6. Косвенные измерения физических величин

В результате косвенных измерений определяется значение физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых равны а1, а2,..., аm:

z = F ( а1, а2,..., аm ).

Пусть каждая из величин аj ( j = 1, 2,..., m ) измерена с погрешностью j. Необходимо оценить значение погрешности z результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию m переменных аj, запишем ее полный дифференциал::

dz = ( F/a1)da1 + ( F/a2 )a2 + ... + ( F/am ) dam,

или

m

dz =  ( F/aj ) daj.

j = 1

Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим дифференциалы соответствующими приращениями:

m

dz =  ( F/aj ) j. (6.1)

j = 1

Каждое слагаемое вида F/aj) j представляет собой частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью j определения величины aj. Частные производные F / aj носят название коэффициентов влияния соответствующих погрешностей.

Рассмотрим оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть величины aj измерены со случайными погрешностями j, имеющими нулевые математические ожидания М [ j ] = 0 и дисперсии ²j. Использовав формулу запишем выражения для математического ожидания М[z ] и дисперсии ² [ z ] погрешности z:

m

М [ z ] =  ( F/aj ) М [ j ] = 0;

j = 1

m m F F

² [ z ] =  ( F/aj )² ²j + 2  kl ------ ------ k l,

j = 1 k < 1 ak al

где kl - коэффициент корреляции погрешностей  k и  l.

Если погрешности j некоррелированы, то

m

² [ z ] =  ( F/aj )² ²j (6.2)

j = 1

Таким образом, для оценки результата z косвенного измерения естественно применить формулу

z = F ( а1, а2,..., а m ),

а для оценки систематических и случайных погрешностей соответственно (6.1) и (6.2).

Заметим, что в общем случае при нелинейной функции коэффициенты влияния F/aj, присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин aj. Коэффициенты влияния обычно оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок aj. Следовательно, вместо самих коэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвенных измерений.

7. Закон суммирования погрешностей

При измерениях может быть несколько источников как систематических, так и случайных погрешностей. Поэтому практически важным является вопрос о правилах нахождения суммарной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности их конкретные реализации можно рассматривать как реализации случайной величины. Если известны границы _i составляющих неисключенной систематической погрешности, а распределение этих составляющих в пределах границ равномерно, то граница неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляется по формуле

m

 = k   _i² ,

i = 1

где k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности 0,95 он принимается равным 1,1 (ГОСТ 8.207-76).

При суммировании случайных погрешностей необходимо учитывать их корреляционные связи. Суммарная средняя квадратическая погрешность при двух составляющих может быть вычислена по формуле

σ_ = σ²₁ + σ²₂ + 2  σ₁ σ₂ ,

где σ₁ и σ₂ - средние квадратические погрешности отдельных составляющих;

 - коэффициент корреляции.

Поскольку на практике трудно получить удовлетворительную оценку коэффициента , приходится ограничиваться крайним случаями, т. е. считать, что либо  = 0, либо  =  1. Тогда приведенная выше формула примет вид

σ_ = σ²₁ + σ²₂ , если  = 0

или

σ_ =  σ₁  σ₂  , если  =  1.

Таким образом, при отсутствии корреляционной связи средние квадратические погрешности складываются геометрически, а в случае жесткой корреляционной зависимости - алгебраически. Этот вывод справедлив и для случая нескольких источников погрешностей.

Правила нахождения границы погрешности результата измерения при одновременном наличии как неисключенных систематических, так и случайных погрешностей также регламентируются ГОСТ 8.207-76 и заключаются в следующем. Если  / σ_  0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

_ =  =  t (n) _Рд σ_,

где  t (n) _Рд - коэффициент Стьюдента, определяемый по таблицам. Если  / σ_  8, то, наоборот, пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с систематической и считают, что граница погрешности результата _ = .

В случае, если эти неравенства не выполняются, следует найти композицию распределения случайных и не исключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины, вычислить значение среднего квадратического отклонения и затем границы суммарной погрешности результата измерения при помощи приведенных в ГОСТ 8.207-76 эмпирических формул.