Гистограмма распределения

Интер- рвалы
mi
pi = =

6. Определяют частоту появления p_i величины Х в данном разряде

p_i = , (5.9)

где n - общее число всех опытных данных.

7. В системе координат p_i = f(X) на ширине разряда h откладывают величину p_i как высоту и строят прямоугольник.

Очевидно, что площадь элементарного прямо-угольника

s_i = hy_i, = p_i, (5.10)

а площадь всей гистограммы

S = = = 1. (5.11)

Таким образом, гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников (рис. 5.1).

Полигон (рис. 5.1, кривая 2) строят как ломаную прямую, соединяющую интервалы середин интервалов.

В пределе гистограмма (полигон) стремится к нормальному закону распределения, плотность функции распределения которого описывается уравнением (5.12).

В качестве закона распределения случайных величин чаще всего используют нормальный закон распределения, он же закон Гаусса (K.F. Gauss – немецкий математик ХIХ века). Плотность нормального закона распределения

f(Х) = e. (5.12)

Функция плотности распределения позволяет определить вероятность появления данного конкретного значения Х.

Данные, снятые для построения гистограммы и полигона, могут быть использованы для построения статистического ряда распределения (рис. 5. 2).

Статистический же ряд распределения стремится к функции распределения, которая описывается следую-щим уравнением:

F(X) = = edX. (5.13)

f(X) 2

1

Х

Рис. 5.1. Гистограмма (1) и полигон (2) распределения

величины Х

F(X)

1

Х

Рис. 5.2. Статистический ряд распределения

величины Х

Функция распределения позволяет определить вероятность появления значения Х в интервале от - до числаа.

Критерий (от греч.  - мерило) Пирсона (К.Pearson – английский математик, биолог и философ, работавший в конце ХIХ – начале ХХ века) – один из

важнейших непараметрических критериев. С его помощью проверяют гипотезу (от греч.  – основание, предположение) о согласии выборочного распределения с нормальным законом распределения. Применение критерия допустимо лишь тогда, когдаnp_i  5.

Для проверки нормальности закона распределения результатов измерений заполняют табл. 5.2.

Таблица 5.2

Проверка по критерию Пирсона

Начало интер- вала	mi	ti	Ф(ti)	pi	mi-npi	(mi-npi)^2 npi
… … …
Сумма		-	-		-

Данные первых двух столбцов надо взять из табл. 5.1. В третьем столбце записывают отношение

t_i = . (5.14)

Четвёртый столбец заполняют соответствующими значениями интеграла вероятностей Ф(t_i) из справочной литературы 6.

Интеграл (лат. integer – целый) вероятностей Ф(t) равен

Ф(t) = , (5.15)

где t = .

По значениям Ф(_i) в пятом столбце вычисляют вероятность p_i как разность соответствующих значений Ф(t)

p_i = Ф(t_i) - Ф(t_i-1). (5.16)

Напомним, что Ф() = - 0,5.

Последние столбцы таблицы в пояснении не нуждаются.

Сумма чисел последнего столбца даёт значение

= (5.17)

где n – число всех результатов измерений.

Если окажется больше критического значения_крит при некоторой доверительной вероятности Р и числе степеней свободы k = l - 3, где l – число всех интервалов, то с вероятностью Р можно считать, что распределение вероятностей результатов измерения в рассматриваемой серии измерений отличается от нормального. В противном случае для такого вывода нет достаточных оснований.

Указанное число степеней свободы k = l – 3 относится только к тому случаю, когда оба параметра нормального закона распределения определяют по результатам измерений, т.е. когда вместо точных значений Х и применяют их эмпирические оценки.

Если значение Х известно точно (например, при измерении эталона – в нашем случае концевой меры длины), то число степеней свободы равно k = l – 2.