеиваются другие значения погрешностей при повторных измерениях. Как числовая характеристика погрешности М (Х) показывает на смещенность результатов измерения относительно истинного значения измеряемой величины.

+ 

М (Х) =  х  (х) d (х),

- 

где  (х) - плотность распределения вероятности погрешности х.

Дисперсия погрешности D (Х) характеризует степень рассеивания (разброса) отдельных значений погрешности относительно математического ожидания.

+ 

D (Х) =  х - М (Х)²  (х) d (х).

- 

Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс, тем точнее выполнены измерения. Следовательно, дисперсия может служить характеристикой точности проведенных измерений. Однако дисперсия выражается в единицах погрешности в квадрате. Поэтому в качестве числовой характеристики точности измерений используют среднее квадратическое отклонение

 (Х) =  D (Х).

Оценку параметра назовем точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, вычисленная на основании опытных данных, является их функцией и поэтому сама должна представлять собой случайную величину с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, от самого оцениваемого параметра и от числа опытов n.

К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания самих параметров.

1. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она приближается (сходится по вероятности) к значению оцениваемого параметра.

2. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

3. Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра.

На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все эти требования, однако выбору оценки должен предшествовать ее критический анализ со всех перечисленных выше точек зрения.

Существует несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р.Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn, где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения _х (х; Q; _х). Вероятность Р_i получения в эксперименте некоторого результата Х_i, лежащего в интервале х_i  х, где х - некоторая малая величина, равная соответствующему элементу вероятности Р_i = _х (х_i; Q; _х) х.

Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т. е. всего ряда наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn как произведение этих вероятностей

n n

Р (Х1, Х2, . . . , Хn) =  Р_i = х^п  _х (х_i; Q; _х).

i = 1 i = 1

Если рассматривать Q и _х как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и _х в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности Р (Х1, Х2, . . . , Хn) при каждом фиксированном ряде наблюдений Х1, Х2, . . . , Хn. При некоторых значениях Q = Q (Х1, Х2, . . . , Хn) и _х = _х (Х1, Х2, . . . , Хn) вероятность Р (Х1, Х2, . . , Хn) получения экспериментальных данных достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.

Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок Q и _х, при которых функция правдоподобия

n

g (Х1, Х2, . . . , Хn; Q; _х) =  _х (х_i; Q; _х)

i = 1

достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель х^п не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки Q и _х истинного значения и среднего квадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.

Наряду с методом максимального правдоподобия при определении точечных оценок широко используется метод наименьших квадратов. В соответствии с этим методом среди некоторого класса оценок выбирают ту, которая обладает наименьшей дисперсией, т. е. наиболее эффективную оценку.

5.3.3. Интервальные оценки параметров распределения

Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервала, за границы которого погрешность не выйдет с некоторой вероятностью. Этот интервал называют доверительным интервалом, характеризующую его вероятность - доверительной вероятностью, а границы этого интервала доверительными значениями погрешности.

В практике измерений применяют различные значения доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероятность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средним квадратическим отклонением  (Х) часть пользуются доверительным интервалом от +3  (Х) до -3  (Х), для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3  (Х). Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3  (Х), маловероятное событие, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возможные случайные погрешности измерения, распределенные по нормальному закону, практически не превышают по абсолютному значению 3  (Х) (правило «трех сигм»).

В общем случае доверительный интервал может быть установлен, если известен вид закона распределения погрешности и основные числовые характеристики этого закона.

5.3.4. Обнаружение грубых погрешностей

Для устранения грубых погрешностей желательно еще перед измерениями определить значение искомой величины приближенно, с тем чтобы в дальнейшем можно было сконцентрировать внимание лишь на уточнении предварительных данных. Если оператор в процессе измерений обнаруживает, что результат одного из наблюдений резко отличается от других, и находит причины этого, то он, конечно, вправе отбросить этот результат и провести повторные измерения. Но необдуманное отбрасывание резко отличающихся от других результатов может привести к существенному искажению характеристик рассеивания ряда измерений, поэтому повторные измерения лучше проводить не взамен сомнительным, а в дополнение к ним.

