Из (2.6 ) следует, что для выполнения (2.7.) необходимо, чтобы

n

 ( хi - a )² = min. (2.8 )

i = 1

Условие (2.8) является формулировкой критерия наименьших квадратов. Отсюда следует, что при нормальном законе распределения случайной величины оценки по методам максимального правдоподобия и наименьших квадратов совпадают. Обозначим

тогда оценку а найдем из условия

n

 ( хi - a )² =

i = 1

^ n

Q/ а = - 2  ( хi - a ) = 0. (2.9)

i = 1

Отсюда получим

n

а = ( 1/ n )  хi = х, (2.10)

i = 1

т.е. наилучшей оценкой является среднее значение х результатов наблюдений.

Из (2.10) следует, что оценка х является случайной величиной с нормальным законом распределения, причем

М  х  = а, ²  х  = ² / n. (2.11)

Таким образом, оценка х имеет более высокую точность, так как ее дисперсия в n раз меньше дисперсии отдельных измерений. Неопределенность результатов измерений характеризуется значением среднего квадратического отклонения погрешности, поэтому из (2.11) следует, что при усреднении результатов n наблюдений случайную погрешность уменьшают в  n раз.

Следует отметить, что эффект уменьшения случайной погрешности при усреднении результатов n наблюдений снижается при наличии корреляции между этими результатами. Дисперсия оценки х для коррелированных результатов наблюдений

n

²  х  = ( ² / n) 1 + ( 2/n )  _ij ,

i < j

где _ij - коэффициент корреляции между результатами i -го и j-го наблюдений.

Полученная оценка а = х является состоятельной, несмещенной и эффективной.

Для оценки неопределенности величины а необходимо, используя те же экспериментальные данные, оценить значение дисперсии (или среднего квадратического отклонения) погрешности измерений. Для этого воспользуемся функцией правдоподобия ( 2 ), представив ее в виде

n  n 

L = ( х1, х2,..., хn, а ,² ) =  f ( хi, a ) = ( 2 )^-n/2 (² )^-n/2 exp - (1/ 2² )  ( хi - a )² . (2.12)

i = 1  i = 1 

На основе метода максимального правдоподобия найдем оценку ² из условия

L ( х1, х2,..., хn, а, ² ) = max. (2.13)

Для упрощения вычислений прологарфимируем (2.12)

n

L = ( х1, х2,..., хn, а ,² ) = - ( n / 2 ) ln ( 2 ) - ^-( n / 2 ) ln (² ) - (1/ 2² )  ( хi - a )². (2.14)

i = 1

Так как логарифм является монотонной функцией, то значения ², при которых функции ( 7 ) и ( 9 ) достигают экстремума, совпадают. Поэтому оценку дисперсии найдем из условия

 ln L ( х1, х2,..., хn, а, ² ) / ² = 0. (2.15)

Продифференцировав (2.15) по ² , получим

n

- (1 / n ) ( 1 / ²) + (1/ 2⁴)  ( хi - a )² = 0. (2.16.)

i = 1

Отсюда найдем оценку, которую обозначим ²

n

² = ( 1 / n )  ( хi - a )². (2.17)

i = 1

Так как истинное значение а неизвестно, то воспользуемся его оценкой х, а соответствующую оценку дисперсии обозначим S² :

n

S² = ( 1 / n )  ( хi - х )². (2.18)

i = 1

Рассмотрим вопрос о смещенности полученной оценки S².

Предварительно преобразуем (2.18):

n n n

S² = ( 1 / n )  ( хi² - 2 х ( 1 / n )  хi + ( х )² = ( 1 / n )  хi² - ( х )² . (2.19)

i = 1 i = 1 i = 1

Математическое ожидание оценки S²

 n  n

М [ S² ] = М ( 1 / n )  хi²  - М [( х )² ] = ( 1 / n )  М [ хi² ] - М [( х )² ] =

 i = 1  i = 1

n

= ( 1 / n )  ( ² + а² ) - (  / n + а²) = ² ( 1 - 1 / n ) = ² [( n - 1 ) / n]. (2.20)

i = 1

Таким образом, оценка S² является смещенной оценкой дисперсии ², однако

lim М [ S² ] = ² .

n

Такая оценка называется асимптотически несмещенной.

Из (2.20) следует, что для ликвидации смещенности оценки достаточно ввести поправочный множитель n /( n - 1 ). Полученную несмещенную оценку обозначим ²:

^ n

² = n /( n - 1 ) S² = n /( n - 1 )  ( хi - х )². (2.20)

i = 1

Использовав (2.20), можно записать другую формулу для расчета оценки, равносильную ей но более удобную для вычислений:

 n 

² = n /( n - 1 ) 1 / n  хi² - ( х² ) . (2.21)

 i = 1 

Полученные выше оценки значений измеряемой величины и дисперсии погрешности являются точечными оценками. Рассмотрим оценивание этих величин с помощью доверительных интервалов.

Определим доверительный интервал для истинного значения а измеряемой величины.

Границы этого интервала зависят не только от оценки а = х измеряемой величины, но и от оценки  среднего квадратического отклонения погрешности. Поэтому для построения доверительного интервала необходимо воспользоваться распределением случайной величины

t_{n -1} = ( х - а ) / S  n - 1 = ( х - а ) /   n. (2.22)

При нормальном распределении погрешности величина t_{n -1} распределена по закону Стьюдента с n - 1 степенями свободы ( t-распределение). Распределение Стьюдента зависит от от числа опытов n и при n асимптотически приближается к нормальному.

Обычно в таблицах приводятся значения t для величины t, имеющей расределение Стьюдента с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия



 f _{n - 1} ( t ) dt = , (2.23)

t

где f _{n - 1} ( t ) - плотность t- распределения. Полагая  = ( ! - Р ) / 2 ( Р - доверительная вероятность ) и зная k = n - 1, по таблицам находят границу t.

Подставив в (2.23) граничные значения ± t, получим границы доверительного интервала для измеряемой величины:

х - t S /  n -1  а  х + t S /  n -1

или

х - t  /  n  а  х + t  /  n .

Построим доверительный интервал для дисперсии ² случайной погрешности. Доказано, что при нормальном законе распределения случайной погрешности величина

u = n S² / ² = ( n - 1 ) ² / ²

распределена по закону ²_n-1 с n - 1 степенями свободы. В таблицах приводятся значения ²_ для величины u, имеющей ²-распределение с k = n - 1 степенями свободы, определяемые из условия



 f _{n - 1} ( u ) du = , (2.24)

²_

где f _{n - 1} ( u ) - плотность ²-распределения. Так как это распределение несимметрично, то по таблице необходимо найти значение верхней ²_1 и нижней ²_2 границ интервала, соответствующие вероятностям ₁ = ( 1 - Р ) / 2 и ₂ = 1 - ( 1 - Р ) / 2, где Р - доверительная вероятность.

Подставив в (2.24) вместо u найденные граничные значения ²_1 и ²_2 , получим границы доверительного интервала для дисперсии:

n S² / ²_1  ²  n S² / ²_2

или

( n - 1 ) ² / ²_1  ²  ( n - 1 ) ² / ²_2.