3.10 Логарифмические характеристики колебательного звена

Для колебательного звена частотная функция может быть записана в виде

. (108)

Логарифмируя выражение (108), найдем:

(109)

и

.(110)

Используя формулы (109) и (110), можно найти вид логарифмических характеристик колебательного звена. Делая допущения, аналогичные тем, которые име­ли место при нахождении приближенной характеристики инерционного звена, и приняв , можно построитьприближенные логарифмические амплитудные и фазовые характеристики колебательного звена. Для построения приближенной амплитудной характеристики нужно най­ти значение , затем провести прямую, парал­лельную оси частот и отстоящую от нее на величину 20lgk, до точки с частотой и, наконец, из этой точки провести прямую с наклоном —40 дб/дек (или —12 дб/окт). Такое построение приведено на рисунке 39, а.

Приближенная фазовая характеристика может быть построена по следующим формулам (дающим ошибку не более 2°):

для T₁ω<0,4

(111)

Рисунок 39 - Приближенные (а) и реальные (б и в) логарифмические характеристики колебательного звена

Однако следует учитывать, что построение приближен­ной логарифмической амплитудной характеристики ко­лебательного звена связано с наличием существенной погрешности, зависящей от коэффициента затухания . При χ= 0,5 ошибка минимальна. При условии0,4≤ χ ≤0,7 ошибка не превышает 3 дб.

Вид реальных логарифмических амплитудных L(ω) и фазовых характеристик для колебательного звена приведен на рисунке 39, б и в.

3.11 Логарифмические характеристики интегрирующего звена

Для интегрирующего звена частотная функция может быть записана так:

(112)

и, следовательно,

(113)

и

. (114)

Из двух последних уравнений следует, что логариф­мическая амплитудная характеристика интегрирующего звена представляет собой пря­мую с наклоном к оси частот, равным —20 дб/дек (или —6 дб/окт), пересекающую ось частот в точке ω=1 (при k=1).

Рисунок 40 - Логарифмические характеристики интегрирующего звена

Логарифмическая фазовая ха­рактеристика интегрирующего звена не зависит от частоты и представляет собой прямую, про­ходящую от оси абсцисс на рас­стоянии —π/2, т. е. —90°. Лога­рифмические амплитудная и фа­зовая характеристики интегри­рующего звена приведены на рисунке 40, а, б.

3.12 Логарифмические характеристики дифференцирующего звена

Применяя приведенные выше рассуждения, легко найти характеристики для дифференцирующего звена любого вида.

Для идеального дифференцирующего звена (рисунок41, a) с частотной функцией

(115)

логарифмическая амплитудная характеристика L(ω) представляет собой прямую, проходящую через точку ω=1/Т на оси частот и имеющую наклон 20 дб/дек (или +6 дб/окт) (рисунок 41, б).

Рисунок 41 - Логарифмические характеристики для идеального и реального дифференцирующего и для интегро-дифференцирующего звеньев

Логарифмическая фазовая характеристика представляет собой прямую, параллельную оси частот и находящуюся от нее на расстоянии +π/2 (рисунок 41, в), т. е. +90°. Для реального дифференцирующего звена (рисунок 41, г) с частотной функцией

, (116)

соответственная логарифмическая амплитудная харак­теристика L(ω) приведена на рисунке 41, д. Из выражения (116) не представляет труда найти логарифмическую фазовую характеристику () реального дифференцирующего звена(рисунок 41, е). Аналогичная амплитудная характеристика для комбинированного интегрирующего и дифференцирующего устройства (рисунок 41, ж)приведена на рисунке 41, з. Передаточная функция этого устройства имеет вид:

где аиопределяются из уравнений:

и

где