11.2 Стійкість руху межі витіснення

У реальних умовах задача про рух межі поділу значно складніша, оскільки ВНК здійснює складний просторовий рух.

Ми вважали, що спочатку ВНК був паралельний контурам живлення пласта і відбирання рідини. Припустимо, що в початковий момент часу ВНК не паралельний їм (рис. 11.2). Наближено розв’язок можна дістати, використовуючи, наприклад, метод “смужок”, запропонований В.М. Щелкачовим. Для кожної смужки 1, 2, 3 можна записати із рівняння (11.7) дійсну швидкість руху рідини

.(11.10)

Звичайно μ_н > μ_в. Оскільки в часі за такої умови дебітQзростає, то швидкістьзгідно з рівнянням (11.10) також зростає, причому залежить вона, як це слідує із формули (11.5), від розмірів нафтової та водяної зон. Отже, в смужці 1 ВНК рухається швидше, ніж у смужках 2 і 3. Тоді з’явиться так званий “язик обводнення”. Він має тенденцію витягуватися з більшою швидкістю, ніж та, з якою рухається інша частина ВНК. Тому для запобігання появі “язиків обводнення” необхідно розміщати свердловини вздовж лінії, паралельної початковому положенню ВНК, тобто на однаковій відстані від початкового положення ВНК.

У реальних умовах пласти похилі. Межа поділу горизонтальна, але вона не паралельна лінії відбирання рідини (свердловині). Ми беремо розрахунковий ВНК (рис. 11.3). Згідно з розглянутим вище внутрішній ВНК рухається значно швидше зовнішнього (лінія В₀В₁В₂). Різниця швидкостей руху цих ВНК призведе до деформації межі поділу (пунктирні лінії) і до появи “язика обводнення”.

Виведемо умову стійкості руху межі поділу. Позначаємо водяну і нафтову зони номерами 1 та 2. Тоді швидкості фільтрації води й нафти за законом Дарсі з урахуванням сил ваги записуємо так:

; (11.11)

, (11.12)

де ρ_в, ρ_н – густини відповідно води та нафти; g – прискорення вільного падіння; z – вертикальна просторова координата.

Внаслідок збурень на межі поділу частинки води попадають в область, яка була зайнята нафтою. Тоді їх швидкість фільтрації

, (11.13)

де (k₁)₂ – коефіцієнт проникності пласта для води в нафтовій зоні.

Із рівняння (11.12) знаходимо градієнт тиску і підставляємо в рівняння (11.13):

.(11.14)

Умову стійкості руху межі поділу записуємо як різницю швидкостей фільтрації води і нафти, тобто

(11.15)

Якщо різниця швидкостей Δv ≤ 0, то рух межі поділу рідин буде стійким, а якщо Δv ≥ 0, то рух не є стійким.

Якщо кут нахилу пласта до межі поділу позначити величиною α_н, то . Тоді умову стійкості руху межі поділу (11.15) записуємо ще й так:

(11.16)

або за (k₁)₂ = k₂ [звичайно (k₁)₂ < k₂]

. (11.17)

Оскільки в разі стійкого руху різниця швидкостей Δv ≤ 0, то умову стійкості руху межі поділу із рівняння (11.17) за Δv = 0 записуємо через швидкість руху нафти ще й у такому вигляді:

(11.18)

Нехтуючи різницею густин води і нафти (ρ_в ≈ ρ_н) або за кута нахилу пласта α_н = 0 (пласт горизонтальний), умову стійкості руху записують із рівняння (11.16) і так через коефіцієнти рухомості:

(11.19)

Якщо λ ≤ 1, то рух межі поділу стійкий, а якщо λ > 1 – не стійкий. Тобто будь-яке спотворення форми ВНК буде швидко збільшуватися, якщо витіснювальна рідина є рухомішою за витіснювану.