Наиболее часто для обнаружения промаха используют так называемый критерий Райта. Согласно этому критерию, если случайное отклонение какого-либо измерения от среднего арифметического значения превышает 3  (Х), то есть основание считать, что данное измерение содержит промах. Критерий Райта в таком виде целесообразно применять при не очень большом числе измерений (  n  20). Если же число измерений 20  n  100, то рекомендуется вместо значения 3  (Х) использовать значение 4  (Х).

Более обоснованная, хотя и более громоздкая процедура исключения грубых погрешностей базируется на одном из разделов математической статистики - статистической проверке гипотез.

Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения Х_i не содержит грубой погрешности, т. е. является одним из значений случайной величины Х с законом распределения Fх (х), статистические оценки параметров которого предварительно определены. Сомнительным может быть в первую очередь лишь наибольший Х _max или наименьший Х _min из результатов наблюдений. Поэтому для проверки гипотезы следует воспользоваться распределениями величин

 = (Х _max - Х) / Sx или  = (Х - Х _min) / Sx.

Функции их распределения определяются методами теории вероятностей. Они совпадают между собой и для нормального распределения результатов наблюдений протабулированы и представлены в таблицах. По данным таблиц, при заданной доверительной вероятности  или уровне значимости q = 1 -  можно для чисел измерения n = 3 - 25 найти те наибольшие значения _, которые случайная величина  может еще принять по чисто случайным причинам.

Если вычисленное по опытным данным значение  окажется меньше _, то гипотеза принимается; в противном случае ее следует отвергнуть как противоречащую данным наблюдений. Тогда результат Х _max или соответственно Х _min приходится рассматривать как содержащий грубую погрешность и не принимать его во внимание при дальнейшей обработке результатов наблюдений.

5.3.5. Математическая обработка результатов прямых измерений

Предположим, что истинное значение измеряемой величины равно а и выполнено n аналогичных измерений, результаты которых равны х1, х2,..., хn. Каждый из результатов хi, подлежащих совместной обработке для получения результата измерения, называют

результатом наблюдения. Результатом измерения является оценка а значения измеряемой величины, вычисленная на основании всей совокупности результатов наблюдений х1, х2,..., хn. Разность i = хi - а есть погрешность i-го наблюдения. Относительно этой погрешности сделаем следующие допущения:

- погрешность i является случайной величиной с нормальным законом распределения;

- математическое ожидание погрешности М [ i ] = 0, т.е. отсутствует систематическая погрешность;

- погрешность i имеет дисперсию ², одинаковую для всех измерений, т.е. измерения равноточные;

- погрешности отдельных наблюдений независимы.

Допущение о нормальности закона распределения погрешности основано на том, что случайная погрешность обычно вызывается целым рядом различных причин, а следовательно, какие бы законы распределения ни имели отдельные ее составляющие, при одинаковом порядке их малости закон распределения результирующей погрешности будет близок к нормальному.

Тогда плотность распределения любого результата хi запишется в виде

f = ( хi, a ) = e ^{- (xi - a )^2 / 2 ^2} /  2  .

Так как результаты отдельных наблюдений независимы, то плотность распределения системы случайных величин х1, х2,..., хn

n

f ( х1, х2,..., хn, а ) =  f ( хi, a ).

i = 1

Плотность распределения системы случайных величин и представляет собой функцию правдоподобия, которую обозначим

n  n 

L = ( х1, х2,..., хn, а ) =  f ( хi, a ) = ( 2 ) ^-n/2 ^-n exp - (1/ 2² )  ( хi - a )² . (2.6)

i = 1  i = 1 

Использовав метод максимального правдоподобия, найдем оценку а таким образом, чтобы при а = а достигалось

L ( х1, х2,..., хn, а ) = max. (2.7)